加勁鋼板在荷載作用下的屈曲模式分析

李 云 帆

(西安科技大學力學系，陜西 西安 710054)

0 引言

目前，我國的基礎設施建設正在如火如荼的進行當中，特別是公路以及橋梁的建設，對某些地區的經濟發展尤為重要。在基礎設施建設中，橋梁工程的整體難度及要求均非常高，這就對工程中所用到的工程材料有了很高的要求，加勁鋼板正是其中的代表。加勁鋼板在橋梁、機械和船舶等工程中都有著非常重要的應用，其具有強度高、重量輕等特點。

對于加勁板屈曲的研究已有很長的歷史。Troitsky[1]最早開啟了加勁板穩定性、屈曲及振動的分析。Timoshenko[2,3]給出了矩形板在橫向肋條和縱向肋條加勁情況下的穩定性分析。Seide[4]創造性地把加勁桿的偏心效應當作其有效慣性矩來看。Cox和 Riddel[5]將應變能方程引入多重加勁桿的討論。Stiffel[6]和Massonnet[7]對純彎曲作用下的加勁板進行了研究。目前，通常采用有限元方法進行加勁板的屈曲分析，本文采用的是基于MATLAB的約束有限元計算程序。本文中，首先分析了各向同性矩形鋼板在不同條件下的屈曲，并將結果與ANSYS所得結果進行對比，以驗證所用約束有限元計算程序的可靠性；其次,對平均分布縱向肋條加勁的矩形板在均布壓力下所產生的不同屈曲模式進行研究與分析。

1 無加勁肋條、各向同性矩形板的屈曲分析

本章對四面簡支、兩側受均布壓力的無加勁各向同性矩形板進行屈曲分析。其邊界條件及荷載情況如圖1所示。

圖中a與b分別為矩形板的長度(縱向)與寬度(橫向)，計算中其余參數見表1。

表1 計算模型參數表

根據Theories and Applications of Plate Analysis[8],本問題的解析解如式(1)所示：

(1)

其中,m為沿矩形板縱向的屈曲模態階數；n為沿矩形板橫向的屈曲模態階數；D為矩形板的抗彎剛度，N·m2。

本問題的約束有限元法與ANSYS計算的結果及誤差見表2。

如表2中所示，約束有限元法的平均誤差為2.48×10-4，ANSYS的平均誤差為1.33×10-2。可以看出，約束有限元法的計算誤差比ANSYS計算誤差要小得多。

2 屈曲模式特點以及判定標準

屈曲模式可分為整體屈曲(Global Buckling)，局部屈曲(Local Buckling)，扭曲屈曲(Distortional Buckling)以及其他屈曲模式。其中整體屈曲、局部屈曲和扭曲屈曲所占百分比之和非常接近屈曲變形的全部，因此只要將這三種屈曲模式所占百分比分析清楚，就能夠對屈曲變形進行精確的描述。整體屈曲的特點是：在屈曲過程中，構件的橫截面不發生變形，作為剛體移動[9]。局部屈曲的特點是：構件的各部分同時屈曲，相鄰板件的夾角保持不變，且相交的棱線保持挺直[10]。扭曲屈曲介于整體屈曲與局部屈曲之間。

以上三種屈曲模式的橫截面變形見圖2。

加勁板的橫截面如圖3所示，Y軸方向為加勁板縱向，X軸方向為加勁板橫向，均勻分布的加勁肋在YOZ平面內。

各種屈曲模式在圖3的坐標系下有如表3所示的屈曲模式判定標準。

3 不同屈曲模式的百分比

整體屈曲、局部屈曲和扭曲屈曲各有著不同的判定標準，通過這些標準，能夠得到整體屈曲、局部屈曲以及扭曲屈曲在全部屈曲形態中的所占比例。

表3 屈曲模式判定表

判定標準整體屈曲扭曲屈曲局部屈曲其他屈曲γxy=0,εx=0,υ線性是是是否εy≠0是是否—κy=0是否——

接下來對兩組算例進行研究：兩組算例均為矩形加勁板，加勁肋均勻分布。它們的邊界條件均為四面簡支，荷載為兩側受均布壓力作用。計算參數如表4所示。

表4 不同大小加勁肋算例參數表 mm

根據計算結果，得出整體屈曲(GB)、扭曲屈曲(DB)和局部屈曲(LB)三種屈曲模式的百分比隨著加勁肋數量變化而變化的趨勢，如圖4，圖5所示。

由圖4可以看出，算例一中整體屈曲(GB)所占百分比從較少加勁肋到較多加勁肋的變化過程中基本無變化，一直在50%左右。局部屈曲(LB)所占百分比在加勁肋數量增加時，迅速地由19%降低至1%，之后緩慢地逼近0。而扭曲屈曲(DB)與局部屈曲相反，由32%增加至約49%，之后緩慢逼近50%。

由圖5可以看出，算例二中整體屈曲(GB)與扭曲屈曲(DB)的所占百分比有著相似的趨勢，均隨著加勁肋數量的增加而變大，分別由33%和21%增長到約47%。而局部屈曲(LB)由46%迅速降低至4%，之后緩慢降低至2%。

由以上結果可以得出：1)局部屈曲(LB)與加勁肋數量，即加勁肋間距有明顯的相關關系。當加勁肋數量變多(即加勁肋間距縮小)時，局部屈曲所占百分比迅速下降。且加勁肋間距與局部屈曲(LB)線性相關，見圖6。2)算例一與算例二唯一區別在于加勁肋的大小：算例一使用20 mm×6 mm的加勁肋，算例二使用50 mm×8 mm的加勁肋。當使用較大的加勁肋時，加勁板截面的慣性矩及抗彎剛度均增大。可以看到整體屈曲(GB)和扭曲屈曲(DB)的最大和最小值均變小。其中整體屈曲(GB)和扭曲屈曲(DB)的最大值由算例一(20 mm×6 mm)中的50%降至算例二(50 mm×8 mm)中的47%；最小值分別由算例一(20 mm×6 mm)中的48%和32%降至算例二(50 mm×8 mm)中的33%和21%。3)當加勁肋數量增大到一定程度后，三種屈曲模式的百分比基本穩定。其中整體屈曲(GB)和扭曲屈曲(DB)的百分比基本相等，且在45%～50%之間；局部屈曲(LB)所占百分比最少，在0%～5%之間。

4 結語

本文通過對無加勁肋條各向同性矩形板的計算，驗證了所用約束有限元方法的可靠性，其計算精度優于ANSYS軟件；其次，介紹了三種屈曲模式(整體、扭曲和局部屈曲)的特點與判定標準；計算結果顯示：

1)局部屈曲(LB)所占百分比與加勁肋間距有著非常明顯的線性關系；2)當使用尺寸較大的加勁肋時，整體屈曲(GB)和扭曲屈曲(DB)所占百分比均有較大程度的降低；3)當加勁肋增長到一定程度后，三種屈曲模式的百分比基本穩定。其中整體屈曲(GB)和扭曲屈曲(DB)的百分比相等且數值較高，局部屈曲(LB)所占百分比只有不到5%。