例談模型思想的滲透要點

王強國

【關(guān)鍵詞】模型思想；數(shù)學化的眼光；一般化的思維；系列化的體例；顯現(xiàn)化的方式

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2019）01-0072-02

張奠宙教授提出，數(shù)學模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學符號和語言，概括地或近似地表述出來的數(shù)學結(jié)構(gòu)?！读x務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睂⒛Ｐ退枷肴谌胄W數(shù)學教學能提高學生解決實際問題的能力，提升其數(shù)學學習興趣和應(yīng)用意識。顧泠沅教授按照模型對象的特點，將數(shù)學模型分為概念型數(shù)學模型、方法型數(shù)學模型和結(jié)構(gòu)型數(shù)學模型。其中，結(jié)構(gòu)型數(shù)學模型在小學數(shù)學中應(yīng)用不多，而概念型數(shù)學模型（如三角形、平行、倍數(shù)、因數(shù)等）與方法型數(shù)學模型（如各種公式、方程等）在小學數(shù)學中大量存在，這為模型思想的建立提供了可能?？紤]到小學生的年齡特征與認知能力，小學階段模型思想的建立應(yīng)該以滲透的方式為主。如何滲透呢？筆者結(jié)合自己的實踐，歸納出以下幾個策略，供同行批評指正。

1.數(shù)學化的眼光觀察。

荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾說：數(shù)學化其實就是從（數(shù)學外部的）現(xiàn)實世界到數(shù)學內(nèi)部，從數(shù)學內(nèi)部發(fā)展，再到現(xiàn)實世界中（以及應(yīng)用于其他學科之中）的全過程。數(shù)學化的眼光觀察主要指教師引導學生從具體的教學情境中準確獲取具有建模意義的數(shù)學信息，并能運用已有的知識經(jīng)驗進行適度的整理和組織，它是學生實現(xiàn)數(shù)學建模不可或缺的能力基礎(chǔ)。在小學數(shù)學教學中，應(yīng)該立足不同的學段有意識地逐步培養(yǎng)。比如：蘇教版教材中有關(guān)“圓”的教學，第一學段，教師重點引導學生從實物中抽象出圓，完成生活問題數(shù)學化；第二學段，重點研究圓的特征，以“半徑的特征”為例，讓學生在畫一畫、量一量、折一折的基礎(chǔ)上觀察、思考有什么發(fā)現(xiàn)，得出“無數(shù)條、都相等”的特征，實現(xiàn)數(shù)學內(nèi)部規(guī)律化；認識圓的特征后，可以安排學生解釋汽車的車輪為什么設(shè)計成圓形而不是正方形、長方形或三角形等，走向數(shù)學內(nèi)容現(xiàn)實化，使學生建立完整的“圓”的概念模型。

2.一般化的思維概括。

一般化的思維概括主要指引導學生從解決一個問題拓展為解決一類問題，并加以推廣應(yīng)用，其中蘊含歸納法的思想，也包含合情推理的成分。教學中，一般化的處理還具有由淺入深、逐步逼近問題本質(zhì)的意蘊，有助于學生形成初步的模型思想。例如：教學蘇教版五上“用字母表示數(shù)”，出示：一支鋼筆a元，3支這樣的鋼筆多少元？得出3a元后，教師去除習題，留下“3a”字樣，引導學生說說3a還可以表示什么，有學生想到如果每千克蘋果a元，那么3千克這樣的蘋果就是3a元……師生總結(jié)：單價×數(shù)量=總價。在一般化理念的指引下，可以進一步追問：還可以找到類似的關(guān)系式嗎？學生想到：速度×時間=路程，工作效率×工作時間=工作總量……

3.系列化的體例強化。

系列化的體例強化主要指當學生建立某一數(shù)學模型后，引導他們對抽象出的模型進行適度變式，在比較中強化模型的結(jié)構(gòu)認知，形成網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。在教學中，主要有兩種方式值得借鑒：一是“多題一解”，如教學蘇教版五下“圓的面積”，在學生形成圓的面積算法模型后，教師安排如下一組習題：（1）一個圓，半徑為3厘米，它的面積是多少平方厘米？（2）一個圓，直徑為4厘米，它的面積是多少平方厘米？（3）一個圓，周長為25.12厘米，它的面積是多少平方厘米？學生在練習過程中會發(fā)現(xiàn)，盡管題型有變化，但算法都可以簡化為πr2。二是“一題多變”，如“工人師傅鋪一段路，前3天平均每天鋪160米，后5天平均每天鋪180米，一共鋪了多少米？”這樣的工程問題，可以改為行程問題或購物問題等，學生通過比較會發(fā)現(xiàn)，算式不變，數(shù)量關(guān)系不變，它們都可以用字母表示為兩個積的和：a×b+c×d=s。此外，還可以將一道題中的某一個條件與問題置換，形成新的問題情境，在模型運用中強化學生的模型意識。

4.顯現(xiàn)化的方式表征。

數(shù)學模型無論是思維表征的過程還是形式表征的過程，都需要兩個基本的教學過程作支撐。一是從“境”到“型”，通過抽象歸納感悟、理解數(shù)學模型的結(jié)構(gòu)化與簡約化特征；二是從“型”到“境”，通過演繹結(jié)構(gòu)深化理解數(shù)學包容性與應(yīng)用性的特征。當學生經(jīng)歷了模型建構(gòu)過程，初步感知或建立了某一數(shù)學模型，教師應(yīng)該適時引導他們用顯現(xiàn)化的方式表征出來。表征過程一方面是學生對模型結(jié)構(gòu)的強化與清晰化過程，有助于深化他們對模型的認知；另一方面是學生個性化解讀與理解的過程，有利于模型的應(yīng)用與推廣。表征方式主要有兩種：一種是用語言表述，讓學生在個性化的陳述中實現(xiàn)自主建構(gòu)；另一種是基于操作的顯現(xiàn)化，這里的操作不僅包括動手擺弄實物、比劃手勢、活動肢體等操作學具的活動，還包括借助符號、文字和圖表等數(shù)學語言畫圖、標注、列舉等逐步抽象化操作語言的活動。

當然，在學生建立模型思想的過程中，需要我們關(guān)注他們已有的生活經(jīng)驗與認知能力，合理地設(shè)置教學目標，在培養(yǎng)學生初步建立模型意識、感受用模樂趣的前提下，引領(lǐng)他們經(jīng)歷建模的過程，為他們數(shù)學學科素養(yǎng)的提升做出自己的努力。

【參考文獻】

[1]儲冬生.數(shù)學建模：是一種方法，更是一種意識——基于建模思想的小學數(shù)學教學舉隅[J].江蘇教育：小學教學，2011（3）：13-16.

[2]顧泠沅.數(shù)學思想方法[M].北京：中央廣播電視大學出版社，2004.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗小學）