壓電式快速反射鏡系統(tǒng)建模與傳遞函數(shù)辨識(shí)

陸金磊，姜曉明，王 軍

(1.南京理工大學(xué) 先進(jìn)發(fā)射協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210094； 2.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引言

壓電式快速反射鏡(PFSM)采用壓電疊堆作為驅(qū)動(dòng)器[1]，具有體積小、響應(yīng)快、精度高、動(dòng)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，在自適應(yīng)光學(xué)[2]、圖像穩(wěn)定系統(tǒng)[3-4]、目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)[5-6]、生物醫(yī)學(xué)系統(tǒng)[7]等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景。本文將PFSM應(yīng)用在光電精密跟蹤系統(tǒng)中，將其作為復(fù)合軸子系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，主要用于校正機(jī)架主系統(tǒng)的隨機(jī)誤差。為穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)，光電跟瞄系統(tǒng)的精度需要達(dá)到微弧度級(jí)，這對(duì)PFSM的控制精度提出了很高要求。對(duì)于控制設(shè)計(jì)者來說，如何獲得被控對(duì)象的精準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型極為關(guān)鍵。

目前，常用的傳遞函數(shù)參數(shù)辨識(shí)方法主要包括時(shí)域階躍響應(yīng)法和頻域頻率響應(yīng)法。蔡騫等[8]采用階躍響應(yīng)法對(duì)擺式傾斜儀傳遞函數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)，該方法測(cè)試方便，但只能將系統(tǒng)近似為低階系統(tǒng)，精度較差。在頻率響應(yīng)辨識(shí)法中，常用的有曲線直接辨識(shí)和函數(shù)擬合辨識(shí)。劉金星等[9]結(jié)合測(cè)量得到的伺服系統(tǒng)開環(huán)Bode圖和自動(dòng)控制原理，通過理論計(jì)算直接得出PFSM系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，該方法較為簡(jiǎn)單直觀，但誤差較大。黃海波等[10]采用最小二乘法辨識(shí)出復(fù)合軸精跟蹤系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，該方法操作方便，辨識(shí)精度較高。

本文根據(jù)壓電疊堆材料的特性和反射鏡的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，構(gòu)建了PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，并結(jié)合實(shí)測(cè)的PFSM系統(tǒng)幅頻和相頻響應(yīng)特性，使用非線性最小二乘曲線擬合法，選定合適的迭代初值，針對(duì)不同頻率特性進(jìn)行分段擬合，得到了精確的PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)，為控制器設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

1 PFSM系統(tǒng)建模

PFSM系統(tǒng)主要由控制器、模數(shù)和數(shù)模(AD&DA)轉(zhuǎn)換模塊、功率驅(qū)動(dòng)模塊、PFSM和電阻應(yīng)變片傳感器構(gòu)成，如圖1所示。圖中：電阻應(yīng)變片傳感器檢測(cè)到壓電疊堆的位移量電壓信號(hào)，依次經(jīng)過濾波器、傳感器放大模塊和AD轉(zhuǎn)換模塊輸入到控制器。電阻應(yīng)變片傳感器模塊的傳遞函數(shù)可用一個(gè)比例環(huán)節(jié)描述；功率驅(qū)動(dòng)模塊采用線性功率運(yùn)放直接驅(qū)動(dòng)，具有很好的線性特性，其傳遞函數(shù)也可用一個(gè)比例環(huán)節(jié)描述；在忽略頻率混疊效應(yīng)后，AD轉(zhuǎn)換的傳遞函數(shù)為1/T，T為采樣周期；DA轉(zhuǎn)換可被看作一個(gè)零階保持器，其傳遞函數(shù)為(1-e-Ts)/s。在后續(xù)的辨識(shí)過程中，可人為去除AD&DA過程對(duì)結(jié)果的影響。因此，在分析中，可不考慮AD&DA環(huán)節(jié)。

圖1 PFSM系統(tǒng)控制框圖Fig.1 Block diagram of PFSM system control

以下根據(jù)PFSM的運(yùn)行機(jī)理，構(gòu)建其傳遞函數(shù)模型。文中的PFSM采用Physik Instrumente公司的S340偏轉(zhuǎn)頭，該偏轉(zhuǎn)頭由四壓電疊堆驅(qū)動(dòng)。當(dāng)電壓施加在壓電疊堆上時(shí)，壓電疊堆產(chǎn)生逆壓電效應(yīng)，每對(duì)壓電疊堆形成推拉運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)鏡面轉(zhuǎn)動(dòng)。圖2為四壓電疊堆的反射鏡俯視圖。圖中：A，B，C，D分別為4個(gè)壓電疊堆，沿圓周呈90°垂直分布；鏡面中心與致動(dòng)器和反射鏡接觸點(diǎn)的距離為r；BD軸為俯仰軸；AC軸為方位軸；θa為方位角；θp為俯仰角。設(shè)壓電疊堆的傳遞函數(shù)為G1(s)，PFSM機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞函數(shù)為G2(s)，則PFSM的傳遞函數(shù)可表示為

G(s)=G1(s)G2(s)

(1)

圖2 四壓電疊堆的反射鏡Fig.2 Fast steering mirror driven by four piezoelectric stacks

壓電疊堆是將單個(gè)晶片做得很薄，然后將數(shù)百片疊加起來，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)械上的串聯(lián)和電路中的并聯(lián)。可以將壓電疊堆等效成一個(gè)電容來進(jìn)行分析，如圖3所示。

圖3 壓電疊堆等效模型Fig.3 Equivalent model of piezoelectric stack

圖中：t為時(shí)間；uin(t)為電源電壓；uout(t)為施加在壓電疊堆上的電壓；R為電源的輸出電阻；c為壓電疊堆的等效電容。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可得

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行拉普拉斯變化，設(shè)初始條件為0，可得

Uin(s)=RcsUout(s)+Uout(s)

(3)

令τ=Rc為時(shí)間常數(shù)，則壓電疊堆的傳遞函數(shù)為

(4)

根據(jù)壓電疊堆運(yùn)動(dòng)特性，建立機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型，如圖4所示。

圖4 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化模型Fig.4 Simplified model of mechanism

圖中：F為壓電疊堆輸出驅(qū)動(dòng)力；Kf為阻尼系數(shù)；Kg為連接剛度；x為壓電疊堆變形量。設(shè)反射鏡質(zhì)量為m，則壓電疊堆機(jī)械運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型可用微分方程描述為

(5)

根據(jù)壓電疊堆的變形特性，壓電疊堆輸出驅(qū)動(dòng)力F與壓電疊堆變形量x之間的關(guān)系為

F=Kp(auo(t)-x)

(6)

式中：Kp為壓電疊堆等效剛度系數(shù)；a為待定系數(shù)。

將式(6)代入式(5)，整理得

(7)

對(duì)式(7)進(jìn)行拉普拉斯變換，設(shè)初始條件為0，則可得到PFSM機(jī)械運(yùn)動(dòng)傳遞函數(shù)為

(8)

結(jié)合式(4)，(8)，可得PFSM傳遞函數(shù)為

GPFSM(s)=G1(s)G2(s)=

(9)

由式(9)可見，PFSM的傳遞函數(shù)為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)(也可能是過阻尼的)的串聯(lián)，可表示為

(10)

式中：a0，bi(i=0,1,2)即為要辨識(shí)的參數(shù)。因功率放大環(huán)節(jié)和電阻應(yīng)變片傳感器的傳遞函數(shù)都可被看作比例環(huán)節(jié)，故這2個(gè)比例環(huán)節(jié)的系數(shù)也可包含在參數(shù)a0，bi中。事實(shí)上，由于PFSM的機(jī)械剛度有限，因此系統(tǒng)的開環(huán)特性往往在高頻段附加一個(gè)或多個(gè)如式(11)所示的雙二階的機(jī)械諧振環(huán)節(jié)[11]，

(11)

式中：bi(i=3,4,5,6)即為要辨識(shí)的參數(shù)。根據(jù)以上分析，PFSM系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可被看作式(10)和一個(gè)或多個(gè)式(11)的串聯(lián)。

2 PFSM系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型辨識(shí)

使用動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀，產(chǎn)生的線性掃頻信號(hào)為

(12)

式中：A為振幅；f0為初始頻率；k為頻率隨時(shí)間增加的斜率。用此信號(hào)，可以獲得PFSM系統(tǒng)的頻率特性，如圖5所示。

圖5 PFSM系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性Fig.5 Frequency characteristics of open loop transfer function of PFSM system

由幅頻特性曲線可知，PFSM系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可能為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)、一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)和一個(gè)雙二階環(huán)節(jié)的串聯(lián)，這也符合之前的模型分析。因系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含的參數(shù)較多，故在多維空間進(jìn)行參數(shù)搜索很困難。機(jī)械諧振往往出現(xiàn)在高頻段，由于主函數(shù)的衰減作用，因此PFSM系統(tǒng)的幅頻特性已在-30 dB水平，轉(zhuǎn)換為絕對(duì)值，約為10-2的量級(jí)。若將傳遞函數(shù)模型以絕對(duì)值表示，則式(11)對(duì)幅頻特性曲線的影響極小。因此，在辨識(shí)過程中，將PFSM系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分為式(10)和式(11)兩部分，先以式(10)擬合，得到擬合結(jié)果后，從測(cè)量得到的頻率特性中提出式(10)，再以式(11)擬合。

由于實(shí)測(cè)的PFSM系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的頻率特性是非線性的，因而使用非線性最小二乘法辨識(shí)參數(shù)，用幅頻模型進(jìn)行擬合，以相頻特性輔助進(jìn)行結(jié)果檢驗(yàn)。Matlab的Curve Fit工具箱提供了豐富的曲線擬合功能。將幅頻特性以絕對(duì)值表示，導(dǎo)入工具箱，同時(shí)提供函數(shù)模型為式(9)的幅頻模型，即

(13)

在Curve Fit里使用非線性最小二乘法進(jìn)行曲線擬合，同時(shí)選擇魯棒性為最小殘差法，置信區(qū)間為使系數(shù)限制有效。非線性最小二乘法需要提供參數(shù)初始值，若初始值選擇不當(dāng)，則容易使誤差函數(shù)陷入局部極小值，不能給出期望的擬合效果。使用Matlab的單輸入單輸出(SISO)工具，根據(jù)傳遞函數(shù)模型選擇零極點(diǎn)，構(gòu)造出一個(gè)頻率特性與實(shí)測(cè)的PFSM系統(tǒng)頻率特性相接近的傳遞函數(shù)，然后將選擇的零極點(diǎn)作為擬合的初始值，從而有效避開局部極小值的影響。式(13)中，將a0，b0，b1，b2的初始值分別設(shè)定為1，1×10-7，1×10-3，1×10-4，并限定各參數(shù)最小值為0。擬合出的4個(gè)參數(shù)的值分別為0.856，2.539×10-6，5.388×10-4，3.788×10-4。

擬合出的主傳遞函數(shù)與實(shí)測(cè)傳遞函數(shù)的頻率特性的對(duì)比結(jié)果如圖6所示。根據(jù)上述分析，從圖6中剔除主傳遞函數(shù)的頻率特性，以相同方法擬合機(jī)械諧振環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。式(11)中，將b3，b4，b5，b6的初始值分別設(shè)定為2×10-7，1×10-7，2×10-7，1×10-4，并限定各參數(shù)最小值為0，擬合出的4個(gè)參數(shù)的值分別為3.610×10-7，1.221×10-4，2.825×10-7，1.081×10-4。機(jī)械諧振環(huán)節(jié)幅頻特性的擬合情況如圖7所示。

圖6 主傳遞函數(shù)與實(shí)測(cè)傳遞函數(shù)的頻率特性對(duì)比Fig.6 Comparison of frequency characteristics between main transfer function and measured transfer function

圖7 機(jī)械諧振環(huán)節(jié)幅頻特性擬合情況Fig.7 Fitting of amplitude frequency characteristics of mechanical resonance

綜合上述擬合參數(shù)，可得出PFSM系統(tǒng)實(shí)測(cè)頻率特性與擬合得到的傳遞函數(shù)頻率特性的對(duì)比結(jié)果，如圖8所示。由圖可見：經(jīng)過參數(shù)辨識(shí)的PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)幅頻和相頻特性曲線與實(shí)測(cè)曲線吻合度很高。實(shí)測(cè)頻率特性與辨識(shí)頻率特性之間的誤差如圖9所示。由圖可見：在低頻段(小于150 Hz)，幅頻誤差小于0.1 dB，相頻誤差小于1°；在高頻段，幅頻誤差約為0.3 dB，相頻誤差最大為3°。這一方面是由于系統(tǒng)在高頻段對(duì)一些小噪聲比較敏感，另一方面是由于在辨識(shí)中忽略了高頻段存在的一些小的機(jī)械諧振。不過，擬合誤差都在可接受范圍內(nèi)。

圖8 PFSM系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與擬合頻率特性Fig.8 PFSM system’s frequency characteristics of open loop transfer function and fitting transfer function

圖9 PFSM系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)與擬合頻率特性之間的誤差Fig.9 PFSM system’s frequency characteristic errors between open loop transfer function and fitting transfer function

3 PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)辨識(shí)在實(shí)際控制系統(tǒng)中的應(yīng)用

針對(duì)以上分析，為檢驗(yàn)辨識(shí)效果，設(shè)計(jì)補(bǔ)償器為

(14)

則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

(15)

式中：GAD(s)=(1-e-Ts)/(Ts)，T為采樣時(shí)間；KP，TI分別為需要調(diào)節(jié)的PI控制器參數(shù)。采樣時(shí)間T為0.000 2 s，在仿真時(shí)將GAD(s)進(jìn)行Pade線性化。用式(15)補(bǔ)償一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，其目的是保證補(bǔ)償器C(s)的分母階數(shù)不小于分子階數(shù)，使之符合因果性。當(dāng)系統(tǒng)跟蹤如下正弦信號(hào)時(shí)，即

x(t)=12.5sin(10πt)

(16)

調(diào)節(jié)PI參數(shù)，令KP=1.411，TI=1/2 073，此時(shí)PFSM系統(tǒng)輸出曲線如圖10所示，其誤差曲線如圖11所示。由圖可見：對(duì)于振幅為12.5 mrad，頻率為5 Hz的正弦目標(biāo)，其跟蹤誤差最終穩(wěn)定在0.25 mrad以內(nèi)。

圖10 校正后的PFSM系統(tǒng)輸出曲線Fig.10 Output curve of corrected PFSM system

圖11 校正后的PFSM系統(tǒng)輸出誤差曲線Fig.11 Output error curve of corrected PFSM system

對(duì)于校正后的PFSM系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性如圖12所示。此時(shí)，系統(tǒng)的幅值裕度為15.9 dB，相位裕度為61.6°，開環(huán)截止頻率為308 Hz。如果未對(duì)PFSM系統(tǒng)進(jìn)行校正，則其開環(huán)頻率特性如圖13所示。此時(shí)，系統(tǒng)的幅值裕度為4.96 dB，相位裕度為14.4°，開環(huán)截止頻率為127 Hz，300 Hz處的機(jī)械諧振環(huán)節(jié)會(huì)導(dǎo)致該頻率附近的誤差和噪聲放大，降低系統(tǒng)性能。通過雙二階濾波器和經(jīng)典PI算法，系統(tǒng)的幅值裕度提高了10.94 dB，相位裕度提高了47.2°，開環(huán)截止頻率提高了181 Hz。

圖12 校正后PFSM系統(tǒng)的開環(huán)特性Fig.12 Open loop characteristics of corrected PFSM system

圖13 未校正PFSM系統(tǒng)的開環(huán)特性Fig.13 Open loop characteristics of uncorrected PFSM system

4 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)壓電疊堆材料的特性和反射鏡的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，構(gòu)建了PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型，并結(jié)合實(shí)測(cè)的PFSM系統(tǒng)幅頻和相頻響應(yīng)特性，應(yīng)用非線性最小二乘曲線擬合法，通過Matlab SISO工具箱放置開環(huán)零極點(diǎn)，從而選定合適的迭代初值，針對(duì)不同頻率特性進(jìn)行分段擬合，得到了精確的PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)。通過實(shí)測(cè)傳遞函數(shù)與擬合傳遞函數(shù)的對(duì)比，驗(yàn)證了PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型的合理性。由此設(shè)計(jì)的雙二階濾波器和經(jīng)典PI相結(jié)合的控制算法有效降低了機(jī)械諧振的影響，擴(kuò)寬了控制系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬。通過辨識(shí)建立的精確的PFSM系統(tǒng)傳遞函數(shù)，為高性能的光電跟蹤系統(tǒng)提供了控制器設(shè)計(jì)依據(jù)。