稀奇迷人的梅森素數(shù)

編譯 張翔

2018年12月7日，來自美國佛羅里達(dá)州的互聯(lián)網(wǎng)專家及數(shù)學(xué)愛好者帕特里克·拉羅什（Patrick Laroche）利用“互聯(lián)網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索”（GIMPS）項目，成功發(fā)現(xiàn)第51個梅森素數(shù)2∧82 589 933-1（即2的82 589 933次方減1）；該素數(shù)有24 862 048位，是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)。如果用普通字號將它打印下來，其長度將超過100公里！

眾所周知，素數(shù)又叫質(zhì)數(shù)，是在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。每個自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個素數(shù)的乘積，素數(shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2 300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素數(shù)有無窮多個，并提出一些素數(shù)可寫成“2∧P-1”（其中指數(shù)P也是素數(shù)）的形式。

由于這種特殊形式的素數(shù)具有獨特數(shù)學(xué)性質(zhì)，千百年來，許多著名數(shù)學(xué)家以及無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者對它情有獨鐘。其中，17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院奠基人梅森在這方面有過重要貢獻(xiàn)。為了紀(jì)念梅森，數(shù)學(xué)界在19世紀(jì)末就將“2∧P-1”型的素數(shù)稱為“梅森素數(shù)”。迄今為止，人類僅發(fā)現(xiàn)51個梅森素數(shù)。這種素數(shù)稀奇而迷人，因而被稱為“數(shù)海明珠”。梅森素數(shù)歷來是數(shù)論研究的一項重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科技探索的熱點和難點之一。

梅森素數(shù)貌似簡單，但當(dāng)指數(shù)P值較大時，其素性檢驗的難度就會很大；它的探究不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進行艱巨的計算。例如，享有“數(shù)學(xué)英雄”美譽的瑞士數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家歐拉1772年在雙目失明的情況下，以頑強毅力靠心算證明了2∧31-1（即2 147 483 647）是第8個梅森素數(shù)；該素數(shù)有10位，堪稱當(dāng)時世界上已知的最大素數(shù)。

在“手算筆錄”年代，人們歷盡艱辛，共計才找到12個梅森素數(shù)。而電子計算機的出現(xiàn)，尤其是網(wǎng)格計算時代的到來，大大加快了梅森素數(shù)探究步伐。1996年初，美國數(shù)學(xué)家及程序設(shè)計師沃特曼編制了一個梅森素數(shù)計算程序，并把它放在網(wǎng)頁上供人們免費使用。這一計算程序就是舉世聞名的GIMPS項目，也是全球首個基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計算項目。

為了激勵人們尋找梅森素數(shù)以及促進網(wǎng)格計算技術(shù)發(fā)展，總部設(shè)在美國的“電子前沿基金會”（EFF）于1999年3月向全世界宣布了為通過GIMPS項目來尋找梅森素數(shù)而設(shè)立的協(xié)同計算獎。該獎規(guī)定：向第一個找到超過1 000萬位數(shù)的個人或團體頒發(fā)10萬美元；后面的獎金依次為：超過1億位數(shù)，15萬美元；超過10億位數(shù)，25萬美元。當(dāng)然，絕大多數(shù)人參與該項目并不是為了金錢，而是出于樂趣、榮譽感和探索精神。

至今人們通過GIMPS項目已經(jīng)找到17個梅森素數(shù)，其發(fā)現(xiàn)者來自美國（11個)、德國（2個)、英國（1個)、法國（1個)、挪威（1個)和加拿大（1個)。目前，世界上有190多個國家和地區(qū)近70萬人參加了這一項目，并動用了超過182萬核中央處理器聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素數(shù)。可見，當(dāng)今的梅森素數(shù)探究非常火爆；這在數(shù)學(xué)史上前所未有，在科學(xué)史上也極為罕見。

值得指出的是，在梅森素數(shù)的基礎(chǔ)研究方面，法國數(shù)學(xué)家魯卡斯和美國數(shù)學(xué)家雷默都做出了重要貢獻(xiàn)；以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測梅森素數(shù)素性的最佳方法。另外，中國數(shù)學(xué)家及語言學(xué)家周海中給出了梅森素數(shù)分布的精確表達(dá)式；這一研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。

探究梅森素數(shù)具有重大意義，是發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑，有力推動了數(shù)論的研究。另外，梅森素數(shù)在計算機科學(xué)領(lǐng)域具有重要應(yīng)用價值——它可以用來檢測計算機系統(tǒng)或程序中存在的問題。因此許多專家認(rèn)為，梅森素數(shù)的研究成果一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國數(shù)學(xué)協(xié)會主席、《素數(shù)的音樂》一書作者索托伊甚至認(rèn)為，梅森素數(shù)的探究進展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標(biāo)志，也是整個科技發(fā)展的里程碑之一。

資料來源 Science Daily