小學數學教學中操作性活動及其價值指向

吳 飛 黃秀梅

（尤溪教師進修學校，福建尤溪 365100）

小學數學教學離不開活動與操作，活動與操作是小學數學課堂教學中常用的兩個行為手段。但是、操作與活動有什么區別與聯系？特別地，在小學數學教學實施過程中為什么要設計操作行為和活動過程，如何將操作與活動有機地聯系起來，使其成為一個完整的、有價值指向的身心過程？這是需要深入研究和梳理的問題。

一、活動與操作的內涵分析

筆者在中國知網“知識元檢索”中對“活動”與“操作”進行檢索，其中，浙江科學技術出版社2001年出版的《心理咨詢大百科全書》分別給出了如下描述：“活動乃是由一系列有目的的動作或行動所構成的，是實現人的某種社會職能和人與客觀世界的聯系的動作和行動的總體”“活動是在心理、意識的調節下進行的，心理、意識在活動中得到表現。同時，心理、意識也是在活動中形成和發展的”“（操作）是人的有目的的動作或行為的實現方式。它是活動的一個成分，也是實現活動的一個必要條件。同一活動的目的可以由不同的操作來實現”“人類的操作大致分為兩類：一是運動性操作，如對工具的使用；另一類是智力的操作，如運用一定的智力方式進行思維以解決一定智力任務等”。

上述描述表明，第一，活動與操作都是人的有目的的行為形式。活動的目的指向是實現人的某種社會職能和人與客觀世界的聯系。例如，教師教學活動，其目的指向是實現教師教書育人職能，學生學習活動的目的指向是認識和把握世界。操作的目的指向是人的動作或行為的實現方式。第二，操作與活動二者相互聯系。操作，指向人的具體動作和行為，活動由一系列操作構成，活動中有具體的操作，操作為活動順利進行服務。例如，“數的抽象”教學，它就是學生在一次次實物對象的操作中完成的，教學中的每一個有組織有目的的操作過程都是一個教學活動過程，因此，很多時候操作與活動密不可分。第三，操作是活動的一個成分，而活動又與心理和意識關聯，因此，操作也與心理和意識相關聯，并且，操作與活動既是心理產物又是心理發展的過程條件，這就是為什么要在教學活動中設計操作活動的理由所在。第四，實施具體行為的運動性操作，其操作方式指向過程與方法（工具與手段），依靠腦神經活動的智力性操作，它的操作方式指向思維活動與過程體驗。

二、數學課堂“操作性活動”內涵界定

作為人類思維表達形式的數學，“它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構作、一般性和個別性”，而且“一切數學的發展在心理上都或多或少地基于實際的”。[1]小學生的數學學習，由于處于數學學習的基礎階段，直觀、個別性和分析是必不可少的思維基礎，讓小學生明了數學知識的實際作用也是解決學習動力的具體需要。因而，在小學數學教學中，如何讓數學基本要素中這種天然的對立性在某一過程中統一，讓基于實際的數學發展的需求性在心理上得以和諧，需要某種實施載體來凝聚“統一”與“和諧”，而這樣的“神圣使命”無疑需要學生身心要素的投入，需要有目的、有規范的行為活動。而依據對操作與活動概念的分析，操作與活動是有目標框架的、緊密相連的“孿生兄弟”，操作為活動服務，活動統籌操作，它們都服從于心理調節，又促進心理發展；而且，對于個體而言，操作活動的兩面性——外在與行的過程與方法，內化與心的思維與體驗——自然地體現了個體學習的內外在認識規律。所以，只要將“操作”與“活動”有機地融合，賦予動作或行為的實現方式于一定的數學情境活動之中，成為數學情境中的操作性活動，那么，數學課堂教學所需要的“統一”與“和諧”就有了重要的實施載體。

數學課堂操作性活動，它應該是這樣的一種活動（框架）：目標定位上，它以服務、服從于學習目標為己任，以經歷與體驗為前提，進而在具體的操作活動中促進學生對學習對象的認知；活動方式上，它以外在的行為動作為主，按照一定的規范和要求來實施某個行為動作，在動作操作中獲得直接經驗；組織方式上，它以一定的數學情境為媒介，以問題發現、問題提出與問題解決為紐帶實施行為動作。因此，將“數學操作性活動”的內涵界定為“以思維和體驗為目的的數學情境活動中的具體行為操作的過程性活動”就能夠實現“基于實際的”“對立中和諧”兩個方面的問題，并使得小學數學課堂中的學習，能夠最大限度地接近數學的發生與發展，符合人類的認知規律。

人類學習過程的兩層面操作活動很難割裂，具體的動作操作中有思維引導，內隱的智力活動中有情境和動作的支持。從具體到抽象，從簡單到復雜，從低級抽象到高級抽象是人類思維發展的基本規律。只要是符合于思維發展基本規律的操作活動設計，那么，將勞動、游戲、手工制作等看成操作，將作圖、計算，乃至將觀點交流與展示也看成是人的外在運動性操作未嘗不可。“操作性活動”之所以不是“操作活動”而是“操作性”的，道理就在于此。

三、“具身”與“意象”視野下的數學操作性活動

1. 具身認知視野下的數學操作性活動

“具身認知(embodied cognition)的興起源于對身心二元論的反抗，最早由法國現象學家梅洛·龐蒂提出”，其核心主張是“認知、身體、環境的一體性”，強調“身體、體驗、情境在認知過程中的作用”，認為“學習不僅僅是大腦的事情，而更是全身心參與的過程”。[2]具身認知理論是第二代認知理論的代表性理論，具有理論的現代性。因此，“數學操作性活動”必須遵循具身理論的基本要義，重視個體活動經歷、關注個體操作過程的身心體驗、強化個體在活動中（直接）經驗的積累，并且在具體操作性活動中關注個體的經驗調度、關注數學情境問題設置、關注個體行為動作能動性的激發。

具身認知還強調“認知是‘具身’（有身體的參與）而不是‘離身’（沒有身體的參與）的，且正是由于身體的參與，感知與行動才構成了一個循環的回路。”[3]因而，改變數學學習的“離身”狀態，強化“具身”情境中的“體認”意義，讓“感知—行動”良性循環，也是數學操作性活動設計需要把握和堅持的原則。

2. 數學概念意象視野下的數學操作性活動

文學有意象，由意象創生文學意境；同樣，數學也有概念意象，由概念意象來認識概念內涵。意象，簡言之就是意思的形象或圖象，它是人的活動產物。數學“概念意象（Concept Image）是在表征過程中對概念形成的一個替代物，是與給定的概念相聯系的所有心理圖像。譬如，太陽、月亮、甚至是 3維空間的籃球都可能是‘圓’的概念意象。對于同一個數學概念，不同學生的概念意象往往不同，甚至差別很大。”[4]

中國古代有“觀物取象”和“立象以盡意”之說。其中的“物”是具體的認識對象，“象”是可感的物象——替代物、心理圖像，“意”就是認知對象的內涵。在數學課堂數學中，如何“觀物取象”？觀什么，怎么觀？這里設計到具體的分類問題；如何“取象”或產生心理之“象”？這里設計到類比、概括等問題。如何“立象以盡意”？這里的“立象”必須是創設典型事例，或是畫圖、列表、制作或個體的動作操作，這里的“盡意”是形成概念或獲得對其他數學對象的認知。所有這些，對數學課堂的操作性活動提出了特別要求：就是每一個操作過程都要有“意象”概念，并使得“意”“象”相隨。這樣的操作性活動才能夠充分激活個體經驗，為“盡意”——理解數學認知對象——服務。

這里需要特別指出的是，無論是具身中的“感知—行動”良性循環，還是概念意象中的“意”“象”聯系，從數學抽象程度的角度看低階思維，它都是高階思維的一種“直觀”或“形象”，都可以看成是一種意象化操作活動。例如，兩只羊是“2”的直觀或意象，“2”又是整數的直觀和意象，整數則是有理數的一個直觀和意象。

四、小學數學教學操作性活動的價值指向

首先是以直觀性為基礎的經歷與體驗的價值指向。小學生的數學學習過程必須是感性的，在具體、形象的直觀中去感悟學習對象才符合小學生的認知規律。當然，這種感悟是需要一定的情境活動為依托，這樣才能在操作性活動中經歷不同階段的不同情形——策略制定、方法選擇、困難解決等情形，或經歷不同階段的不同問題——本質是什么，共性在哪里、要先解決什么，是運算還是變換，與什么相聯系。只有在不同情境中經歷了問題發現，經歷了問題解決才能不斷地積累身心體驗，進而有所經驗，這是小學數學教學操作性活動的一個價值指向。以“加法單調律（若b＞c，則a+b＞a+c）”學習為例，怎么設計這種價值指向的操作性活動？顯然還不能從邏輯角度進行教學，依靠教師直接講授，肯定乏味。如果能夠組織學生依據生活經驗去自主或合作設計一個含有諸如高低、長短、輕重、年齡等情境要素的活動，再兼顧具體數字的驗證活動，例如：讓學生設計一個生活情境來說明大小兩個數同加一個數，大小的結果不變，那么，這樣的操作性活動教學就會有不一樣的經歷和比較深刻的活動體驗，直觀性、經歷性和體驗性的味道就濃厚。

其次是以應用性為前提的學與用統一的價值指向。菲利克斯·克萊因在強調數學應用在數學教學中的重要性時指出：“在小學里算術的教學從一開始就伴隨著應用，小學生學習運算規則不僅是為了理解它們，而且是為了用它們解決什么問題。數學教學就應該永遠是這樣的！”“數學的生命，數學的最重要的動力，數學在各方面的作用，卻完全有賴于應用，即取決于那些純邏輯內容和其他一切領域之間的相互關系。”[5]

這段話的意思十分明了，學習數學要與應用數學來解決問題聯系起來；小學數學要面向應用，數學教學內容要融于一切領域教學才有意義。我們知道，數學是抽象的，那是數學內容結構化、符號化表征的結果，但是，數學知識發現和發生過程許多是具體的應用需求引發的，指向問題解決的，這點，數系擴充本身就是一個典型的例子。因而，面向學與用統一的課堂操作性活動設計的核心問題就是要解決“有什么用”和“學什么”的問題。“有什么用”最好要回到知識發生的歷史中去思考這個知識是因為什么而產生的？能否還原歷史？“學什么”卻要具體、明了，它的基礎是什么，與什么相聯系。所有這些，在活動設計的時候就要清楚。以運算的基本規律學習為例，如果僅僅是驗證諸如a+b=b+a的活動，顯然不是一件有趣的事情，但是將其融入具體的運算操作的說理之中，結果可能會不一樣。例如7×58的運算說理過程，如果停留在豎式乘法的機械運算過程，那只與乘法口訣表相關聯，而與運算律幾乎沒有什么關系。假如是以7×18=7×(10+8)(與十進制數的表示相聯系 )=70+56(分配律的應用)=70+50+6=(70+50)+6 =120+6(結合律的應用）=126，這樣的操作過程才能讓學生明白學運算律有什么用的問題，學與用的統一才有實現載體。

其三是以生成性為目的過程與操作的價值指向。許多數學概念具有兩個側面，“從過程角度看是一種操作性概念，從對象角度看是一種結構性概念”“結構性概念是概念發展的更高階段，而操作性概念的形成要先于結構性概念”。[6]例如小學分數概念，將其視為整體與部分之間的關系，它就是一種操作性概念；把它看成一個完整的數就是一個結構性概念。而小學數學操作性活動的一個重要價值就是將數學概念中運算（多為代數領域）或變換（多為幾何領域）的過程性內涵體現出來，讓學生在過程與操作中自然而然地在自己已有的概念基礎上生成一個新的概念對象。例如平均數概念，從對象角度看它是一組數據的集中程度，從過程角度看它是一個運算。這里，只要讓“平”變成有具體意象的一種操作，比如，把不一樣長的繩子變成一樣長的操作、不一樣高的柱狀圖變成一樣高的操作，只要讓“均”轉化成具體的、可感的操作，比如，將幾組不同個數的實物勻一樣多，那么，平均數的概念及其運算方法就會在“平”與“均”的兩個操作活動中自然而然地生成。

在文章結束之前，有一個問題需要特別指出。數學操作性活動不是為了活動而操作，雖然小學生的思維模式的確需要依賴于具體的形象和動作經驗來進行，但是促進其向經驗型和理論型思維模式轉化，顯然也是小學數學課堂教學的基本任務。因此，能夠脫離實際情境完成操作的，能夠擺脫具體行為動作完成思維過程的，就要努力促進其從行為操作轉化成心理的操作；能夠以經驗建構的認知方式來開展認知的，能夠以邏輯抽象思維的方式來開展認知的，就要努力實施具有一定思維抽象度的思維操作活動，進而向小學生滲透從整體結構上來把握認知對象的思維方法，這是人的思維發展的總體趨勢，必須遵循。