例談建構主義意義下的初中數學建模教學指導途徑與策略

吳 威 曾凡霖

（1.福州第一中學，福建 福州 350300；2.福州三牧中學，福建 福州350300）

一、建構主義背景下開展初中數學建模教學的必要性

初中生擁有充足的精力和強烈的好奇心和求知欲，并且各自有不同的問題經驗和構建新知識的能力，能夠通過自己的經驗、理解，對未知內容進行分析、檢驗和接受，以同化或順應的方式主動構建新知識。而建構主義認為，學習并不只是通過教師的教授來完成的，而是學生以原有的知識作為基礎儲備，一定的社會文化背景下，通過教師與學生、學生之間的溝通、協作，借助相應的學習資料，自發、主動地地建構的方式而獲得知識和構建知識結構，新知識是以已有知識為生長點，不斷地生長、完善起來的。因此，建構主義要求學生，在教學活動中需要基于各自的經驗，以同化或順應的方式主動構建新知識，并且能在真實的情境中，管理自己的學習，完成學習目標。學生在學習過程中不但需要實現新的信息在意義上的建構，還要對自己舊有經驗進行改造和重新整合。

數學應用意識以及社會實踐能力的培養，一直是初中生在數學學習過程中比較薄弱的環節。在目前教育模式下，作為教師，如何為學生們建構一個好的自主學習的環境，調動起學生學期的熱情，喚起其對身邊事物的興趣，提升其數學應用意識，已成為所有一線數學教育工作者面臨的新課題。在初中積極開展數學建模活動，鼓勵學生積極參與，對提升學生的學習興趣、數學應用意識，鍛煉其觀察事物、分析問題、解決問題、協同合作的能力以及聯想與想象的能力都有很大的幫助。

二、建構主義理論對數學建模活動的啟示與指導策略

（一）在建構主義學習觀的指導下，教師應該指導學生選擇自己熟悉的背景，感興趣的課題，只有這樣才能找到自己最佳的知識生長點。案例中對體育有一定興趣的同學，選擇了“鉛球擲遠”這個數學建模問題，并結合自己感興趣的物理量進行討論和深入探究，充分地進行了意義建構，較好地貫徹了建構主義的學習觀。

（二）在建構主義教學觀的指導下，教師在數學建模指導過程中必須重視學生以自己的認知方式去理解新的知識，思考各個模型的思想根源，肯定其思維的獨創性，引導走出思維誤區，調整學生對于新知識的理解，從而讓學生最終主動地構建起新的認知結構。在“鉛球擲遠”案例中，教師需注意傾聽學生的各種觀點，并結合學生的不同的觀點來分析模型、優化模型、批判模型，讓學生能主動選出兩個有決定性的變量：速度和角度。

（三）鑒于“支架式教學”方式，在數學建模活動研究中，教師嘗試先教給學生初中數學最基本的數學模型，即孩子的“腳手架”，在學生尋找、建立自己感興趣的數學模型的過程中，尋找他們各自的“最近發展區”，幫助他們主動建構新的知識。本案例中涉及的初等代數模型和物理模型，都能作為適合孩子的“腳手架”，讓孩子在研究清楚速度和角度的相關問題后，能逐步增加變量，優化模型。

（四）鑒于“拋錨式教學”方式，在數學建模活動研究中，教師在指導過程中首先要了解學生的知識水平和研究水平，要結合學生的特長和興趣、條件等因素設計教學的情境和建模的環境，盡量讓建模的課題與學生實際生活聯系，與學生感興趣的問題背景相關，這樣容易讓學生有獨到的見解和應用產生。

三、建構主義意義下初中數學建模案例分析

一個實際問題往往會受到很多主觀、客觀因素的印象，針對一個問題建立的理想的數學模型既應該反映這個問題的全部重要特性，同時也要考慮學生的程度和水平，讓其在初中生的數學能力范疇內能夠求解，這就需要教師制定相應的的數學建模教學途徑和策略。

建立一個系統的數學模型，通常與問題性質、建模的目的等有關，沒有相對固定的模式。在本例研究的數學建模活動中，學生主要應用的是理論分析的方法，即根據客觀事物本身的性質，分析因果關系，在適當的假設下用數學工具去描述其數量特征。從理論上說，理論分析法建立數學模型時，需要經歷識別問題、分析量的關系、模型的假設和建立、模型求解和分析、模型檢驗、模型應用共計六個步驟。

例如：“初中數學建模實踐案例——如何把鉛球擲得更遠”

鉛球擲遠起源于14世紀歐洲炮兵閑暇期間推擲炮彈的游戲和比賽， 在鉛球賽場上，我們看到的鉛球選手都是人高馬大，但并不是只要有力氣就可以把鉛球擲得遠。首先，學生從常識判斷分析，運動員能夠對鉛球產生的影響只有初始速度和出手角度兩個因素，而初始速度越大，在相同條件下顯然擲得更遠，出手角度則可能存在一個使投擲距離最遠的最優選擇；另一方面，從運動員的個人因素考慮，運動員的身高，決定了球的出手高度，顯然也能影響投擲的遠近。

筆者將建模具體的實踐過程其呈現為以下五個階段：教師示范，模型講解；自主學習，小組討論；感知生活，建立模型；教師指導，反思優化；模型思考，檢驗評估。該課題“如何把鉛球擲得更遠”是有典型物理背景的初等代數模型，這個問題牽涉的知識、學科很多，需要研究的變量和因素也很多，造成學生在研究多變量問題和選擇解模知識時遇到很多困惑。因此，教師嘗試了如下策略：

首先，指導學生查閱資料，了解相關的物理知識，理解該運動過程中的物理模型和物理公式，這是十分重要的準備工作。其次，針對物理公式中的變量，和學生共同討論后，選出兩個有決定性的變量：速度和角度進行研究，并且為了簡化問題，將運動過程理想化。然后，逐一研究以下問題：實心球高度與投擲角度的關系，鉛球射程與投擲角度的關系，鉛球的水平射程與鉛球初速度的關系，實心球落點與投擲力度的關系，投擲高度與投擲力度的關系。再次，在學生將簡化后的問題分析透徹之后，引導學生根據實際情形，增加變量：出手高度 。將模型進行優化，得出結論：做提高初速度的訓練，對提高成績十分有效，不需要一味找身高較高的選手或者提高出手點。最后，指導學生采取表格的形式來檢驗優化后的模型得到數據是否能模擬實際情形，學生在數據模擬中也驗證了：出手角度的改變，對投擲距離的影響相對較小；而初速度的提高對投擲距離的影響比較大。

綜上，在數學建模活動研究中，在建構主義觀點的指導下，依照一定的步驟指導學生：弄清什么是要探究的問題，分析問題中量的關系，根據建模目的進行假設，充分利用數學知識和數學軟件求解，判斷模型在實用意義下是否有用。另外，鑒于初中生的能力可能無法作出比較完美的模型結論，因此模型的優化過程和教師對建模過程的評價也是很重要的環節，它能幫助學生從多角度審視問題、提高數學應用能力、深度理解模型數學本質和學會傾聽他人意見并做自我反思。這些環節能將數學建模活動的效果最大化。學生通過切實地解決一個身邊的實際問題，由此積累應用數學的經驗，提升對數學文化、數學價值的認知，最終提升學生的綜合素質。