基于QR法建模的結構非線性抗震分析方法

謝 丙 旭

(華北水利水電大學土木與交通學院，河南 鄭州 450000)

0 引言

眾所周知，地震災害是一種能夠直接給國家與人民生命財產安全造成重大損失的自然災害,并且它一般發生的很突然,所以結構非線性抗震分析尤其是大型復雜結構的非線性抗震分析就顯得尤為重要。結構非線性主要是包括幾何非線性和材料非線性。在大型復雜結構設計及施工中往往需要必須綜合考慮其雙重非線性才能確保工程結構的經濟性及適用性。

當前，國內外對結構的非線性分析幾乎都是選用的基于幾何非線性理論、經典本構關系及有限元分析方法建立的非線性有限元法。此法對結構非線性分析有很大貢獻，但仍然存在較多問題，如:

1)有限元法是一種網格法，通過它來分析大型復雜結構的非線性問題經常會帶來極大地阻礙，有時甚至得不到正確解；

2)該方法數值計算量太過巨大，迭代速度太慢；

3)應力—應變關系受流動法則影響巨大，難以得出真實解。

因此，通過非線性有限元分析的方法并不是一個合理的方法。由秦榮所提出的基于QR法建模并通過樣條加權殘數法來建立地震反應分析的方法就是一種能夠解決上述問題的分析方法。下面將著重就這種方法的求解過程進行闡述。

1 QR法建模

(1)

采用彈塑性應變理論和變分原理可得結構非線性地震反應模型。

(2)

[K]=[K0]+[K1]+[K2]

(3)

利用非線性QR法建模，則[K0],[K1],[K2],[C],[M]及{f}的形式為:

(4)

故由式(2)可得：

(5)

2 樣條加權殘數法求解

對時域[t0,tm]進行樣條離散化，即：

這時，同學們才小聲議論，并陸續舉報：“白虎隊”成員小王在班上扯女生頭發，小曹拿別人東西不還，小黃和值日生“叫板”，小但總在放學路上欺侮同學，小胡經常逼迫別人叫他“老大”……做錯事不可怕，可悲的是他們似乎并不知道自己錯在哪里。

則動力反應向量可定義為:

(6)

如果t=tj,{X(tj)}={X}j，則:

(7)

將式(7)代入式(2)，可以推出殘數方程:

(8)

由樣條加權殘數法可得:

(9)

其中，W(t)為權函數。將式(8)代入式(9)可得:

H1aj+1+H2aj+H3aj-1+Pj=0

(10)

則可得遞推公式，即：

(11)

由上述可知，通過上式求出aj+1,aj及aj-1的值后，即可通過式(7)求出結構的地震反應向量。

上述方法采用了遞推計算，是條件穩定算法；如果Δt≤0.55T,則可以認定該算法是穩定的。

上述求解方法的具體步驟可以總結如下：

1)建立結構動力模型，詳見式(2)；

3)求t0時刻的應力反應σ0及恢復力F0；

4)通過式(10)求參數向量a2的值；

6)求出結構應力反應σ1及恢復力F1的值；

3 結語

本文對一種結構非線性抗震分析方法的主要過程進行了探討。這種方法是基于QR法建立結構動力模型而提出的。