考慮非關鍵線路影響的PERT網絡計劃完工概率分析

丁 雨 琦

(桂林理工大學土建學院，廣西 桂林 541004)

隨著工程建設的不斷發展，項目規模愈加增大、影響因素愈加復雜，工程項目的計劃與控制變得愈加重要。進度管理一直是工程項目管理重難點，由于工程項目受影響因素繁多，完工是一個不確定的事件，一般以(給)完工概率來表示項目能在指定時間內完成的可能性。研究工程項目的完工概率對工程項目的計劃與控制、項目資源的分配與節約有著重大意義。復雜工程項目中均存在因經驗不足、不確定因素過多導致活動持續時間不確定的問題。現代的項目管理中廣泛應用計劃評審技術PERT(Program/Project Evaluation and Review Technique)進行工程項目的計劃與控制。PERT由美國學者Malcolm等[1]于1950年提出，美國海軍運用計劃評審制度成功縮短了2年“北極星”導彈計劃的制造時間，最終在世界上得到廣泛的推廣與應用。但運用經典PERT法計算工程項目的完工概率時，通行的做法是以網絡計劃圖中關鍵路線的完工概率作為項目的完工概率，不考慮非關鍵線路。而實際上，非關鍵路線的方差較大時非關鍵線路的完工概率有可能小于關鍵線路的完工概率，此時項目的完工概率可能會由非關鍵線路決定。因此，分析PERT網絡計劃中非關鍵路線與關鍵路線的完工概率，討論何種情況下非關鍵線路會主導工程項目完工概率的，是一個值得研究的問題。

1 基本概念和計算方法

(1)

(2)

網絡計劃中每一個工序的持續時間Tij計算完成后，用期望值

代表工序持續時間，可將不確定性網絡計劃轉變為確定性網絡計劃，因此可用關鍵路徑法尋找關鍵路徑及關鍵工作。關鍵線路上各個工作的持續時間之和即為項目工期的期望值，由中心極限定理可知，項目工期近似服從正態分布，其均值與方差即為關鍵路線上各工序工期持續時間期望值之和、方差之和。因此項目的工期持續時間期望值和方差為:

TE=∑Tij

(3)

(4)

項目在給定的要求工期T0下的完工概率可按下式計算:

(5)

(6)

根據λ值，在標準正態分布表[4]上查得的數值即為要求工期為T0時工程項目的完工概率。

2 典例分析

某施工項目的各項工作持續時間估計值如表1所示，項目進度計劃網絡圖見圖1，各個工序的持續時間見表1。

表1 各項活動持續時間估計值 d

表2 各工作期望時間和方差匯總表

圖1中網絡圖有三條線路，可分別計算每條線路的完工時間期望值分別為：22 d(線路A-C-E)、20.83 d(線路A-D)、16.16 d(線路B-E)，其中最長線路A-C-E為關鍵線路，其線路完工時間的期望值為22 d，方差為2.072。如要求項目在25 d內完工，此時完工概率為：

查標準正態分布表可得:

P(λ≤1.45)=92.65%。

即該項目在25 d內完工的概率為92.65%。

以上分析過程即為PERT計算項目完工概率的一般做法，直接用關鍵線路分析完工概率，放棄分析非關鍵線路。這種做法是否妥當，可結合算例來具體分析。算例中非關鍵線路有兩條，計算兩條線路完工時間的方差，并結合其完工時間的期望值進行分析，見表3。兩條非關鍵線路在25 d內的完工概率分別為83.54%(線路A-D)、99.99%(線路B-E)。而前已算得關鍵線路A-C-E的完工概率為92.65%，顯然整個項目能在25 d內完工的可能性不是關鍵線路的92.65%，而是非關鍵線路的83.54%，即算例項目的完工概率是由非關鍵線路確定的。因此利用PERT進行項目完工概率計算時，不考慮非關鍵線路的影響是不完善的。關鍵線路的完工概率不一定決定項目的完工概率，計算時需考慮非關鍵線路對完工概率的影響。

表3 非關鍵線路工期、方差和完工概率

是不是每個項目的完工概率計算都要考慮非關鍵線路的影響，答案顯然是不一定的，以下繼續討論什么情況下需要考慮非關鍵線路，什么情況下可不考慮非關鍵線路，直接用關鍵線路分析即可。

3 非關鍵線路決定完工概率的條件

由以上算例可知，非關鍵線路有可能會決定項目的完工概率，只考慮關鍵線路的做法是不完善的，有必要討論何種情況下必須考慮非關鍵線路，以便得到科學準確的項目完工概率。繼續對算例進行深入分析，考慮不同要求工期T0下的完工概率，設關鍵線路的工期期望值為TE，對以下情形進行具體分析。

1)T0=TE時。

算例中，即T0=TE=22 d，可計算各線路的完工概率如表4所示。

此時施工項目的完工概率由關鍵線路A-C-E決定。

2)T0

例如要求工期T0=21 d時，項目完工概率，分析了當要求工期T0為21 d時，各線路的完工概率如表5所示。

表4 各線路工期、方差和完工概率(T0=TE=22 d)

表5 各線路工期、方差和完工概率(T0=21 d)

此時施工項目在21 d內完工的概率由關鍵線路A-C-E決定。可以繼續分析，取T0=20 d,19 d，…，1 d，分析結果都是一樣的結論，關鍵線路決定此項目的完工概率。

3)T0>TE時。

當要求工期T0為23 d時，各線路的完工概率見表6。

表6 各線路工期、方差和完工概率(T0=23 d)

此時施工項目的完工概率依然由關鍵線路A-C-E決定，但非關鍵線路A-E的完工概率逐漸趨近于關鍵線路A-C-E的完工概率。

要求工期T0為24 d時，各線路的完工概率如表7所示。

此時施工項目的完工概率不再由關鍵線路A-C-E決定，而是由非關鍵線路A-D決定。繼續增大要求工期T0，得到的結論也是一致的，都是非關鍵線路決定項目完工概率。這是由于非關鍵線路的方差較大，工期的概率分布較為分散所致。

綜上，該施工項目運用PERT方法計算項目完工概率時，若要求工期不小于24 d時，非關鍵線路決定項目的完工概率，單獨分析關鍵線路會得到錯誤的結果，必須考慮非關鍵線路對項目完工概率的影響。

4 結語

通過以上分析可知，在PERT網絡計劃中，要求工期T0不大于關鍵線路的工期持續時間期望值TE時，關鍵線路的完工概率小于任意非關鍵線路的完工概率，此時直接分析關鍵線路即可得到項目的完工概率；要求工期大于關鍵線路的工期期望值TE時，且非關鍵線路方差明顯大于關鍵線路的方差時，必須考慮非關鍵線路對工程項目完工概率的影響，對關鍵線路與非關鍵線路都進行按時完工的可能性分析，以便得到正確結論，更好的指導工程項目管理。