沉管隧道加測陀螺邊的地下導線貫通誤差預計模擬法研究

馬 驥，石 震，張學偉

(長安大學，陜西 西安 710054)

在進行貫通測量前，通常需要對地下導線進行貫通誤差預計[1-2]。傳統的貫通誤差預計方法(圖解法或解析法)需要人工量取設計圖紙，效率低下。隨著計算機技術的發展，一些學者基于不同的編程平臺實現了誤差預計功能，提高了誤差預計的效率[3-4]。大量的工程實踐表明，由于解析法沒有考慮隨機誤差之間所存有的相互抵償性，使得貫通誤差預計的結果偏保守。文獻[5]提出利用計算機生成的隨機數構成模擬觀測值，采用導線平差方法計算貫通點偏差的模擬貫通誤差預計方法。武漢大學開發的COSA軟件包實現了模擬觀測網平差功能[6]。文獻[7—9]結合目前特長隧道施工特點將模擬仿真數據用于超長隧道的貫通誤差預計中。

在地下導線網中加測陀螺邊是提高地下平面控制網精度的有效方法，對于加測陀螺邊的地下導線貫通誤差預計，目前大多數工程仍沿用文獻[10]提出的視陀螺邊為堅強邊，按附合導線分段重心求估值的解析法。該方法適用于簡單的支導線，對于復雜的導線網型，簡化后的公式無法準確表達。在進行貫通誤差預計時有必要將陀螺觀測值的隨機誤差抵償性、陀螺儀器常數誤差等因素考慮在內[11]。本文基于蒙特卡洛(Monte Carlo)基本原理，顧及陀螺定向測量的觀測方式和誤差分布規律，利用計算機生成的模擬觀測值代替陀螺觀測值進行貫通誤差預計，并以港珠澳大橋沉管隧道1∶1實景模擬試驗[12]，驗證該方法的可行性與可靠性。

1 蒙特卡洛模擬法貫通誤差預計原理

蒙特卡洛方法也稱隨機模擬(random simulation)方法。觀測誤差中包含偶然誤差和系統誤差。系統誤差可以究其原因而設法改正。對于偶然誤差，可利用計算機生成一系列服從誤差分布規律的隨機數，將這些隨機數進行數學變換后與相應的理論值相加，使其與觀測誤差基本相符，就可得到一系列被扭曲的模擬觀測值。

1.1 生成正態分布的偽隨機數

根據中心極限定理，大多數觀測誤差服從正態分布。利用計算機隨機數發生器，生成一組在區間(0，1)上均勻分布的偽隨機數序列{ri}。經過均勻性和相關性檢驗后，根據文獻[13]提到的變換法，變換為服從標準正態分布的隨機數

(1)

(2)

式中，μ為模擬觀測值中的理論值(設計值)；σ2為觀測值的精度，對于邊長觀測值可取全站儀標稱測邊精度，水平角觀測值取全站儀標稱測角精度，陀螺觀測值取陀螺儀標稱定向精度。

1.2 偽隨機數的正態分布檢驗

針對沉管隧道工程應用中陀螺觀測數量較少的實際情況，在小樣本容量(n<50)下，總體服從正態分布的假設不成立，相應的參數檢驗失效，統計推斷不可信。因此采用Kolmogrov-Smirnov法(K-S檢驗)進行正態分布檢驗[14]。將隨機數列{xi}從小到大排序后x(1),x(2),…,x(n)，記經驗分布函數為Fn(x)；將Fn(x)與正態分布函數F(x)相比較，其最大偏差即為K-S檢驗統計量

(3)

1.3 陀螺方位角觀測值的模擬

通過正態分布檢驗的偽隨機數即可視為模擬觀測值，對于陀螺觀測值而言，偽隨機數進行的是一次定向觀測值的模擬，如圖1所示，若要模擬最終需要的陀螺坐標方位角αCD還需要進一步計算。

(4)

(5)

式中，mT0為陀螺一次定向中誤差，可取儀器的驗前標稱精度。

2 基于模擬觀測值的貫通誤差預計

用模擬法估算隧道橫向貫通誤差，可采用以下幾種方式。

2.1 誤差橢圓法

在生成各類模擬觀測值后，按照導線間接平差方法求各導線點的坐標平差值，再由參數的協因數陣計算各點位誤差橢圓的元素，在垂直于貫通面方向上作橢圓的切線，垂足與原點的連線長度即為貫通重要方向上的位差。特別的，若貫通面與坐標Y軸垂直，則導線點在貫通重要方向上的位差即為誤差橢圓長半軸E。

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式中，σ0為單位權中誤差；Qxx、Qyy為X和Y的協因數陣；Qxy為X關于Y的互協因數陣。顧及進口導線與出口導線貫通點的橫向點位誤差相互獨立的共同影響，則綜合橫向貫通誤差影響值為

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2.2 坐標差統計法

假設貫通面與X軸平行，分別計算進、出口導線同一貫通點的X、Y坐標，其X坐標差即為洞內導線測量誤差所引起的橫向貫通誤差。若模擬計算了n次，橫向貫通誤差預計值可按下式計算

(8)

式中，Δxi為同一貫通點進口導線和出口導線X坐標差。

2.3 坐標中誤差法

假設貫通面與X軸平行，生成多組模擬觀測值，對進、出口導線分別平差，可得到多組貫通點的X、Y坐標，分別計算其中誤差，則橫向貫通誤差預計值可按下式計算

(9)

式中，σX1、σX2分別為進、出洞導線貫通點X坐標中誤差。

3 港珠澳大橋沉管隧道貫通誤差預計模擬法

3.1 工程概況

港珠澳大橋島隧工程全長約7440 m，在海底埋深超過20 m建設長達5664 m，共計33節管節的沉管隧道，在全世界尚屬首次[15]。由于沉管隧道管節沉放控制標準精度要求高，為保證隧道新沉管節和已沉放管節的安全對接，試驗組選取與工程條件相近的城市道路開展實景模擬試驗工作。按照1∶1比例，布設GPS網和全導線網，加測陀螺邊，驗證測量方案的可行性。

在試驗區域左、右行車道分別布設全導線網，貫通點為RN29-1；分別將各導線點在隧道左、右行車道中軸線兩側3.5 m左右位置對稱排列。東人工島方向受曲線段影響導線邊長控制約180 m左右，西人工島方向導線邊長約720 m。如圖2所示，在左、右行車道分別加測3條陀螺邊，共6條陀螺邊。導線測量采用LeicaTS30全站儀，標稱測角精度為0.5″(誤差預計時，將測角先驗精度放大至1″)，標稱測距精度為0.6 mm+1×10-6D，選用德國DMT公司生產的G3000陀螺儀(標稱精度3″)進行定向測量。地面儀器常數邊獨立測定6測回，地下待定邊獨立測定2測回，則根據式(5)可求得陀螺坐標方位角的模擬中誤差為2.5″。

3.2 試驗結果

根據設計坐標與先驗精度指標生成一系列偽隨機數，構成導線邊長、導線轉折角及陀螺方位角模擬觀測值，共生成50組相互獨立的模擬觀測值，每組包含6個陀螺模擬觀測值和500個相互獨立并且通過正態分布檢驗的偽隨機數。模擬值變化區間及其中誤差見表1。

采用解析法與上述3種模擬方法進行橫向貫通誤差的計算和比對。用COSA軟件對不同樣本容量下的每組模擬觀測值分別進行平差，求得各導線點平差值，繪制誤差橢圓，計算貫通點RN29-1的橫向貫通誤差預計值。在樣本容量為1的條件下，隨機選取了5組單次模擬計算的貫通誤差，其結果見表2。

表2 單次模擬貫通誤差預計結果比對

由表2可知，解析法與誤差橢圓法的結果不隨模擬觀測值的不同而變化，這是由于解析法是根據設計導線網的幾何關系按照既定的先驗精度指標推估導線點可能出現的最大誤差，模擬觀測值的變化對其沒有影響；而誤差橢圓法是按照模擬觀測值先驗精度定權，列誤差方程，根據誤差傳播定律求協方差陣計算導線點位誤差，不同樣本間模擬觀測值的差異對預計結果影響不大。對坐標差統計法而言，不同的樣本模擬觀測值的隨機性差異對預計結果影響很大，存在明顯的偶然性；而坐標中誤差法由于只有單次模擬的結果，而無法計算相應的統計量。因此采用單次模擬(樣本容量為1)的結果作為預計值是不可靠的。為了研究不同樣本容量下各類預計方法的效果，現對不同模擬次數下的各類預計方法進行比對，結果如圖3所示。

由圖3可知，解析法相對保守，其預計值大于其他3種方法。誤差橢圓法與坐標中誤差法預計結果接近，而且大于坐標差統計法。與之不同的是，坐標差統計法和坐標中誤差法的預計結果受模擬觀測值的偶然性影響較大，但隨著樣本容量的不斷增加，坐標差統計法與坐標中誤差法的預計結果逐漸收斂于一個平穩的區間。坐標差統計法雖然比坐標中誤差法的預計結果小，但變化范圍較大，這是由于偶然誤差的影響，進口導線貫通點在貫通面上的偏移方向和出口導線對應點的偏移方向可能相互抵消，也可能相互疊加。而坐標中誤差法將進口導線和出口導線的坐標中誤差進行了綜合，顧及了貫通點在貫通面方向上偏移的可能性。但是坐標差統計法的預計值的中誤差量級(圖3中誤差棒所示)與坐標中誤差法的預計值大小基本一致。

4 結論與討論

2015年9月，試驗組完成1∶1模擬試驗網導線測量與陀螺定向測量，實測貫通點RN29-1的貫通誤差為-6.6 mm，小于貫通誤差預計值。按照與模擬試驗相似的測量方案在港珠澳沉管隧道現場進行貫通測量，2017年5月，沉管隧道實現順利貫通，貫通精度為12 mm(限差±25 mm)，驗證了該測量方案的可行性和可靠性。

由上述試驗結果可得出以下結論：①解析法預計結果遠大于實測貫通誤差，該方法沒有考慮隨機誤差的抵償作用，因此貫通誤差預計結果偏于保守。②由誤差理論可知，絕對值相等的正負隨機誤差出現的概率是相近的，在隨機過程中，偶然誤差對其函數的影響是可以相互抵償的，因此模擬法預計結果更接近實測貫通誤差。③由于偶然誤差的存在，單次模擬的預計結果不可靠。隨著模擬觀測值樣本容量的不斷增加，模擬計算得到的橫向貫通誤差預計值的均值趨于穩定，預計值的中誤差也逐漸平穩。對于本次試驗而言，模擬了50組觀測值，可達到較好的效果。

需要注意的是，試驗中假定生成的模擬觀測值是服從正態分布的，但實際觀測過程中，由于人為誤差、工作環境等影響因素，導致觀測誤差的分布可能是非正態的。若繼續使用服從正態分布的模擬觀測值進行貫通誤差預計，有可能使得預計結果小于實測貫通誤差，增加了方案實施的風險。盡管解析法的預計結果比較保守，但其數學理論推導過程是嚴密的，它給出了誤差可能會出現的閾值范圍。因此在進行貫通誤差預計時可考慮：①適當地放大觀測誤差先驗指標；②按照特定的系統誤差分布規律生成相應的非正態模擬觀測值；③人為地在模擬觀測值中攝入一定量的粗差；④模擬法與解析法同時進行，誤差預計結果相互校核，若觀測過程符合規范要求，貫通實際偏差應小于解析法預計結果，并與模擬法的誤差預計結果較為接近，這兩種方法的結合可實現優勢互補，可以提高誤差預計的可靠性，做到貫通測量心中有數。