一道恒成立問題的三種處理策略

楊蒼洲

(福建省泉州第五中學城東校區(qū) 362000)

題目若關于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集為A，且A?(2,+∞)，則整數(shù)k的最大值是____.

本題主要考查函數(shù)、導數(shù)及其應用、不等式等基礎知識；考查運算求解能力、推理論證能力等；考查數(shù)形結合思想、函數(shù)方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想等.本題具有一定的難度，是高考模擬題的填空壓軸題.

求解本題時，從處理參數(shù)的角度看，常見的解題思路有：

(1)分離參數(shù);

(2)半分離參數(shù);

(3)不分離參數(shù).

下面我們分別從這三個角度對本題進行分析與解.

一、分離參數(shù)

參數(shù)分離是處理恒成立問題的常見策略之一.當題干所給的等式或不等式含有多個變量時，往往通過恒等變形，把參數(shù)a與變量x完全分開，分別置于等式或不等式的兩邊；再把含變量x的一邊構造成函數(shù)f(x)；最后通過研究動直線y=a與曲線y=f(x)的位置關系，從而得到參數(shù)a的取值范圍.

所以g(x)在(2,+∞)單調遞增.

又因為g(8)=4-2ln8<0，g(10)=6-2ln10>0，

所以存在t∈(8,10)，使得g(t)=0.

且當x∈(0,t)時，g(t)<0，f′(t)<0，f(x)單調遞減；當x∈(t,+∞)時，g(t)>0，f′(t)>0，f(x)單調遞增.

又因為k

二、半分離參數(shù)

“化生為熟”是常見的解題方向.我們常常考慮把題干所給式子分解成兩個熟悉的函數(shù)f(x)，g(x)，其中f(x)不含參數(shù)a，g(x)為過定點的一次函數(shù)；然后以導數(shù)為工具研究函數(shù)f(x)的性質，并作出大致圖象；最后通過研究動直線的運動情況，尋找滿足條件的動直線，進而限制出參數(shù)a的取值范圍.

解法二由x(1+lnx)+2k>kx，得x(1+lnx)>k(x-2).

令f(x)=x(1+lnx)(x>2)，則f′(x)=lnx+2>0.

所以f(x)在(2,+∞)單調遞增.

f(x)的圖象大致如圖：

整理得，ek0-2-2k0=0(*)，其中k0>2+ln2.

令g(x)=ex-2-2x(x>2+ln2)，則g′(x)=ex-2-2>0.

所以g(x)在(2+ln2,+∞)單調遞增.

又因為g(4)=e2-8<0，g(5)=e3-10>0，所以方程(*)存在唯一解k0，且k0∈(4,5).

由圖可知k

三、不分離參數(shù)

當分離參數(shù)使得問題變得更加復雜時，我們往往考慮帶參討論.首先需要構造含參數(shù)a的函數(shù)f(x)，然后對參數(shù)a的不同取值進行討論，并研究所對應的動曲線y=f(x)的不同性態(tài)，從中尋找滿足題意的曲線，從而得到參數(shù)a的取值范圍.

解法三由x(1+lnx)+2k>kx，得x(1+lnx)+2k-kx>0.

(1)當k≤1時，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)單調遞增，f(x)>f(2)=1+ln2>0，滿足題意；

(2)當k>1時，由f′(x)=0，得x=2k.

當x>2k時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；當2

故fmin(x)=f(2k)=ln(2k)+2-k，所以ln(2k)+2-k>0(*).

又因為g(4)=ln8-2>0，g(5)=ln10-3<0，故存在t∈(4,5)，使得g(t)=0.

所以不等式(*)的解集為(2,t)，其中t∈(4,5).

綜上述，k

又因為k∈Z，所以k的最大值為4.