淺析“微元法”在高中物理中的運用

摘要：微元法是一種在物理學中廣泛應用的數學方法，是指在處理問題時，從對事物的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體目的的方法。思想就是“化整為零”，先分析“微元”，再通過“微元”分析整體。要在教學過程中潛移默化的讓學生領會這種科學方法，提高學生的思維能力。

關鍵詞：微元法;力學;電磁學

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復雜的物理過程用我們熟悉的物理規律迅速地加以解決，使所求的問題簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元過程”所遵循的規律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過程”進行必要的數學方法或物理思想處理，進而使問題求解。

如何取“元過程”呢？可以對整體對象進行無限分割得到“線元”，“面元”，“體元”，“角元”等;也可以分割一段時間或過程，得到“時間元”“元過程”;還可以對各種物理量進行分割，得到諸如“元電荷”，“元功”，“元電流”等相應的元物理量;這些“元過程”都是通過無限分割得到的要多么小就有多么小的“無窮小量”，解決整體問題就要從它們入手。對他們作“低細節”描述，即通過對“元過程”性質作合理近似描述，在無窮小量的前提下，通過求取極限，達到向精確描述的逼近。下面舉幾個例子說明。

一、選擇“時間元”，化難為易

（一）人教版第一章第三節中用平均速度研究瞬時速度

根據平均速度的定義：v=ΔxΔt，可見平均速度只能粗略的描述運動的快慢。為了使描述精確些，可以把△t取得小一些，物體在從t到t+Δt這樣一個較小時間間隔內，運動快慢的差異也就小一些。Δt越小，運動的描述就越精確。而xt就是x-t圖象（圖1）中割線（虛線）的斜率（比率）。但Δt趨向零時，割線也趨向于圖象的A點（t1時刻）的切線。所以在x-t圖象中切線的斜率（變化率）表示某時刻的瞬時速度。

圖1

（二）【例1】如圖2所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，金屬桿與導軌的電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面.現給金屬桿一個水平向右的初速度v0，讓其自由滑行，導軌足夠長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？

圖2

分析：速度的變化導致安培力發生變化，進而導體棒的加速度也發生變化，導體棒將做非勻變速運動，且又涉及位移、速度、電荷量等問題，這時學生往往感到無從下手。用無限分割和動量定理求解往往能收到出奇制勝的效果。

解：本題中力F的大小一直減小，需要通過無限分割，在桿減速過程中取一極短時間Δt，發生了一段極小的位移Δx，在Δt時間內，金屬桿受到安培力為F安=IBL=B2L2ΔxΔtR，由于時間極短，可以認為F安為恒力，選向右為正方向，在Δt時間內，導體棒的速度變化為ΔV=-a·Δt=-B2L2ΔxmR，對所有的速度變化求和，可得-v0=∑-B2L2ΔxmR=-B2L2mRx，x即為桿運動的最大距離，可得x=mv0RB2L2。

二、選擇“質量元”，隨風潛入夜

一旦我們遇到“質量元”的時候規律都是相同的，我們可以將其分解為無數個微小的“質量元”，我們選取其中之一作為研究對象，寫出表達式就能使得問題迎刃而解。

（一）【例2】如圖3所示，加速啟動的火車車廂內的一桶水，若已知水面與水平面之間的夾角為θ，則火車加速行駛的加速度為多大？

圖3

解：我們需要從水面上提取所需的“質量元”，其質量為Δm，其受力情況如圖3所示，合力F合=Δmgtanθ，根據牛頓第二定律可知F合=Δma，則a=gtanθ。

（二）【例3】一枚質量為M的火箭，依靠向正下方噴氣而在空中保持靜止，如果剛噴出的氣體的速度為v，那么火箭發動機的功率是多少？

分析：學生剛拿到此題時，會感到無從下手，本題的條件中沒有做功時間和總功大小，所以采用一般的方法并不能解決問題。但是仔細分析本題，會發現如果我們采用微元法，取一個很短的時間Δt，選取在Δt時間內噴出的氣體作為研究對象，先求出此段時間內發動機對氣體所做的功，再通過功率的定義式即可得出結果。

解：火箭噴氣時，要對氣體做功，選取在極短時間內噴出的氣體為研究對象。求出此時間內，火箭對氣體質量元Δm做的功，再代入功率的定義式即可求出火箭發動機的功率。

設火箭推氣體的力為F，根據動量定理，有F·Δt=Δm·v，由于M>>m，可認為火箭的總質量不變，因為火箭靜止在空中，所以根據牛頓第三定律和平衡條件有F=Mg即Mg·Δt=Δm·v，Δt=Δm·vMg，對“質量元”氣體用動能定理得，火箭對氣體做的功為w=12Δm·ν2，發動機的功率P=WΔt=12Mgv。

參考文獻：

[1]徐衛兵.用“微元思想”突破概念難點教學[J].中學物理教學參考，2014（6）：24-26.

[2]常飛.微元法在高中物理題中的運用簡說[J].新課程學習（中），2012（11）：62-63.

作者簡介：

方可，浙江省金華市，金華市第六中學。