二元機(jī)翼的非線性氣動彈性主動控制

張忠源,段靜波,史鳳鳴， 路 平

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 無人機(jī)工程系, 石家莊 050003； 2.石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系， 石家莊 050003)

氣動彈性主動控制是近幾十年發(fā)展起來的試圖解決飛行器結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定和疲勞問題的關(guān)鍵技術(shù)[1]。機(jī)翼的氣動彈性特性尤其是機(jī)翼的顫振為最嚴(yán)重的動不穩(wěn)定現(xiàn)象，會使機(jī)翼從氣流中吸收能量導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動，甚至導(dǎo)致結(jié)構(gòu)嚴(yán)重破壞。學(xué)者一直在探索延緩和控制顫振的各種途徑，現(xiàn)有途徑大致分為兩類：被動控制和主動控制，被動控制是已廣泛應(yīng)用的技術(shù)，主動控制是為了彌補(bǔ)被動控制的不足，是一種新技術(shù)。目前，研究最多的是氣動彈性主動控制。

20世紀(jì)90年代鄒叢青等[2]開始了飛行器顫振主動控制問題方面控制律的研究，把最優(yōu)控制理論和顫振分析的狀態(tài)空間法相結(jié)合，解決了陣風(fēng)緩解和穩(wěn)定裕度等問題。宗捷等[3]針對某一特殊無人機(jī)機(jī)型開始了陣風(fēng)問題和顫振主動控制的研究，應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對飛行器系統(tǒng)分別作開環(huán)和閉環(huán)分析，設(shè)計的控制律具有減緩陣風(fēng)響應(yīng)和抑制顫振的雙重效果。M Tadi[4]研究了用于氣動彈性系統(tǒng)中顫振抑制的反饋控制設(shè)計，推導(dǎo)了基于狀態(tài)相關(guān)Riccati方程的反饋控制律。M Karpel[5]使用狀態(tài)空間氣動模型設(shè)計一個恒定增益的反饋控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)可同時保證穩(wěn)定性和完成對整個飛行包線內(nèi)陣風(fēng)響應(yīng)參數(shù)的優(yōu)化。多輸入/多輸出系統(tǒng)的氣動彈性主動控制問題成為氣動彈性分析的重要研究方面，吳志剛[6-7]團(tuán)隊以無人機(jī)二元機(jī)翼和帶兩個控制面板的三角機(jī)翼為研究對象，將滑模控制理論和LQC理論用于解決氣動彈性主動控制。隨著現(xiàn)代控制科學(xué)的發(fā)展，王囡囡等[8]提出了基于動柔度法的顫振主動控制研究，該方法無需提前知道機(jī)翼的剛度、阻尼等參數(shù)，可根據(jù)極點控制理論確定系統(tǒng)反饋控制增益。而真實的氣動彈性控制系統(tǒng)是非線性的[9]，非線性系統(tǒng)更加復(fù)雜，求解難度更大，SH Moon等[10]基于非線性氣動模型進(jìn)行了最優(yōu)控制設(shè)計的探索。A Behal等[11]研究了在不可壓縮流場中的非線性二維機(jī)翼系統(tǒng)的自適應(yīng)控制。丁千等[12]針對具有非線性俯仰剛度的二元機(jī)翼研究了顫振主動控制。考慮機(jī)翼俯仰方向阻尼和剛度存在非線性情況，許行之等[13]采用多項式非線性模型建立機(jī)翼控制模型，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論實現(xiàn)機(jī)翼的氣動彈性自適應(yīng)控制。

本文對機(jī)翼非線性主動控制進(jìn)行了拓展研究。以二元三自由度機(jī)翼為研究對象，建立了機(jī)翼的非線性氣動模型，得到時變控制系統(tǒng)。針對時變系統(tǒng)控制律設(shè)計困難問題，結(jié)合系統(tǒng)時變規(guī)律，設(shè)計了對應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律，為解決非線性氣動彈性控制問題提供了新思路。

1 三自由度二元機(jī)翼非線性氣動模型

如圖1所示，在機(jī)翼后緣有一控制面。系統(tǒng)的三自由度分別為剛心E的撓度h(向下為正)、機(jī)翼繞剛心的扭轉(zhuǎn)角為α(迎風(fēng)抬頭為正)以及控制面偏轉(zhuǎn)角β(向下偏轉(zhuǎn)為正)。機(jī)翼的運動方程為：

(1)

式中：m為單位長度機(jī)翼的質(zhì)量；Sα為單位展長機(jī)翼對彈性軸的質(zhì)量靜矩；Iα是單位展長機(jī)翼對彈性軸的質(zhì)量慣性矩；Kh、Kα分別為機(jī)翼沉浮和俯仰剛度。機(jī)翼所受的升力L和力矩M可以表示為:

(2)

這里升力L和力矩M都由兩個部分組成，Ll和Ml表示線性部分，表達(dá)式為：

(3)

圖1 三自由度二元機(jī)翼

Ln和Mn表示非線性部分，這里采用文獻(xiàn)[14]中介紹的ONERA動態(tài)失速模型，表達(dá)式為：

(4)

需要說明的是，非線性氣動系數(shù)下標(biāo)z=L表示與升力有關(guān)系數(shù)；下標(biāo)z=M表示與力矩有關(guān)的系數(shù)。非線性氣動系數(shù)Cz表達(dá)式如下：

(5)

非線性氣動力部分的有關(guān)參數(shù)有r1z，r2z，r3z為：

為簡化計算，通常用折線代替靜態(tài)空氣動力曲線，如圖2。

圖2 靜態(tài)空氣動力曲線

(7)

為通過式(5)求解出非線性氣動系數(shù)Cz，本文采用Laplace變換得方法，將式(5)進(jìn)行Laplace變換并整理得：

(8)

通過Laplace逆變換可以得出：

(9)

分別令z=L和z=M代入式(4)并聯(lián)立式(1)、式(2)、式(3)即可得到機(jī)翼的三自由度二元機(jī)翼非線性氣動模型。

2 狀態(tài)空間模型與控制律設(shè)計

把上一節(jié)得到的機(jī)翼非線性氣動模型改寫成狀態(tài)空間形式：

(10)

圖3 參數(shù)k2時間響應(yīng)波形

針對系統(tǒng)的特征，將本文控制系統(tǒng)設(shè)計成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，K為反饋矩陣，系統(tǒng)矩陣變?yōu)?A-BK)，如圖3所示，橫坐標(biāo)t=t+時，時變參數(shù)幅值為最大值，此狀態(tài)對應(yīng)的系統(tǒng)相關(guān)矩陣表示為A+、B和K+，橫坐標(biāo)t=t-時，時變參數(shù)幅值為最小值，此狀態(tài)對應(yīng)的系統(tǒng)相關(guān)矩陣表示為A-、B和K-，這兩種狀態(tài)結(jié)合李雅普諾夫判據(jù)可以得出：

(11)

定義折合系數(shù)ε，且ε∈(0,1)，將式(11)中兩個不等式兩邊分別乘以系數(shù)ε和(1-ε)并相加，得到：

P([(1-ε)A-+εA+]-B[(1-ε)K-+εK+])<0

(12)

式(12)表示含有折合系數(shù)ε的新系統(tǒng)，且符合李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，此系統(tǒng)對應(yīng)的相關(guān)矩陣可以表示為：

A(ε)=(1-ε)A-+εA+

(13)

K(ε)=(1-ε)K-+εK+

(14)

由于A+、A-、K-和K+為系統(tǒng)時變參數(shù)取最值對應(yīng)的解，所以A(ε)、K(ε)可以表示出在整個時域范圍內(nèi)的系統(tǒng)所有滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)的系統(tǒng)矩陣。任意時刻t0的狀態(tài)反饋矩陣K(t0)求解過程如圖4所示。

圖4 反饋控制求解流程

圖4說明了本文求解某一時刻反饋矩陣K(t0)具體步驟，由于直接運用解析法求解時變系統(tǒng)的反饋控制矩陣很難實現(xiàn)，本文采取建立時刻t0與折合系數(shù)ε的一一映射關(guān)系的方法來實現(xiàn)對K(t0)的求解。需要說明的是在運用式(11)求解K-和K+時，要借助線性矩陣不等式(LMI)工具箱，一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對這個問題進(jìn)行數(shù)值計算。

整個機(jī)翼的狀態(tài)反饋系統(tǒng)流程如圖5所示，時變系統(tǒng)通過引入時鐘信號實現(xiàn)對時變矩陣A(t)的表示，而后計算反解出折合系數(shù)ε，進(jìn)而求出對應(yīng)時刻的反饋矩陣K(t)，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的反饋控制。

圖5 控制系統(tǒng)流程

3 算例仿真與分析

本研究選取的三自由度二元機(jī)翼模型的具體參數(shù)如表1。

表1 機(jī)翼模型參數(shù)

已知機(jī)翼的開環(huán)顫振速度為29.3 m/s，仿真時選取的空速為33.7 m/s(高于開環(huán)顫振速度的15%)，使用上一節(jié)設(shè)計的反饋控制系統(tǒng)，具體參數(shù)見附錄，先仿真得到系統(tǒng)的開環(huán)時域響應(yīng)，如圖6所示。

圖6 開環(huán)時域響應(yīng)

圖6分別是機(jī)翼撓度和扭轉(zhuǎn)角隨時間的變化曲線，從仿真的結(jié)果可以看出，在開環(huán)系統(tǒng)條件下，風(fēng)速為33.7 m/s時，此時風(fēng)速高于機(jī)翼顫振速度，系統(tǒng)呈現(xiàn)振蕩發(fā)散的狀態(tài)。隨后，接入反饋控制模塊，在同樣的風(fēng)速下，仿真得到系統(tǒng)的閉環(huán)時域響應(yīng)，如圖7所示。

通過觀察圖7的機(jī)翼撓度和扭轉(zhuǎn)角隨時間的變化曲線，可以看出閉環(huán)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)在0.8s左右可以收斂至平衡位置，從而改善了機(jī)翼系統(tǒng)的氣動彈性特性，提高了機(jī)翼安全飛行速度上限。當(dāng)機(jī)翼受陣風(fēng)干擾時，會因為外界干擾力作用而發(fā)生強(qiáng)迫運動，對機(jī)翼結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、疲勞以及飛行品質(zhì)產(chǎn)生較大影響。這里主要討論控制系統(tǒng)對陣風(fēng)作用下機(jī)翼響應(yīng)的影響。以“1-cos”陣風(fēng)為例，因為實際工程中這類陣風(fēng)遇到的頻率最高，“1-cos”陣風(fēng)速度表達(dá)式為：

(15)

其中：W0表示陣風(fēng)峰值速度，取20 m/s；H表示離散尺度，取4 m。陣風(fēng)的具體形式如圖8所示。

圖7 閉環(huán)時域響應(yīng)

圖8 “1-cos”陣風(fēng)

分別計算開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)在“1-cos”陣風(fēng)影響下的機(jī)翼撓度響應(yīng)，其中空速V=25 m/s，選取的空速低于機(jī)翼的顫振速度，也就是說此時機(jī)翼系統(tǒng)本身處于穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)遇到突風(fēng)產(chǎn)生激勵，機(jī)翼系統(tǒng)通過自身調(diào)節(jié)可以恢復(fù)穩(wěn)定，得到的響應(yīng)結(jié)果如圖9所示。

圖9 機(jī)翼陣風(fēng)響應(yīng)結(jié)果

從圖中對比開環(huán)系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的陣風(fēng)響應(yīng)，可以看出閉環(huán)控制系統(tǒng)相對于開環(huán)控制系統(tǒng)，有效降低了機(jī)翼振幅，同時縮短了機(jī)翼響應(yīng)衰減時間，大大提高了機(jī)翼系統(tǒng)的穩(wěn)定性，保證了機(jī)翼氣動彈性特性和飛行品質(zhì)。

4 結(jié)論

1) 針對時變系統(tǒng)控制律設(shè)計困難問題，結(jié)合系統(tǒng)時變規(guī)律，設(shè)計了對應(yīng)的狀態(tài)反饋控制律。

2) 通過仿真對比開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)的超顫振速度條件下時域響應(yīng)、陣風(fēng)響應(yīng)，表明設(shè)計的反饋控制律可以有效地改善機(jī)翼氣動特性。