對于一道經(jīng)典傳送帶問題的再思考

李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學,浙江 嘉興 314500)

傳送帶問題是高中物理經(jīng)典話題,傳送帶是力與運動以及能量問題的天然載體,大部分高考題里傳送帶運動方向都與物塊運動方向共線,2014年江蘇壓軸題中傳送帶速度與物塊速度不共線,不僅于此,此題還考查了驅動傳送帶電機功率問題,可以說是恢復高考40年來高考物理中關于傳送帶問題的集大成者．

1 原題展現(xiàn)

圖1

(2014年江蘇高考題)如圖1所示,生產(chǎn)車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙,甲的速度為v0．小工件離開甲前與甲的速度相同,并平穩(wěn)地傳到乙上,工件與乙之間的動摩擦因數(shù)為μ．乙的寬度足夠大,重力加速度為g．

(1) 若乙的速度為v0,求工件在乙上側向(垂直于乙的運動方向)滑過的距離s;

(2) 若乙的速度為2v0,求工件在乙上剛停止側向滑動時的速度大小v;

(3) 保持乙的速度2v0不變,當工件在乙上剛停止滑動時,下一只工件恰好傳到乙上,如此反復.若每個工件的質(zhì)量均為m,除工件與傳送帶之間的摩擦外,其他能量損耗均不計,求驅動乙的電動機的平均輸出功率．

速度不共線的相對運動不算什么新話題,例如下面例題[1],是早期的一道預賽真題,這類問題的關鍵是滑動摩擦力的方向與相對運動的方向相反,相對速度方向由矢量加法所決定,滑動摩擦力的大小仍是μN．

圖2

例題.一個質(zhì)量m=20kg的鋼件,架在兩根完全相同的、平行的長直圓柱上,如圖2所示,鋼件的重心與兩柱等距,兩柱的軸線在同一水平面內(nèi),圓柱的半徑r=0.025m,鋼件與圓柱間的滑動摩擦系數(shù)μ=0.20,兩圓柱各繞自己的軸線做轉向相反的轉動,角速度ω=40rad/s,若沿平行于柱軸方向施加力推著鋼件做速度為v0=0.05m/s的勻速運動,推力是多大?設鋼件左右受光滑槽限制(圖中未畫出),不發(fā)生橫向運動．

圖3

2 相對運動問題討論

2.1 分析過程

回歸到高考問題,如圖3所示,當工件進入傳送帶乙(下文簡稱乙),工件相對于乙的運動方向沿右下方,所以受到的摩擦力沿左上方.

其實此題前兩問是同一個問題的兩個側面,實際上,無論乙的速度如何,工件的速度如何,只要工件停止側向滑動,在沿乙速度方向一定和乙共速.

以乙為參考系,顯然工件相對于乙做勻減速直線運動,摩擦力和初速度方向就是圖3標明的方向,所以摩擦力方向不變,意味著摩擦力在x,y方向上分量不變,即兩個方向上加速度不變．所以對于第(2)問有

(1)

對于任意初速度比都有

(2)

即x,y方向上加速度比就是工件和乙初速度之比,在兩個方向上分別做勻減速直線運動和勻加速直線運動,當勻減速運動結束時候,勻加速運動也剛好結束．

事實上,傳送帶乙運動的方向甚至不需要和工件速度方向垂直,只要傳送帶尺度合適,在任意速度夾角下都有這樣的結論．

由于兩個方向上運動等時性，有

(3)

2.2 相對運動的結論

這個結論分析起來似乎不難,但是有些悖于直覺,覺得過于簡單,筆者和諸位前輩討論的時候,大家一開始都有所懷疑此結論,最大的問題在于摩擦力方向是否不變．考生在考場面對此題,在以前沒有仔細研究過此題時,第(2)問是有相當難度的,很容易認為摩擦力方向改變導致無從下手．不過命題者通過第(1)問的鋪墊,是有意引導學生往這個結論上“猜”的．

圖4

實際上,由于工件相對于乙做勻減速直線運動,所以兩個方向上運動可以視作此運動的分運動,顯然合運動和分運動具有等時性,而且和速度分量的夾角無關．

2.3 工件相對地面運動

如果以地面為參考系,工件如何運動?由于摩擦力大小方向均不變,工件初速度方向和摩擦力方向不共線,所以物塊做的是勻變速曲線運動,也可以說做的是類斜拋運動．軌跡如圖4所示，這個結論也很有意思,筆者就這個結論設計了兩個問題.

2.3.1 工件結束運動時相對于地面的位移

工件相對于傳送帶的位移為

(4)

乙相對于地面的位移為

圖5

(5)

根據(jù)余弦定理可知

(6)

2.3.2 工件在運動過程中速度的最值

開始運動時,工件速度方向與加速度的方向夾角為鈍角,共速時是銳角,所以工件先減速后加速,必然有速度最小值．當加速度方向和速度方向垂直時,速度出現(xiàn)最小值.

如圖4,顯然α=β.所以

(7)

即最小速度為

對于此問的求解,學生們提供了很多有意思的方案，限于篇幅,不再枚舉．通過對試題的挖掘,有益于提升學生追問試題本源的動力,是實踐科學探究和培育物理學科素養(yǎng)的良好路徑．從表面上看,工件對地軌跡是拋物線和兩個方向上直線運動同時結束的結論是相悖的,但本質(zhì)上卻是和諧統(tǒng)一的．

3 驅動電機問題

3.1 分析過程和結論

本題第2個難點是分析傳送的驅動電機,關于驅動電機能量的分析學生們很容易陷入思維混亂,遑論本題需要在兩個維度上分析清楚．所以本文詳細分析速度共線情況,以期挖掘出一些本源的內(nèi)容．

倘若工件速度和傳送帶速度方向共線,假設傳送帶足夠長,已知接觸面摩擦因數(shù)為μ,電動機驅動傳送帶勻速傳動,工件初速度為v,傳送帶速度是v′.

3.1.1 工件加速

若v

(8)

s′=v′t.

(9)

由于相對運動產(chǎn)生的熱量為

Q=μmg(s′-s).

(10)

根據(jù)能量守恒,電動機在這個過程提供能量為E=Q+Ek=μmgs′.

當v=0,有2s=s′,即Q=Ek.

初速度為0,即對應著本題工件在乙上加速情況．能量關系非常清晰,傳送帶給工件提供動能,也會有等量熱量損耗,所以驅動電機需要給傳送帶兩倍動能．

3.1.2 工件減速

若v>v′,工件減速位移為

根據(jù)能量守恒,電動機在這個過程提供能量為E=Q-Ek=-μmgs′.

這個值為負值,工件損耗的動能比產(chǎn)生的熱量要多,可以額外供給能量給傳送帶,無需驅動電機供給能量.因為這里的傳送帶模型是理想模型,忽略了傳送帶輪軸能量損耗,也就是說傳送帶空載情況下不需要提供電能,所以物塊減速時動能損耗比產(chǎn)生熱量要多,額外的就給了傳送帶．從力的角度來說,傳送帶給物塊的力是阻力,而物塊給傳送帶是動力,相當于工件給傳送帶做正功,給傳送帶補給了能量．

當v′=0,有s′=0,即Q=Ek,就是工件動能全部轉化成了熱量,電動機無需供給能量．對應的恰好是此題工件側向滑動的模型．

3.2 第(3)問求解

把傳送帶上能量關系分開來詳細討論,學生對于驅動電機供能關系一目了然,清晰明確，而且也理解了理想傳送帶的局限性．

4 結論

本文首先指出速度不共線的相對運動問題大多為自主招生和預賽難度的試題,對于高考學生,有相當難度．于是文章詳細分析此題相對運動模型,發(fā)現(xiàn)工件側向減速到0時,沿傳送帶乙方向必然同時加速完成,而且與二者速度夾角無關,指出此題前兩問展示的是一個更廣延結論下的一個特例．然后文章探討了工件相對于傳送帶和地面做何運動,分別是勻減速直線運動和類斜拋運動．最后分析了驅動電機問題,給出了工件加速和減速情況下驅動電機能量分配問題,強調(diào)理想傳送帶是忽略轉軸間能量損耗,通過分析大大優(yōu)化了解題過程,使得學生對于此題驅動電機功率問題認知更加清晰深刻．