運用補體法巧解多面體外接球的相關問題

張桂華

(云南省紅河州蒙自市第一高級中學 661199)

一、構造正方體

解析因為正三棱錐P-ABC中，PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可以把該正三棱錐補成一個正方體(如圖), 正三棱錐P-ABC的外接球即為以PA,PB,PC為棱的正方體的外接球, 球心為正方體的中心，正方體的體對角線為正三棱錐外接球的直徑.

點評該題若直接利用三棱錐來考慮不易入手，且難度較大.但若能注意到條件中的三條棱兩兩互相垂直,把正三棱錐補成一個正方體來考慮，利用正方體的體對角線為該正三棱錐外接球的直徑，并找到球心是破解此題的關鍵.

例2 如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P-DCE三棱錐的外接球的體積為 ( ).

點評本題靈活性較強,不僅考查了組合體的位置關系、抽象概括能力、空間想象能力以及運算求解能力，還考查了轉化思想，難度較大.若直接利用正四面體來考慮不易入手,但若能將正四面體補成一個正方體來考慮，則可極大地簡化運算，能迅速求出三棱錐外接球的半徑，從而使復雜問題迎刃而解.

點評該題若直接利用三棱錐來考慮很難入手.但若能注意到條件中的三個側面兩兩互相垂直, 且側棱長均相等，把此三棱錐補成一個正方體來考慮，利用正方體的體對角線為三棱錐外接球的直徑是破解此題的關鍵.

二、構造長方體

點評三棱錐的相對棱相等，探尋球心無從下手，但注意到長方體的面對角線相等，可將這個三棱錐補成一個長方體，利用長方體的體對角線就是該三棱錐的外接球的直徑，從而巧妙求出外接球的半徑.

點評該題很難畫出直觀圖，因此只能依賴空間想象，難度較大.但若能注意到條件中的三條棱兩兩互相垂直,可將這個三棱錐補成一個長方體，利用長方體的體對角線就是該三棱錐的外接球的直徑，化繁為簡，從而求出外接球的半徑，是破解此題的關鍵.

總之，補體法是巧解多面體外接球的相關問題的常用方法.將多面體補成一個正方體或長方體，利用正(長)方體的體對角線為三棱錐外接球的直徑是破解此類題的關鍵，可極大地簡化運算，能迅速求出其外接球的半徑.以下多面體可以補成正方形或長方體：

(1)三條側棱兩兩互相垂直的正三棱錐；正四面體；四個面都是直角三角形的三棱錐，可分別將他們補成一個正方體；

(2)相對的棱相等的三棱錐、同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體都分別可補成一個長方體或正方體；

(3)三棱錐的三個側面兩兩垂直，可將三棱錐補成一個長方體或正方體；

(4)若已知棱錐含有線面垂直關系，可將棱錐補成一個長方體或正方體.