例談用三角換元法解重點大學自主招生試題

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

一、前言

普通高中課程標準實驗教科書《數學·選修4-4·A版·坐標系與參數方程》(人民教育出版社，2007年第2版)中介紹了圓、橢圓與雙曲線的參數方程：

(1)若點P在圓x2+y2=r2(r>0)上，則可設點P的坐標是(rcosθ,rsinθ)；

二、舉例及解析

下面將用以上結論來解答幾道重點大學自主招生試題.

注:該題與下面的兩道題如出一轍：

答案：A.

例2 (2017年清華大學能力測試(數學部分試題)，不定項選擇題)若實數x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是( ).

例3 (2015年清華大學領軍計劃數學測試第9題)已知非負實數x,y,z滿足4x2+4y2+z2+2z=3，則5x+4y+3z的最小值為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

還可得x,y,z∈[0,1]，因而5x≥4x2(當且僅當x=0時取等號)，4y≥4y2(當且僅當y=0或1時取等號)，3z≥z2+2z(當且僅當z=0或1時取等號)，所以

5x+4y+3z≥4x2+4y2+z2+2z=3,

5x+4y+3z≥3(當且僅當x=y=0,z=1時取等號),

即5x+4y+3z的最小值為3.

但此解法不能解決原問題.

可設a=-a′(a′>0)，得題設即

下面由線性規劃知識來解此不等式組.

圖1

注:下面給出該題結論的幾何意義.

圖2

圖3