立足教材 明晰方向
——挖掘教材中有價值的數學問題

徐照武

(廣東省珠海市實驗中學 519000)

高考數學試題常常圍繞考試大綱結合現用教材挖掘素材，這使得試題更具原創特點、更貼近學生實際，讓學生在解題時對題目本身有似曾相識之感.實際上，命題者堅持的是選材源于教材，難度高于教材的指導思想.所以，平時教學或復習時就要立足教材，把教材中的概念、定義、定理、例習題等作為可能的試題源泉來研究，讓課堂回歸到數學教學的本質.

一、定義是最好的性質

數學定義是數學思維的細胞，是形成數學知識體系的基本要素.

數學中的定義，特別是解析幾何中的定義，常常是一種發生定義.這種定義方法實際上就是對發生過程的一種描述.

以下是一節高二課堂小結課(也可以作為高三第一輪復習課)的一個小片段(大約需要15分鐘，老師最好在課前布置給學生以下自主學習內容：例1(1)除了課本解法外，還有沒有其他解法？例1(2)要求嘗試多種解法).

例1 (1)(人教社實驗教材(下同)必修2第122頁例5)已知線段AB的端點B的坐標為(4,3)，端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.

(2)(2-1第37頁習題2.1A4)過原點的直線與圓x2+y2-6x+5=0相交于A,B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程.

師：我們課前布置了例1的兩個小題，請各小組用兩分鐘時間交流.

師：先請一名同學展示你們小組的情況.

師:很好，非常好！這個解法緊緊抓住了在運動過程中的定值(圓的半徑)與定點(中點N)，快速找到了動點M的軌跡.同學們進一步想一想，(2)有沒有簡練的解法呢？

生：有.

師：好，這位同學，請說一下你的解法.

師：非常棒. 這個解法仍然緊緊抓住了在運動過程中的定值(OC)與定點(中點C′)，快速找到了動點M的軌跡.(以上題目可以結合幾何畫板等軟件演示)

例2 (1)(1-1第42頁習題2.1A7，2-1第49頁習題2.2A7)如圖3，圓O的半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q.當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

(2)(1-1第54頁習題2.2A5，2-1第62頁習題2.3A5)如圖4，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q.當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

師：來看例2.有了例1的求解過程，對于例2，也就水到渠成了.只要結合定圓的半徑是定值及橢圓與雙曲線的定義，相信大家很快就能把問題解決.

但要注意反思下面兩個問題：一是(1)(2)的區別(點A在圓內與點A在圓外，垂直平分線l分為和半徑OP及直線OP相交于點Q，多么美妙的一對姊妹題.這就是數學之美！)，二是(2)的軌跡為什么是兩支？

先給出問題的結論：

其實研究過程也非常簡單：

軌跡問題是解析幾何的兩大研究問題之一.教學時，既要考慮所有學生的數學基礎，又要兼顧學生的個體差異.從最簡單的情形出發，從最有利于學生數學學習的角度出發，可以讓學生真正感受到數學的魅力與簡潔美.以上這幾個問題借助圓錐曲線(含圓)的定義都能順利解決.(當然，利用圓錐曲線定義解題在教材及各種材料中都有非常好的歸納.)

定義是最好的性質.不但圓錐曲線的定義在解題時經常運用，離心率、等差等比數列、三角函數、斜率、向量的積等這些定義都會經常運用，并能簡化解題過程.

二、嘗試“小課題”研究

“小課題”研究既是一種綜合性的實踐活動，也是一種特殊的學習活動.開展“小課題”研究，讓學生在學習過程中養成“問題即課題，學習即研究”的習慣，對于培養學生的研究意識和綜合能力，促進其成長，提高學業水平，有非常積極的意義.這里的“小課題”，是加引號的“小課題”，與老師們做的“小課題”研究不是完全一樣的.這里的研究目的主要是解決學生學習中出現的問題、困惑等，是以有利于他們的學習與能力的提高為目的.有時候，“小課題”甚至小到能很快解決的程度.我們也不妨把它理解為就是“研究性學習”吧!

教材是數學學科的核心教學材料，是教材編者集多代人智慧的結晶.我們要通過教材題目或材料背景進行創新，可以設問方式創新，研究角度創新，教與學方式創新等等，引導學生發現、探究、體驗、反思、積累，做到舉一反三，融會貫通.現行教材雖然基本上沒有未解決的問題，但對于學生來說都是新鮮的.有時我們老師集幾十年的“研究”仍然不能完全吃透教材與教法.下面這道課本例題，就很有研究價值.

記∠COP=θ,求當θ取何值時，矩形ABCD的面積S最大，并求出最大面積. (必修4第141頁例4)

這道題目，對數學基礎不是很好的學生難度已經不小了.但對學有余力的學生，在老師的指導下可以循序漸進地提出以下問題，作為課外研究性學習的“小課題”進行挖掘.

(1)矩形面積最大時OC有什么特點？(角平分線)

(2)如果矩形ABCD的四個頂點有兩個在圓弧上，另兩個在兩條半徑上，有沒有最大面積？能利用(1)的結論得到簡便解法嗎？(有，可以按圖9作角平分線，化為(1))

(3)以上兩種解法得到的最大面積一樣嗎？誰最大？

(6)在中心角為2α(0<2α<2π)的扇形內怎樣截出面積最大的矩形？

下面我們探討(6)

先研究0<2α≤π的情況(如圖7，8 ，9).

在第一種情況下(如圖7，8)，由OC=R,設∠COB=θ，則BC=OCsinθ=Rsinθ.

∴只需sinθsin(2α-θ)=sinθsin2αcosθ-sin2θcos2α