畫中的屋頂

張一林 簡捷 李平

摘要：本文將從屋頂?shù)呐潘芰Α⒂晁占媚芰Α⒎课菡w舒適度、現(xiàn)代意義（如生態(tài)、能源）等方面，對比坡屋頂、水平屋頂以及圓弧形屋頂?shù)慕ㄖM行綜合客觀的評價，希望能對未來居民住宅的建筑起一定的指導(dǎo)作用。

關(guān)鍵詞：屋頂形狀；雨水利用與排出；日照；現(xiàn)代應(yīng)用

引言

現(xiàn)在，最為普遍的居民住宅屋頂形狀有坡屋頂、水平屋頂以及圓弧形屋頂。在北京放眼望去皆是水平屋頂?shù)母邩墙ㄖ行﹩握{(diào)刻板。由于厄爾尼諾現(xiàn)象近幾年來頻繁出現(xiàn)，中國南北方大多數(shù)地區(qū)頻繁出現(xiàn)大規(guī)模降雨，容易造成城市內(nèi)澇或者屋頂積水導(dǎo)致的生產(chǎn)活動不便；又因我國水資源稀缺，所以收集利用雨水是十分必要的。所以我們對屋頂?shù)耐庑螛?gòu)造進行探究，將每個屋頂視為相對完美的幾何模型，以北京為主要研究范圍，主要研究其對雨水排出或收集的效果，同時綜合光照、舒適度等諸多因素客觀評價現(xiàn)代建筑中主要住宅類型。

1童話城堡——圓弧形屋頂

1.1數(shù)學(xué)建模

研究方法采用單一雨滴模型分析，建立雨滴撞擊屋頂?shù)奈锢砟Ｐ停罱K采用不定積分求出整個屋頂?shù)挠晁懦鏊俣扰c收集量，將所計算得到的數(shù)據(jù)進行比較，從而篩出最優(yōu)解。

①：標(biāo)準(zhǔn)半球形屋頂

以地面為參考系，水平面作為x軸，豎直方向為y軸。設(shè)樓梯對角線長度（即半球形直徑長度）為 ，另設(shè)下落水滴直徑 。因為其外表為標(biāo)準(zhǔn)半球形，又因為球體表面積公式，有屋頂表面積 ，對于任意下落水滴，均視為標(biāo)準(zhǔn)（此處指半徑為 ）的水滴大小。又因為其實下落高度遠大于建筑屋頂?shù)陌霃?，所以對于水滴接觸落地點時均視為同一高度下落，同一高度接觸地面。因為對所有下落水滴分析太過復(fù)雜，所以我們對單一水滴分析。從水滴受力來說 時，（等式右為空氣阻力公式）速度自此不變。過程中（未達到勻速前）任意速度 。因為整個過程是一個持續(xù)性過程，且物體的加速度不斷變化，采用積分：對于高度h，都有 ，所以可以根據(jù)已知云層高度測定接觸時刻速度 ，從而能得出速度對 的影響： ，與速度對 的影響：

上述兩式中的 為液滴密度， 為液滴表面張力， 是撞擊速度， 是水動力粘度。因為液體表面張力沒有計算出，所以引入表面張力。設(shè)液滴最大壓力 和 ，表面張力是壓差的函數(shù)，計算公式為：

根據(jù)上述計算結(jié)果，可算出每個小水珠的濺射面積。

因為這只是單個水滴的濺射，而房頂不可能是單個水珠覆蓋，所以整個房頂表面水珠分布的量上少下多，需要再次積分。從屋頂頂點到房檐的曲面距離均為以半徑R的圓的四分之一周長，所以 ，設(shè)任意處曲面距離為 ，從屋頂開始計算，房檐積水量。 ，繼而可計算出圓頂?shù)姆e水量。

我們對于屋頂是半圓形的建筑進行討論，其表面積相對較大，對天空所降得雨水的接觸面積相對較大，圓形屋頂屋檐總長為 ，是圓形屋檐，可排水的房檐較長，且可以多方位排水，在一定程度上可以做到雨水收集率和雨水疏導(dǎo)率處于較高水平，但是屋頂支承結(jié)構(gòu)復(fù)雜，建設(shè)麻煩且耗資較大，從整體利益方面看并無十分過人之處。

2畫中的小平房——坡面屋頂

考慮有一棟南北向的坡頂樓房，房屋水平傾斜角為 ，兩側(cè)屋檐間距為 ，房屋寬為 ，屋檐與窗戶頂端的距離為 ，窗戶高為 。一雨滴的質(zhì)量為 ，水滴彈起的質(zhì)量為 ，重力加速度為 。空氣阻力滿足 ，其中空氣阻力系數(shù) ，空氣密度 ，一側(cè)屋頂面迎風(fēng)面積 ，雨滴橫截面近似為球形 。

事實證明，水滴的速度與質(zhì)量變化的問題與水面的波動、水的張力（水的形狀一直在改變）、等等復(fù)雜因素有關(guān)，簡單近似為非完全彈性碰撞過程的結(jié)果勢必錯誤。

我們根據(jù)國外科普視頻及文章，將質(zhì)量關(guān)系確定為

在研究速度關(guān)系時，我們把水面波動的影響歸于水滴彈起的概率（經(jīng)多次模擬與討論，確定為50%）。通過分析，我們將速度變化關(guān)系與接觸面性質(zhì) 建立聯(lián)系，并認為速度變化函數(shù)與高度、水面面積等無關(guān)，即

在探究速度變化關(guān)系的實驗中，我們改變不同的高度，測量下落高度 與彈起最大高度 。由于 ，根據(jù)大量實驗，選取從10英尺刻度（即距離水面7英尺）下落后彈起0.8英尺的數(shù)據(jù)，可得

2.1.2有風(fēng)狀態(tài)下水滴下落分布情況

⑴當(dāng)有風(fēng)時，設(shè)風(fēng)向為南北向，不妨設(shè)風(fēng)速為 ，沿Z軸正方向。

∴雨分布沿Z軸正方向移動

（2）設(shè)風(fēng)向為東西向，不妨設(shè)風(fēng)速為 ，水平向左。此時單位時間內(nèi)第一次彈起的雨滴對右側(cè)迎風(fēng)屋頂面的沖量大于左側(cè)背風(fēng)屋頂面，沖量之差為 ，其中M為單位時間內(nèi)落到左（右）側(cè)屋頂面的雨水質(zhì)量。但同時，彈起的雨滴分布左移，彈起時間

可求出

從 內(nèi)彈起的水滴會跨越到另一側(cè)屋頂面

如圖4為迎風(fēng)側(cè)雨水分布區(qū)域，圖中三個區(qū)域內(nèi)的雨水量分別恒定，迎風(fēng)側(cè)的雨水分布沿x軸正方向依次增多。

取極限情況 ，代入數(shù)據(jù)可得 ，代入可得 ， ，可得 ， ，背風(fēng)側(cè)到屋頂距離小于 的范圍內(nèi)，雨水量最多。

2.2屋檐對最頂樓日照影響

有光照射時太陽高度角 滿足

代入數(shù)據(jù)得：

如圖5，A為太陽，O為地球球心，C為天頂，B為北天極，太陽高度角為 ，太陽赤緯角為 ，觀測地地理緯度為 ，時角為 ，作BP、BQ分別為 、 切線交OC、OA于P、Q，連接PQ。

由球面△ABC的余弦公式可得

∵ BP∥ ，BQ∥ ，∴∠PBQ= ，即

由于冬至日太陽照射時間最短，角度最低，取此極限情況下，代入數(shù)據(jù)，

，則照射時長為 ，故此房屋不符合國家關(guān)于日照長度的標(biāo)準(zhǔn)，需增大 。

3 都市的方盒子——平頂樓房

現(xiàn)在，平頂樓房在北京的應(yīng)用中最為廣泛。進一步利用“光禿樓頂”來更好地改善生活，成為近幾年來此類問題的討論熱點。

3.1加強生態(tài)化

利用屋頂?shù)钠脚_種植綠植是生態(tài)可持續(xù)的另一種體現(xiàn)形式。北京人口眾多，人均建筑面積小，人均綠化面積也小，屋頂綠化是解決綠化與建筑占地的矛盾的有效途徑之一。樓頂綠化可以減弱城市的熱島效應(yīng)。據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，在炎熱的夏天樓頂綠化可以讓室內(nèi)溫度降低1.2攝氏度左右。但同時也應(yīng)起人們的熱議：樓頂?shù)漠a(chǎn)權(quán)不清，綠化費用無人管，種植不當(dāng)可能引來嚴(yán)重問題等等。屋頂綠化還需要從多方面進一步改善探討。

3.2利用太陽能

越來越多的太陽能板裝上了平頂樓房，可以有效節(jié)省能源，是一種低碳生活方式。以天津市中心城區(qū)為例，若其屋頂光伏采用35度的最佳傾角安裝，光伏組件的有效面積Apv為855.7萬平方米，裝機容量為12.4億瓦特，光伏組件系統(tǒng)的運行效率λ為0.77，光伏模塊轉(zhuǎn)換效率η為15%。發(fā)電量的計算公式為Epotential = Apv × Gt × η × λ，根據(jù)公式計算，年發(fā)電量為1986千瓦時/年。但它受樓層高度、天氣等因素影響顯著。為了防雷防電，太陽能板必需低于防雷裝置0.6米，并與裝置保持1米的距離。

3.3綠化與能源的抉擇

屋頂綠化對于提高居民室內(nèi)生活質(zhì)量更為有利，而屋頂光伏提高新能源的利用，是低碳生活的體現(xiàn)。下面主要對而這所需資金做出估算與比較。

到去年年末，北京市屋頂綠化面積達到200多萬平方米。綠化工程建設(shè)和養(yǎng)護費用昂貴，以每平方米1千元的成本計算，北京共需支出20億左右的資金。但綠化也為減少政府在減弱氣候變暖、熱島效應(yīng)以及空氣污染治理等方面的資金和精力。據(jù)資料顯示，200萬平方米的綠化面積可以節(jié)約能耗1.5萬元/天，即大約550萬元/年。若將同等面積的屋頂全部安裝太陽能板，價格按照70元/平方米，則平均每年應(yīng)支付資金約為1.4億。雖然綠化的資金要比能源多，但是并不能代表綠化屋頂?shù)南敕ú滑F(xiàn)實。據(jù)資料顯示，花園式屋頂綠化根據(jù)影響因素的主次之分（圖）與二者多因素綜合評價（圖）。可見，作為國際大都市的北京綠化屋頂是更優(yōu)的選擇。事實上，北京屋頂?shù)拇_以綠化偏多。通過綠色植物蒸騰水分吸收熱量、冷卻大氣，可吸收太陽輻射熱70%～85%；滯塵作用顯著，花園式和簡單式屋頂綠化平均滯塵量分別為12.3g/㎡/年和8.5g/m2/年，可有效改善城市空氣質(zhì)量，控制PM2.5；面對城市雨洪壓力，花園式和簡單式屋頂綠化可截留雨水分別為64.6%和21.5%。圖表3主要影響因素分級排序，圖表4光伏屋頂（藍）與綠化屋頂（紅）對比。

結(jié)語

中國建筑歷史悠久、名揚中外。放眼國際大都市北京，代替四合院的高樓大廈“整齊劃一”，已經(jīng)不再是設(shè)計師專注的對象。但是，居民樓作為建筑主體（大約占建筑面積的70%），十分普通卻直接影響所有人的生活，而具有不可替代的重要地位；因此，“如何合理設(shè)計和進一步改善居民樓”應(yīng)該是最值得研究的話題。本文從排水能力、雨水收集利用能力、房屋整體舒適度、現(xiàn)代意義（如生態(tài)、能源）等方面等方面對居民房屋樓頂設(shè)計進行細致、廣泛的討論。不僅關(guān)注傳統(tǒng)文化、與現(xiàn)代建筑接軌，還結(jié)合了可持續(xù)發(fā)展、創(chuàng)造更優(yōu)美的城市等思想理念，有較強的實用價值，希望能對未來居民樓的設(shè)計有指導(dǎo)作用。

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（作者單位：北京市京源學(xué)校）