特殊走向一般 一般包含特殊
——例談求解定點定值問題的兩條途徑

蔡海濤

(福建省莆田第二中學 351131)

圓錐曲線中的定點、定值問題在高考中頻頻出現.這類問題往往是某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角度、直線的斜率)的大小或某些代數表達式的值和題目中的參數無關，不隨參數的變化而變化，是一個不變的定量．求解這類問題常常有兩條途徑，一條是從特殊情況入手，發現特點，猜測出定點或定值，再通過觀察規律證明一般性情況，體現從特殊到一般的認識過程.另一條途徑是從變量中尋求不變，即先用變量表示要求的量或點的坐標，再通過推理計算，得出這些量或點的坐標和變量無關，是一般到特殊的推理過程．這兩條途徑相得益彰，也是數學研究中常用的特殊與一般的重要思想方法.

一、定點問題

定點問題即曲線系(或直線系)過定點的問題，反映的是數學對象的本質屬性，如圓錐曲線的某些特有性質.其本質是:當動曲線變化時,這些曲線相交于一點.

(1)求橢圓E的方程；

下面我們證明對于一般的直線l:y=kx+1，Q(0,2)也滿足題意．

評析第(2)問，若沒有根據特殊情況入手，探究出Q點坐標，解題將面臨求解線段長或是線段比的繁雜運算而難以進行下去.而求出Q(0,2)坐標之后，證明則簡單了許多，只須證明y軸為∠AQB的角平分線即可，再轉化為kQA=-kQB進行坐標化，問題不難得以解決.在這里，從特殊探路在解題中起到關鍵的作用.

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

(2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2，如果l與x軸垂直，設l:x=t，

由題設可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.

由題設k1+k2=-1，故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.

評析(2)問直線過定點問題,思路是把直線的方程設為y=kx+m,再利用已知條件尋找k,m間的關系,從而得到直線l只含有一個參數,令參數的系數為0,則得到定點坐標. 一般地，若是其他曲線過定點，常將曲線中的參變量集中在一起，令其系數為0，求得定點.

二、定值問題

定值問題即在動點運動過程中,由某個變量的變化引起另一個量的變化或不變的問題.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設直線l是圓O:x2+y2=2上動點P(x0,y0)(x0y0≠0)處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A,B，證明∠AOB的大小為定值.

設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，

所以 ∠AOB的大小為90°.

評析(2)問通過特殊情形探索出定值是多少，然后進行一般性計算或證明.通常探索出的定值也可以作為檢驗結果正確與否的試金石,從特殊角度入手常常也是解決選擇填空中定值問題的常用策略.

例4 (2018年高考北京卷·理19)已知拋物線C:y2=2px經過點P(1,2)．過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．

(1)求直線l的斜率的取值范圍；

解(1)直線l斜率的取值范圍是(-,-3)∪(-3,0)∪(0,1)．(過程略)

所以