圓錐曲線離心率 幾何坐標(biāo)思定義

陸勇平

(福建省泉州外國語學(xué)校 362000)

一、涉及焦點(diǎn)及曲線上的點(diǎn)問題，幾何坐標(biāo)思定義(想方程)

解法1 如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1，連結(jié)AF1.

∵△AOF2為正三角形, 設(shè)|F1F2|=2c>0,

∴|OF1|=|OF2|=|OA|,

由橢圓定義得|AF1|+|AF2|=2a,

解法2 設(shè)|F1F2|=2c>0,

又∵b2=a2-c2,

∴c4-8a2c2+4a4=0.

同除以a4可得e4-8e2+4=0,

點(diǎn)評(píng)解法1利用圓錐曲線的定義求解，同時(shí)滲透平面幾何知識(shí)是求圓錐曲線的離心率的常用方法，應(yīng)優(yōu)先考慮該方法.解法2利用點(diǎn)在曲線上得到a,c的齊次方程，再同時(shí)除以a4,轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，從而求出e，這種方法是求解離心率的本質(zhì)，但計(jì)算量較大.

二、涉及到兩焦點(diǎn)或到長軸兩端點(diǎn)張角問題，熟記定論并用幾何法巧解

∴3c4+4a2c2-4a2≥0，即3e4+4e2-4≥0,

解法2 同解法1可證當(dāng)點(diǎn)P位于短軸端點(diǎn)時(shí)，∠APB最大.

∴a2≥3b2,即a2≥3(a2-c2),

解法1 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),

由余弦定理可得4c2=m2+n2-2mncos120°=m2+n2+mn即4c2=(m+n)2-mn,∴4c2=4a2-mn,

解法2 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),

由余弦定理及橢圓定義可得

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)cos∠F1PF2取最小值， ∠F1PF2最大，點(diǎn)P在短軸端點(diǎn).

∴c2≥3b2即c2≥3(a2-c2),

三、涉及中位線問題時(shí)，巧用幾何法結(jié)合定義

解法1 如圖， 設(shè)F1為雙曲線的右焦點(diǎn)，P為雙曲線第一象限上的點(diǎn).

∵M(jìn)為線段PF2的中點(diǎn)，O為F1F2中點(diǎn)，且|OF2|=|F2M|=c，|PF2|=|F1F2|=2c.

由雙曲線的定義可知|PF1|=|PF2|+2a=2a+2c.

OM為△PF1F2的中位線，∴OM∥PF1，

點(diǎn)評(píng)解法1利用等腰三角形(或余弦定理)確定三角形各邊的關(guān)系，再巧妙利用雙曲線的定義構(gòu)建a,c的關(guān)系，這是離心率求值的常用方法.解法2設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)后代入雙曲線方程，構(gòu)建a,c的關(guān)系去求離心率的值，這種方程思想在解題中經(jīng)常用到，但計(jì)算量較大.解法3結(jié)合雙曲線的定義，巧妙地利用正弦定理把各邊的比轉(zhuǎn)化為各角的正弦值的比，這種方法更加簡捷.

四、涉及圓錐曲線中的向量問題，巧設(shè)坐標(biāo)思定義

解法1 如圖，取PF2中點(diǎn)M，連接OM.

又∵O,M分別是F1F2,PF2的中點(diǎn),∴OM∥PF2，∴PF1⊥PF2,∴△PF1F2為直角三角形.

設(shè)|PF1|=4k,|PF1|=3k(k>0),

∴|F1F2|=5k.

∴△PF1F2為直角三角形，PF1⊥PF2.

接下來同解法1可得e=5.

評(píng)點(diǎn)解法1利用向量的線性運(yùn)算得出△PF1F2為直角三角形，再結(jié)合雙曲線的定義，巧妙地利用正弦定理把各邊的比轉(zhuǎn)化為各角的正弦值的比，這種方法簡捷、靈活.解法2利用向量的線性運(yùn)算,把向量用相同的基表示，得出△PF1F2為直角三角形.

又∵點(diǎn)P在橢圓上

又∵P為橢圓上一點(diǎn),∴b2≤3c2≤a2.

解法1將數(shù)量積用坐標(biāo)表示后轉(zhuǎn)化為圓的方程的形式，巧用圓與橢圓交點(diǎn)結(jié)論求解，把向量問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，對(duì)學(xué)生綜合分析問題的能力要求較高.解法2利用向量的線性運(yùn)算把向量用相同的基表示，得出橢圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用距離的有界得出不等式，這是處理離心率范圍問題的常用方法.解法3將數(shù)量積用坐標(biāo)表示后轉(zhuǎn)化為有關(guān)橫坐標(biāo)x0的關(guān)系式，并利用x0的有界性求解，對(duì)學(xué)生的綜合分析能力和運(yùn)算能力要求都較高.