立體幾何中的動態(tài)題

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學(xué) 311824)

動態(tài)題是立體幾何中的常見題型，但此類問題對部分學(xué)生而言有一定的難度，有時往往望而卻步，筆者通過幾例動態(tài)題分享處理此類問題的常見策略.

一、由動變定

圖1

動態(tài)題最大的難點(diǎn)是不斷變化，假如能抓住這個變化問題的規(guī)律，找到所求問題的關(guān)鍵位置，那么問題就可迎刃而解了.

例1 如圖1，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線BC與平面α所成的角為45°，頂點(diǎn)B在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O.當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時，直線CD與平面α所成角的正弦值等于( ).

從題中可看出，實(shí)際為△ABC繞邊BC旋轉(zhuǎn)，要想O、A兩點(diǎn)距離為最大，只需面BOC與面ABC共面即可.

圖2

圖3

本題運(yùn)用傳統(tǒng)法或空間直角坐標(biāo)系來求解有所困難，而空間基底向量也是解決這個問題的又一亮點(diǎn).

例2 如圖3，棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，平面ABCD與平面α所成的二面角為30°，則頂點(diǎn)C1到平面α的距離的最大值是( ).

本題的運(yùn)動變化是面ACC1A1中的線AC繞點(diǎn)A在面ABCD內(nèi)運(yùn)動，要想使點(diǎn)C1到平面α的距離最大，實(shí)際只需點(diǎn)C到面α的距離最大即可.原題變?yōu)椋涸诿鍭BCD內(nèi)點(diǎn)C到面α距離最大.

圖4

上述兩題充分利用旋轉(zhuǎn)規(guī)律找到最佳位置，即動態(tài)題轉(zhuǎn)化為固定位置題，從而實(shí)現(xiàn)由動變定的轉(zhuǎn)化.

二、由幾何變代數(shù)

立體幾何動態(tài)題的最大障礙是變化不定，假如能將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，何嘗不是一種好的策略.

例3 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，若E，F(xiàn)為BD1的兩個三等分點(diǎn)，G為長方體ABCD-A1B1C1D1表面上的動點(diǎn)，則∠EGF的最大值為( ).

A．30° B．45° C．60° D．90°

作為常見幾何圖形長方體，建立坐標(biāo)系是一種不錯的選擇.

圖4

圖5

例4 如圖5，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點(diǎn)M在線段PQ上，E,F分別為AB,BC的中點(diǎn)，設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ，則cosθ的最大值為.

上述動態(tài)題充分利用代數(shù)優(yōu)勢將幾何問題代數(shù)化，體現(xiàn)出數(shù)與形的完美演繹，從而實(shí)現(xiàn)由幾何變代數(shù)的轉(zhuǎn)化.

三、由空間變平面

由于缺乏空間想象能力，要完成空間問題的求解實(shí)在有點(diǎn)困難，假如能將空間問題變?yōu)槠矫鎲栴}，那將柳暗花明又一村.

例5 如圖6，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，E,F分別是棱AD,BP上的動點(diǎn)，且滿足AE=2BF，則線段EF中點(diǎn)O的軌跡是( ).

A.一條線段 B.一段圓弧

C.拋物線的一部分 D.一個平行四邊形

本題屬于雙幾何(立體幾何中的平面幾何知識)試題，曾風(fēng)靡一時，依靠空間問題能力去轉(zhuǎn)化有點(diǎn)困難，不妨轉(zhuǎn)化為平面幾何進(jìn)行處理.

圖6 圖7

解取AB中點(diǎn)為M，在面ABCD中作EG∥AB交BC于G，連FG，取FG中點(diǎn)為N，則四邊形OMBN為平行四邊形，則MO∥BN.在面BCP中作CH∥GF交BP于H，取CH中點(diǎn)為K.因?yàn)锳E=2BF，所以BG=2BF，顯然△BGF與△BCH相似，即點(diǎn)N必在BK上.故O在平行于直線BK的直線上.選A.

圖8 圖9

由于本題為折線段之和，其最常見的處理方法為展開成平面圖形進(jìn)行計(jì)算.

在三棱錐P-ABC中，將側(cè)面BCP繞PB旋轉(zhuǎn)至平面

BC′P，使之與平面ABP共面，如圖9所示．當(dāng)O，E，C′共線時，CE+OE取得最小值，此時E為PB的中點(diǎn).

上述動態(tài)題充分利用平面幾何中的各種性質(zhì)優(yōu)勢將問題迎刃而解.

解決動態(tài)題的常見策略為由動變定、由幾何變代數(shù)、由空間變平面，通過處理構(gòu)造出參數(shù)間關(guān)系，從而將此類難題予以一一破解，本文也借此拋磚引玉.