探索根源之道 滋潤理性之思
——以 “分?jǐn)?shù)乘法”為例談算理與算法處理

王國宏

（浙江省杭州市蕭山區(qū)江寺小學(xué)，浙江 杭州 311201）

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過解決實(shí)際問題進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，增進(jìn)對運(yùn)算意義的理解。計(jì)算教學(xué)的目的并不是讓學(xué)生操練某些習(xí)題得到正確的答案，形成某些運(yùn)算技能，而是讓學(xué)生在遇到一些數(shù)學(xué)實(shí)際問題，能提出解決問題的方案，當(dāng)需要計(jì)算時(shí)，因?yàn)閷\(yùn)算意義的充分理解，才能選擇合適的算法，并能在算理和算法的提煉歸納中，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力和思維能力，感悟數(shù)學(xué)思想方法。

算理是指“為什么要這樣計(jì)算”的道理，算法就是“怎樣來計(jì)算”的方法和程序。算理與算法是相輔相成的。然而有很多情況下，學(xué)生只知算法而不明算理，甚至有很多情況下，學(xué)生通過培訓(xùn)班或者提前學(xué)習(xí)后，已經(jīng)懂得算法，并能簡單計(jì)算，卻不太清楚算理。以《分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)》為例，筆者在教學(xué)之前抽取本校六年級(jí)六（1）和六（2）班78人做了前測，前測共3道題，①計(jì)算②寫法則③說說為什么這么算，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理和分析。

表一：《分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則》前測

表中的數(shù)據(jù)，關(guān)于計(jì)算，因?yàn)楸容^簡單，因?yàn)榻滩脑缫严掳l(fā)的原因，學(xué)生稍微看書預(yù)習(xí)一下，也能寫出答案，所以新課還沒學(xué)，很多學(xué)生已經(jīng)會(huì)計(jì)算了，而且相當(dāng)一部分學(xué)生能寫出分?jǐn)?shù)乘法法則的基本內(nèi)容，而第三個(gè)問題“你為什么這么算的依據(jù)”，有65%的學(xué)生答了“因?yàn)楹唵巍⒎奖恪保?0%的學(xué)生答“規(guī)定要這么算的”“規(guī)定要這么算的”，只有3位學(xué)生用圖示畫了自己這樣做的根據(jù)。

基于前測，我們發(fā)現(xiàn)，孩子們已經(jīng)對算法大致了解，但對算理極其不清，而且學(xué)生自我感覺，能對算法法則進(jìn)行簡單模仿，機(jī)械套用就自認(rèn)為已經(jīng)學(xué)會(huì)了。

一、教學(xué)前，對算理分析思考

（一）思考一，為什么學(xué)生不重視算理？

對學(xué)生而言，初學(xué)某個(gè)領(lǐng)域的計(jì)算，最想知道的是“怎么算”，因?yàn)椤皶?huì)算”就意味著就能做對習(xí)題、熟練了就能應(yīng)對考試。因?yàn)榭荚嚮旧喜粫?huì)考算理，“算理”是個(gè)什么東西？平時(shí)用不上，所以不重視。同時(shí)就成年人而言，某一個(gè)領(lǐng)域的計(jì)算，當(dāng)他已經(jīng)會(huì)算了，形成技能了，他還會(huì)、還有必要記得“為什么這么算”的算理嗎？無需。生活中，常用的是技能而不是算理。所以很多學(xué)生學(xué)習(xí)算法知識(shí)技能層面較多，而對思維的方式的正確性，計(jì)算中的推導(dǎo)等能力不太重視。

（二）思考二：學(xué)生會(huì)算了“還要去明晰算理嗎”

基于前測，當(dāng)93%的學(xué)生能算出得數(shù)，我們“還要去明晰算理嗎”？我們思考，學(xué)生“會(huì)”了什么？如果僅是會(huì)算就是“會(huì)”了，那么現(xiàn)代社會(huì)“計(jì)算器”“計(jì)算機(jī)”又快又熟練，何苦為難孩子？很顯然，我們并不要把孩子操練成“計(jì)算器”。很顯然，計(jì)算教學(xué)是一個(gè)載體，通過計(jì)算教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷“為什么是這樣算”的發(fā)現(xiàn)過程，理解“計(jì)算方法”源自哪里？這期間所需要的觀察、比較、推理、判斷、概括、歸納等能力的培養(yǎng)是不言而喻的，所積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法對孩子發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力提升，有了厚積薄發(fā)的過程。簡單記憶“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”計(jì)算法則進(jìn)行操練，與建構(gòu)在“理解算理基礎(chǔ)上的計(jì)算方法歸納”，其潛能和思考能力發(fā)展是兩個(gè)完全不同的層次，探索根源之道，才能滋養(yǎng)理性之思。

二、如何引導(dǎo)學(xué)生探究“算法”背后的“算理”？

（一）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，證明猜測，激勵(lì)學(xué)生探求算法依據(jù)

當(dāng)接觸一種新的計(jì)算法則時(shí)，學(xué)生已經(jīng)能簡單計(jì)算，就要驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，利用原有知識(shí)儲(chǔ)備，思考為什么可以這樣算。所以課伊始，安排分?jǐn)?shù)單位相乘的計(jì)算。

基于前測，站在學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)上，當(dāng)學(xué)生得出計(jì)算結(jié)果時(shí)，教師并不作對錯(cuò)判斷，而是讓孩子想辦法證明自己的想法是對的，重心已經(jīng)從算法轉(zhuǎn)移到算理。

孩子們其實(shí)不習(xí)慣于表達(dá)算理，回答“為什么這樣算”是對的，有學(xué)生就說“我們培訓(xùn)班老師說過”，有學(xué)生說“書上就是這么寫的，我看到過的”來回答。老師告知學(xué)生“培訓(xùn)班老師說的”，“書上說寫的”，都說明古人通過很多次探究在積累，難道我們不會(huì)探究嗎？說明自己的想法，有根有據(jù)地讓別人認(rèn)同你的想法是非常了不起的能力。不唯書、不唯師，是獨(dú)立思考能力和科學(xué)精神的重要表征。

“證明”這一任務(wù)的驅(qū)動(dòng)，逼使孩子們由單純追求計(jì)算結(jié)果，轉(zhuǎn)移到證明“為什么這么算”，由算法到算理，實(shí)際是一個(gè)理性思考，需要孩子們?nèi)プ繁舅菰矗ニ伎几鞅硎臼裁匆饬x，小組分享與交流，又利于引發(fā)學(xué)生多角度發(fā)現(xiàn)，算理可以用圖、文字、算式等不同的方式進(jìn)行表述，把思維過程外顯，其實(shí)是理性思維培養(yǎng)的樣式。在思考活動(dòng)后，學(xué)生需把智慧外顯，用圖、文、算式等不同的方式表達(dá)出來。用“證明自己的想法與算法，并向他人分享”這樣的核心問題驅(qū)動(dòng)課堂，既促進(jìn)學(xué)生開展深入的思考，又提升學(xué)生有理有據(jù)地進(jìn)行表達(dá)的能力，同時(shí)也能讓算理在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上更多樣化的表征。

（二）辨析溝通，多樣化表征，讓學(xué)生明確算法依托

研究證明，單純的行為參與方式并不能促進(jìn)學(xué)生高層次能力的發(fā)展，只有以積極的情感體驗(yàn)和深層次的思考為核心的學(xué)習(xí)方式，才能促進(jìn)學(xué)生的主體發(fā)展。學(xué)生探究并解釋的過程，首先是獨(dú)立思考，由于有了積極的情感體驗(yàn)和深層次的思考，在小組交流時(shí)，學(xué)生已經(jīng)不滿足與簡單的參與，而是重點(diǎn)在“讓同學(xué)明白我這樣的算法是有根據(jù)的”，“教懂別人”，已經(jīng)是更高層次的學(xué)習(xí)方式了。所以經(jīng)過小組交流“求同存異”形成觀點(diǎn)，在班級(jí)匯報(bào)的受一共出現(xiàn)好多方法：

1.意義入手，數(shù)形結(jié)合，圖式化詮釋算理

已有認(rèn)知基礎(chǔ)是現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，當(dāng)遇到分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算法根據(jù)時(shí)，學(xué)生不知道，自然而然地用“分?jǐn)?shù)的意義”來解釋，這說明學(xué)生能根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決新的問題，這是認(rèn)識(shí)世界的重要手段，而分?jǐn)?shù)的意義，學(xué)生是能夠用圖來表征的，但是當(dāng)學(xué)生能把自己的思考過程用圖畫“外顯”，這是極好的一種方法。

下面圖1，2，3，4是教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生對乘法結(jié)果的解釋與證明：

圖：1用線段圖表示

圖2：用長方形圖表示

圖3：用5個(gè)圓為整體1表示

圖4：用面積圖表示

上圖所示的這四種表示方法，孩子們是這么表述的

生甲：我們小組中有同學(xué)把一條線段看做單位1，平均分成5段，每一段就是，再×，就是再一半，這時(shí)候，這個(gè)小段，相當(dāng)于原來的線段的我們認(rèn)為是對的。

生乙：圖2中的實(shí)線是把長方形平均分成了5個(gè)長條，虛線是把每個(gè)長條又平均分成了2份，這樣一共分成了10個(gè)小長條，1個(gè)長條就是我們認(rèn)為也是對的。

生丁：我們的做法其實(shí)跟圖2的道理是一致的，都是把長方形先豎著分成5份，找到，再橫著分成2份，找到涂上顏色，這涂上顏色的部分就是

以上4種作圖，通過表述和交流，學(xué)生們突然發(fā)現(xiàn)，都是先畫個(gè)圖表示單位1，再分一分，找到再分一分，找到，最后都是把單位“1”平均分成10份，產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位，而新分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)都是1。這幾種方法本質(zhì)是一樣的，只是單位“1”樣式不同而已。

這些圖形表征，這些語言表述，讓學(xué)生在頭腦中對分?jǐn)?shù)單位乘法進(jìn)行了豐富的表象，讓算法有了算理的支撐，在求同存異的交流中，更懂得怎么去探求新知識(shí)的方法。

建構(gòu)主義理論家皮亞杰說過：兒童的思維是從動(dòng)作開始。因而，要促使學(xué)生思維發(fā)展，不能切斷動(dòng)作與思維聯(lián)系。 “畫一畫、涂一涂、量一量、實(shí)物演示”等動(dòng)手實(shí)踐方式，能讓學(xué)生獲得最直接的體驗(yàn)，建構(gòu)豐富的感性認(rèn)識(shí)，從而理解算理，形成算法。

2.多元互化，融會(huì)貫通，讓算法有更多支撐

當(dāng)?shù)竭_(dá)小學(xué)六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的計(jì)算時(shí)，學(xué)生已經(jīng)積累了整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)意義等知識(shí)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，分?jǐn)?shù)乘法的算理可以在分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系中推理所得，也可以根據(jù)分?jǐn)?shù)小數(shù)互化推理，得到解釋和證明，從而使分?jǐn)?shù)乘法的算理建構(gòu)融會(huì)貫通。如下圖所示：

以上兩類推理方法均運(yùn)用了“轉(zhuǎn)化”的思想方法，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，要證明分?jǐn)?shù)乘法的推理是有根據(jù)的，還能通過原來學(xué)過的小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系進(jìn)行“轉(zhuǎn)化”，其實(shí)是打開了一片的新的思維天地，方法①和②，都可以看做分?jǐn)?shù)的意義的算式表述過程，而方法③把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)再計(jì)算，當(dāng)然可以證明自己的思考的正確性。

通過多元互化，融會(huì)貫通，在辨析與溝通中，學(xué)生在“同”與“不同”中越來越明晰、理解算理。

3.抽象概括，歸納梳理，從算理中提煉出算法

史寧中教授說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。知道為什么要這么算的算理后，我們要把讓學(xué)生經(jīng)歷從算理到算法的歸納過程，通過學(xué)生觀察、概括和推理，抽象出算法，就是一個(gè)建構(gòu)模型的過程，因而從算理到算法，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維極佳的機(jī)會(huì)，從理解算理到形成算法，是計(jì)算教學(xué)的必經(jīng)之路。

師：是啊，通過多種解釋，我們依然可以發(fā)現(xiàn)，單位分?jǐn)?shù)相乘產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位的數(shù)量仍然是1。為了便于記憶，我們在計(jì)算單位分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，習(xí)慣上將算法口訣化：單位分?jǐn)?shù)相乘，分母相乘的積作為積的分母，分子是1。

史寧中教授說，數(shù)學(xué)技巧并不是非常重要，最關(guān)鍵要教孩子“怎么想”和“怎么去想”，“會(huì)不會(huì)”不是老師教出來，應(yīng)該是“學(xué)生悟出來的”，重視算法提煉的過程，其實(shí)是對知識(shí)的“悟”的過程，它必須建構(gòu)與對算理的理解，分?jǐn)?shù)乘法算理的理解雖然有點(diǎn)難，但是因?yàn)橛凶寣W(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自己推理思考、感悟提煉的過程，“計(jì)算法則”不再是“習(xí)得知識(shí)”，而是“悟道”與“智慧”，因而不但使算法逐漸清晰，更使思考有隨時(shí)的圖像再現(xiàn)可能。

4.自主探究，從特殊到一般,算理隨時(shí)隱現(xiàn)

當(dāng)學(xué)生多元學(xué)習(xí)單位分?jǐn)?shù)相乘的算理和算法后，引導(dǎo)學(xué)生自主探究“單位分?jǐn)?shù)乘一般的分?jǐn)?shù)”，從簡單到復(fù)雜，從扶到放，學(xué)、思、用結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生理解 “為什么”,從而自主得到算法，也算是掌握思考的方法和學(xué)習(xí)的策略。

【教學(xué)片段】

學(xué)生交流中發(fā)現(xiàn)有如下類別：

（1）遷移——畫圖表示分?jǐn)?shù)乘法意義中得到算法

如右圖：把大長方形當(dāng)作單位“1”，先豎著把單位“1”平均分成5份，取1份得到，再把橫著平均分成3份，取2份，這相當(dāng)于把原來的大長方形平均分成了15份，每份是，取2份，即。

（2）拆數(shù)轉(zhuǎn)化——一般分?jǐn)?shù)拆成基本分?jǐn)?shù)單位

而化成小數(shù)乘法來解釋，或者分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來解釋的，基本沒有，說明孩子們已經(jīng)從方式多樣化自然而然地進(jìn)行了方法的優(yōu)化，而且這兩種方法的思考與解釋，都各有亮點(diǎn)，方法（1）完全理解了分?jǐn)?shù)乘法的“運(yùn)算的意義”，所以算理順手就來，方法（2），學(xué)生知識(shí)現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，拆開分?jǐn)?shù)，使他轉(zhuǎn)化為我們剛剛已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)，其實(shí)學(xué)習(xí)品質(zhì)已經(jīng)是極高了。

5.拓展延伸，從算理到算法，形成完整建構(gòu)

新課教學(xué)時(shí)，特別重視算理，當(dāng)每一道題能演算出結(jié)果，算法都能隱現(xiàn)，就達(dá)到了算理與算法的緊密結(jié)合，使思維可以外顯。當(dāng)學(xué)生學(xué)完單位分?jǐn)?shù)相乘、單位分?jǐn)?shù)乘一般分?jǐn)?shù)后，我們出示最普通的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生自主建構(gòu)問題解決的模型。

學(xué)生很顯然把分?jǐn)?shù)乘法的算理進(jìn)行了優(yōu)化，喜歡把畫長方形當(dāng)作單位“1”，然后豎著平均分，涂色得到第一個(gè)分?jǐn)?shù)，再橫著平均分，涂色得到第二個(gè)分?jǐn)?shù)，交叉涂色的部分就是所得的分?jǐn)?shù)的結(jié)果。并且得到結(jié)論，總共是分成了5×3=15份，所以分母是15，而雙重涂色的是2×4=8份，所以

學(xué)數(shù)學(xué)不做題不行，但是大量重復(fù)操練肯定不行，數(shù)學(xué)家很多時(shí)間都在做題，但更多的時(shí)候是找模型，建構(gòu)模型后的做題才是做題，所以我們小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)，也要讓孩子多些思考和悟的過程，而不是把知識(shí)嚼碎了，喂進(jìn)孩子嘴里，再重復(fù)操練，這將扼殺學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，探索模型、解決問題的樂趣，更將孩子直觀思維和創(chuàng)新能力進(jìn)行扼制。計(jì)算教學(xué)，以算理探索與理解，由此摸索提煉算法，這樣的過程，才是有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。這毫無意義，運(yùn)算能力的培養(yǎng)與發(fā)展，必須結(jié)合算理來進(jìn)行，無論怎樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，

綜上所述，計(jì)算教學(xué)，必須讓學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上來掌握算法，如果用畫圖、直觀理解等表達(dá)和解釋算理——“為什么這么算”，再從算理的充分理解下，觀察歸納推理計(jì)算方法，用多元建構(gòu)、融會(huì)貫通，不但能讓算法有了豐富的算理表象支撐，更能讓數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得有一個(gè)“悟”的過程、“思考”的過程，由知道“是什么”到思考“為什么”，由“吞咽知識(shí)”到“了悟智慧”，能使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)逐漸豐富，認(rèn)知廣度和深度擴(kuò)張，思考漸成習(xí)慣，這才是我們數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)要達(dá)到的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)課應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)。