培養學生在數學學習中的聯想能力

楊業業

[摘? 要] 數學聯想能力能將數學各不同分支或章節之間的內容相互聯系與滲透，教師應善于利用舊知、直觀、直覺與推理的結合，特殊與一般的結合引發學生展開聯想并促進學生思維與解題能力的不斷攀升.

[關鍵詞] 聯想;舊知;新知;直觀;直覺;推理;特殊;一般

教師著眼于學生舊知、直觀、直覺與推理的有機結合以及特殊與一般的有機結合進行思維聯想的引導，能使學生在化繁為簡、化抽象為具體、化陌生為熟悉的數學聯想中獲得思維與能力的同步提升. 事實上，聯想能力在數學學習中的參與還能很好地培養學生思維的廣闊性與創造性. 那么，教師在實際教學中究竟應該怎樣培養學生展開合理聯想并促進思維發展呢？

利用舊知引發聯想

新知識都是在舊知識的基礎上增加內容或對舊知識重新組織、轉化而形成的，因此，著眼于舊知識這一新知學習的?？奎c對學生的思維進行觸動并引其聯想是很好的一個手段.

例如，筆者在“二次函數與一元二次方程”這一內容的教學中首先設計了這樣的例題：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，請觀察圖像并回答問題：

（1）方程ax2+bx+c=0的兩個根是什么？

（2）不等式ax2+bx+c>0的解集如何？

（3）如果方程ax2+bx+c=k有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍如何？

很多學生在自主解決第（1）題時首先想到的都是求拋物線的解析式y=-2（x-2）2+2，接著解方程-2（x-2）2+2=0.筆者首先肯定了學生的想法，然后又引導學生對二次函數與一元二次方程形式上的區別和聯系進行了仔細的觀察與分析. 學生很快發現在y=ax2+bx+c（a≠0）中，令y=0就能得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），因此，只要求出對應拋物線和x軸交點的橫坐標就能求出ax2+bx+c=0（a≠0）的解.

大多數學生在第（1）小題的解決中已經建立了一定的經驗，因此沒有盲目去解不等式-2（x-2）2+2>0.觀察其形式可得，在二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，令y>0可得不等式ax2+bx+c>0（a≠0），因此，不等式的解即為二次函數圖像在x軸上方的圖像所對應的橫軸坐標，因此，解集是1

學生在第（3）小題的解決中給了筆者驚喜，有學生沒有經過動筆計算而直接給出了答案，筆者引導學生將解題思路進行了分享：求出當k為何值時能令二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）和一次函數y=k有兩個交點即可，因此結合圖像可得k<2.

借助直觀引發聯想

很多抽象、概括、不便演算的代數式往往借助形象、具體、直觀的圖形能夠表達得一目了然，因此，教師在平時的教學中應善于引導將代數式進行一定的轉換，使學生能夠聯想圖形進行觀察、分析并獲得解題的突破.

例如，求x-1+x-2+x-3的最小值.

這是一條已知條件特別簡單的代數問題，很多學生初看此題時往往覺得難以下手. 筆者在此題的教學中首先引導學生聯想了絕對值的幾何含義，強調了數軸這一數與形的碰撞并要求學生畫出數軸，引導學生結合題意與數軸建立幾何模型，問題很快得到了轉化. 學生在筆者的引導下展開了尋找表示x的點并令其到1，2，3各點的距離之和最小，學生很快發現當x在數軸上2的位置時，x-1+x-2+x-3能取得最小值4.此題還可以做出一定的拓展，比如求x-1+x-2的最小值，求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值，求x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值，等等. 在求出一系列的值之后，筆者又引導學生對一般性的結論進行了歸納：求y=

x-a+

x-a+

x-a+…+

x-a的最小值，根據絕對值的意義可得，當n為偶數時，若a≤x≤a，y的值最小;當n為奇數時，若x=a，y的值最小.

顯而易見，學生的思維在數與形的聯想中得到了發展，教師應經常引導學生進行數形結合的聯想并使學生樹立起一定的意識與習慣，很多原本令學生難以下手的題目也會因此變得直觀而簡單了.

在直覺與推理的結合中引發聯想

數學問題的解決在很大程度上也要依賴直覺的作用，很多直覺的判斷對于解題來說精準而又直奔主題，不過，教師在實際教學中也應引導學生不得過分依賴直覺，很多經驗主義的錯誤就是過分依賴直覺而導致的.

例如，小明上山時的速度是5千米/時，原路返回下山時的速度是7千米/時，他往返的平均速度是________千米/時.

很多學生初看題目時都會覺得非常簡單，也會很快得出6千米/時的答案，事實上，這就是學生過分依賴直覺而產生的錯誤. 對題目重新審視就會發現，路程除以時間的公式始終是不能忽略的，因此，正確解題應為：設該段路程是s千米，則上山用時應為小時，下山用時應為小時，因此，小明上山、下山往返的平均速度應為千米/時.

變式：小明上山一共用了4小時，前半段時間的平均速度是5千米/時，后半段時間的平均速度是7千米/時，小明上山時的平均速度是_______千米/時.

經過計算可得此處的答案為6.

題目解決至此，筆者對學生進行了適時的引導，啟發學生在以下思考中獲得更深的領悟：甲、乙兩部卡車均在直線運動中，甲車前一半位移的平均速度是v，后一半位移的平均速度是v，則其全程的平均速度v=______;乙車前一半時間的平均速度是v，后一半時間的平均速度是v，則其全程的平均速度是v=______（v≠v）.

教師在實際教學中應善于引導學生從感性認識中進行抽象并使其得到生長，在一定的加工與提煉之后將其上升至理性認識的層面并使得學生的思維空間最終得到有意義的延伸與拓展.

在特殊與一般的結合中引發聯想

很多事物的認識都是從特殊到一般化的結果，因此，教師在相關內容的教學中應善于引導學生從特殊現象入手并展開聯想.

例如，“用字母表示數”這一章節的內容就將特殊到一般的思想方法展現得淋漓盡致. 事實上，這一思想方法在很多的數學解題中都得到了應用. 很多具備特殊結構或背景的數學問題，只要能夠在解題時針對等式的結構特點將一般與特殊之間的矛盾關系進行靈活運用即可得到轉化.

在動靜結合中引發聯想

近幾年的數學中考試題中都會有一些動態的問題，動態問題的解決往往需要從特殊情形切入并在變化中求不變，動態問題一旦轉化成靜態問題也就意味著“動”“靜”之間的聯系已經達成，解題突破也會因此而快速獲得.

例如，如圖2，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點O為AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP=3.現動點E從點O出發并以每秒1個單位長度的速度沿OA做勻速運動，到達A點后即沿AO返回，速度不變. 動點F從點P出發并以同樣速度沿射線PA做勻速運動. 若點E，F同時出發并至兩點相遇時停止運動，在兩點運動的過程中，以EF為邊作等邊△EFG并使△EFG與矩形ABCD在射線PA的同側. 設運動的時間是t秒（t≥0）. （1）當等邊△EFG的邊FG恰好經過點C時，運動時間t的值如何？（2）在整個運動中，設等邊△EFG與矩形ABCD的重疊部分面積是S，則S和t之間的函數關系式是怎樣的？自變量t的取值范圍如何？

第（1）問中，等邊△EFG的邊FG恰好經過點C意味著點E，F此處處于靜止狀態，因此，只要畫出圖形并求出PF的長度即可解決問題.

第（2）問中，等邊△EFG因為點E，F的運動而變化，所以它與矩形ABCD重疊部分的圖形是不確定的. 不過，不管如何運動，總有一些特殊位置會將變化前后的圖形聯系起來. 這一特殊的位置其實就是點E，F靜止的瞬間，這也是解題的關鍵. 本題中除了開始與結束時候的特殊位置以外，還有以下三個特殊的位置：①邊FG恰好經過點C;②點F和點B重合（點E和點A重合），即t=3時;③點G恰好落在邊CD上，即t=4時. 畫出相應圖形并進行聯想，由此可分成0≤t<1，1≤t<3，3≤t<4，4≤t<6這四種情況，畫出相應圖形并在各類別中任取一個位置來體現該類圖形的共性，最后再計算得解.

數學學習中的聯想其實是學生思維的放飛，教師在實際教學中應不斷引導學生展開多角度、多方位、多層次的聯想并以此促進學生思維與解題能力的不斷攀升.