圓與圓的綜合題（上）

“與圓有關的綜合題”系列一經推出，受到了不少“造粉”的喜愛，大臉兔在QQ以及“學苑創造雜志”的微信公眾號后臺都收到了同學們的熱烈反饋，希望還能繼續推出這系列的文章。所以大臉兔再次邀請甘曉云老師來為同學們講解與圓有關的綜合題。大家可要認真學習喲。

在初中階段，圓與圓的綜合題不會太難，大致可以分為兩類：一是求面積（這類題目大多與弧的知識相關）；二是求（證明）切線（下期講）.本期先講解求面積.

一、求面積

這類題仔細觀察你就會發現，將圖形進行割補往往能湊成我們熟悉的規則圖形，再利用規則圖形的面積和差就能很快計算出所求部分的面積.

1.如圖，在半徑為1cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A.πcm2 B.[23]πcm2 C.[12]cm2 D.[23]cm2

【解析】仔細看圖形，不難發現，將陰影部分進行拼湊，會得到一個直角三角形.已知半徑，只需要勾股定理求出AB的長度即可.答案C.

【點撥】雖然本題沒有涉及扇形、弧長等知識，但是既然出現了這樣的圖形，我們就一起來復習扇形的相關知識——

一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形（半圓與直徑的組合也是扇形）.顯然，它是由圓周的一部分與它所對應的圓心角圍成。

扇形面積公式：[S扇]=[n360πR2=12lR]，其中n是扇形的圓心角度數，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長.

2.如圖，⊙A與⊙B外切于⊙O的圓心O，⊙O的半徑為1，則陰影部分的面積是_____________.

【解析】首先觀察圖形，陰影部分的面積等于⊙O的面積減去空白部分的面積，但是這個空白部分不是我們熟悉的圖形，所以我們必須添加輔助線，讓它變成我們熟悉的圖形.

連接DF，DB，FB，OB，OD，因為⊙O的半徑為1，所以OB=BD=BF=OD=1，即△OBD是等邊三角形，則有DF垂直平分OB，交點為G，那么空白部分的面積就是4個相同的ODF的面積.

ODF是個弓形，弓形面積就是扇形面積與圓心角的面積之差.我們只需要求出一個弓形ODF的面積即可.

根據勾股定理，DF=2[（BD2-DG2）]=2[1-14]=[3]

S弓形ODF=S扇形BDF-S△BDF=[n360πR2]-[12]DF×BG=[120π×12360-12×3×12]=[π3-34]

所以S陰影部分=S⊙O[-]4S弓形ODF=[π-4×π3-34=3-π3]

【點撥】本題考查了圓與圓的位置關系以及扇形面積的計算.解題的關鍵是明確不規則的陰影部分的面積如何轉化為規則的幾何圖形的面積.

3.如圖，半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為（ ）.

A.[π2-1]cm2 B.[π2+1]cm2 C.1cm2 D.[π2]cm2

【解析】陰影部分的面積不是我們熟悉的圖形，但是通過觀察，可以發現，陰影部分的面積等于扇形AOB的面積減去以OB為直徑的半圓，和一個三角形.這個三角形就是通過割補的方式湊出來的，你發現了嗎？

建立起了關系，我們添加輔助線即可求解.

如圖所示，設以OA，OB為直徑作的兩個半圓相交于點D，連接OD.

因為扇形OAB的圓心角為90°，半徑為2，所以S扇形AOB=[90π×22360=π]（cm2）

以OB為直徑的半圓的面積為：[12×π×12=π2]（cm2）

因為三角形AOB是等腰直角三角形，點D是AB的中點，所以過點D做OA的垂線，交OA于點E，則DE=[12]OB=1cm，那么Rt△OAD的面積等于[12]×2×1=1（cm2）.

陰影部分的面積=扇形OAB的面積[-]以OB為直徑的半圓的面積[-]Rt△OAD的面積=[π-π2-1=π2-1]（cm2）.

除了這種割補的方法，你還有其他方法嗎？試一試吧！

4.如圖，把一個斜邊長為2且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°到△A1B1C，則在旋轉過程中，這個三角板掃過的圖形的面積是（ ）.

A.[π] B.[3] C.[3π4+32] D.[11π12+34]

【解析】解題之前必須明確，三角板掃過的圖形面積是由以BC為半徑的扇形，包含∠BAC的三角形以及以AC為半徑的扇形.明確這點之后我們就可以添加輔助線求解了.

如圖所示，設點B掃過的路線與AB的交點為D，連接CD.因為BC=DC，且∠B=60°，所以△BCD是等邊三角形.

利用勾股定理求出BC=1，AC=[3].因此BD=BC=1.由此推出點D是AB的中點，所以△ACD的面積等于△ABC的面積的一半.

所以S△ACD=[12×1×3=32]，S扇形BCD=[n360πR2]=[60360]π×12=[π6]，S扇形ACA1=[n360πR2]=[90360]π×[3]2=[3π4].

三角板ABC掃過的面積=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD=[3π4+π6+32]=[11π12+34]，答案選D.

【點撥】此題不僅考查了旋轉的性質，還考查了直角三角形的性質以及等邊三角形的性質，同學們要注意掌握旋轉前后圖形的對應關系.掃過的面積分成兩個扇形的面積與一個三角形面積是解題的關鍵，也是本題的難點.不少同學會想當然認為三角板掃過的圖形只有兩個扇形，于是求出來的答案會是A.同學們一定要注意審題，避免犯此類錯誤.

5.如圖，在正方形鐵皮上剪下一個圓形和扇形，使之恰好圍成如圖所示的一個圓錐模型.設圓的半徑為r，扇形的半徑為R，則圓的半徑與扇形半徑之間的關系為（ ）.

A.R=2r B.R=r C.R=3r D.R=4r

【解析】根據弧長公式l=[nπR180]計算出扇形的弧長=[90πR180]=[12]πR，圓的周長C=2πr；再根據圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長得到[12]πR=2πr，即可得到R與r的關系R=4r.故選B.

【點評】本題除了考查弧長的計算公式，還考查了圓錐的計算，圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線長，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長.

6.如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中[FK1]，[K1K2]，[K2K3]，[K3K4]，[K4K5]，[K5K6]，…的圓心依次按點A，B，C，D，E，F循環，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…當AB=1時，l2011等于（ ）.

A.[2011π2] B.[2011π3] C.[2011π4] D.[2011π6]

【解析】我們先來試著求幾個弧長：

l1=[nπR180]=[60π×1180=π3]；l2=[60π×2180]=[2π3]；l3=[60π×3180=3π3]；l4=[60π×4180=4π3]…

按照這個規律，不難推出l2011=[60π×2011180=2011π3]，故答案選B.

【點撥】本題并不難，雖然題目看起來復雜，但實際上就是考查同學們是否對弧長公式了然于胸，只要記得公式，順勢推導就能得出答案.

7.如圖，在平面直角坐標系中，點A，B均在函數y=[kx]（k>0，x>0）的圖象上，⊙A與x軸相切，⊙B與y軸相切.若點B的坐標為（1，6），⊙A的半徑是⊙B的半徑的2倍，則點A的坐標為（ ）.

A.（2，2） B.（2，3） C.（3，2） D.[4，32]

【解析】雖然這道題與函數圖象相結合，但只要弄清題意就能找到解題思路.函數是未知的，但是函數上的點是已知的，先把B點的坐標帶入函數，求出k=6，得出函數的解析式是y=[6x].因為點B的坐標為（1，6），且⊙B與y軸相切，所以⊙B的半徑是1，則⊙A的半徑是2，把y=2代入函數的解析式y=[6x]，得x=3，則點A的坐標即可求出，為（3，2）.故答案選C.

【點撥】本題主要考查待定系數法求函數的解析式，以及斜線的性質，圓的切線垂直于經過切點的半徑的相關知識點.

【舉一反三】

1.右圖為△ABC與⊙O的重疊情形，其中BC為⊙O之直徑，若∠A=70°，[BC]=2，則圖中灰色區域的面積為（ ）.

A.[55π360] B.[110π360]

C.[125π360] D.[140π360]

2.如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數是（ ）.

A.25° B.30°

C.35° D.40°

3.如圖，AB，CD是兩條相互垂直的公路，設計時想在拐彎處用一段圓弧形彎道把它們連接起來（圓弧在A，C兩點處分別與道路相切），測得AC=60米，∠ACP=45°.

（1）在圖中畫出圓弧形彎道的示意圖；

（2）求彎道部分的長.（結果保留四個有效數字）.

（答案在本期找）