基于線性規(guī)劃的轉(zhuǎn)管武器曲線槽優(yōu)化設(shè)計(jì)

熊 鎬，王惠源

(中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院, 太原 030051)

轉(zhuǎn)管武器凸輪系統(tǒng)是一種典型的圓柱凸輪系統(tǒng)，轉(zhuǎn)管武器射速越高，自動(dòng)機(jī)的工作性能越差，一方面，機(jī)芯組的加速度增大導(dǎo)致機(jī)芯滾輪與曲線槽之間的接觸力增大，同時(shí)增加驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的功耗；另一方面，機(jī)芯在曲線槽內(nèi)加速和減速時(shí)的碰撞會(huì)造成轉(zhuǎn)管武器機(jī)芯在曲線槽內(nèi)的振動(dòng)情況加劇。所以，曲線槽結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣直接關(guān)系到轉(zhuǎn)管武器的工作性能和壽命長(zhǎng)短[1]。

文獻(xiàn)[1]在過(guò)渡段上采用五次曲線代替正弦曲線(擺線)實(shí)現(xiàn)了對(duì)曲線槽的優(yōu)化，得到一種加速度較低的曲線槽結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[2]中取消斜直線段，增加過(guò)渡段曲線的角度，從而降低了轉(zhuǎn)管武器的驅(qū)動(dòng)功率；文獻(xiàn)[3]中則將轉(zhuǎn)管武器曲線槽的后直線段去除，實(shí)現(xiàn)了比文獻(xiàn)[2]中更低的驅(qū)動(dòng)功率。轉(zhuǎn)管武器曲線槽設(shè)置后直線段是為了保證供彈，斜直線段也與供彈時(shí)機(jī)芯的運(yùn)動(dòng)有關(guān)，取消斜直線段和后直線段必然會(huì)帶來(lái)其他結(jié)構(gòu)的改變。

本研究發(fā)現(xiàn)，在傳統(tǒng)的研究中，研究人員對(duì)轉(zhuǎn)管武器曲線槽的優(yōu)化大多是針對(duì)加速度優(yōu)化，以追求更小的滾輪與曲線槽之間的碰撞力，從而延長(zhǎng)轉(zhuǎn)管武器壽命，但轉(zhuǎn)管武器機(jī)芯運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、躍度、功耗等并不是相互獨(dú)立的，其中一個(gè)變化，必然會(huì)帶來(lái)機(jī)芯運(yùn)動(dòng)情況整體變化。本研究認(rèn)為對(duì)曲線槽的優(yōu)化應(yīng)該綜合考慮綜機(jī)芯運(yùn)動(dòng)的速度、加速度和躍度等多個(gè)方面。

線性規(guī)劃是研究約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論與方法，線性規(guī)劃模型首先列出約束條件所表示的可行域，最后在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值[4-6]。本研究提出了一種利用Matlab優(yōu)化算法和線性規(guī)劃理論對(duì)曲線槽結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，旨在為轉(zhuǎn)管武器和圓柱凸輪曲線槽設(shè)計(jì)人員提供一種在對(duì)曲線槽基本結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生較大影響的前提下的曲線槽優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 曲線槽結(jié)構(gòu)與機(jī)芯運(yùn)動(dòng)規(guī)律

轉(zhuǎn)管武器由多根身管組成，每根身管都有對(duì)應(yīng)的機(jī)芯，機(jī)芯滾輪位于固定在炮身上的凸輪槽內(nèi)，轉(zhuǎn)管武器回轉(zhuǎn)體帶動(dòng)機(jī)芯做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于凸輪槽對(duì)機(jī)芯滾輪的推力，機(jī)芯相對(duì)于回轉(zhuǎn)體作前后滑動(dòng)，完成裝彈、推彈入膛、擊發(fā)、抽殼和拋殼的動(dòng)作[4]。圖1所示為轉(zhuǎn)管武器機(jī)芯運(yùn)動(dòng)示意圖，其中，ω為回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)方向。

圖1 機(jī)芯運(yùn)動(dòng)示意圖

圖2所示為轉(zhuǎn)管武器曲線槽展開(kāi)圖，即為機(jī)芯理論運(yùn)動(dòng)軌跡展開(kāi)圖。θ1、θ3、θ5、θ7為過(guò)渡段；θ2、θ6為斜直線段；θ4為前直線段；θ8為后直線段；β為壓力角；h為機(jī)芯行程；h1、h2為過(guò)渡段軸向長(zhǎng)度。

圖2 曲線槽展開(kāi)圖

轉(zhuǎn)管武器曲線槽設(shè)計(jì)時(shí)，通常先根據(jù)內(nèi)彈道要求確定前直線段所占角度θ4，以保證機(jī)芯閉鎖確實(shí)后擊發(fā)和膛壓下降到安全值時(shí)再開(kāi)鎖；其次根據(jù)供彈要求確定后直線段所占角度θ8，最后再根據(jù)一側(cè)斜線段所占總角度θ確定θ1、θ2、θ3，其中過(guò)渡段是機(jī)芯運(yùn)動(dòng)情況變化的主要階段，對(duì)曲線槽的優(yōu)化也主要是對(duì)過(guò)渡段結(jié)構(gòu)的優(yōu)化。

在機(jī)械原理中可知，從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：等速運(yùn)動(dòng)、等加速等減速運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、正弦加速度運(yùn)動(dòng)、多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律和組合運(yùn)動(dòng)規(guī)律等[1]。轉(zhuǎn)管武器曲線槽過(guò)渡段曲線通常使用多項(xiàng)式加速度曲線或修正正弦加速度曲線[5]。修正正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律是一種典型的組合運(yùn)動(dòng)規(guī)律，主要應(yīng)用于高速、中載的場(chǎng)合，其加速度峰值較小；五次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律有較好的躍度連續(xù)性，理論上既無(wú)剛性沖擊也無(wú)柔性沖擊。

五次多項(xiàng)式加速度曲線槽加速段結(jié)構(gòu)：

(1)

修正正弦加速度曲線槽加速段結(jié)構(gòu)(圖3)：

圖3 修正正弦加速度曲線槽加速段結(jié)構(gòu)

修正正弦加速度曲線是由正弦曲線(θA)、二次曲線(θB)、正弦曲線(θC)三段拼接而成。 式(2)～式(4)為過(guò)渡段曲線表達(dá)式：

第一段的位移、速度、加速度和躍度：

(2)

在加速度分布的第二段為等加速度：

(3)

在加速度分布的第三段為正弦加速度，其加速度由大到小，與0≤θ≤θA段的正弦加速度在相位上正好相差90°，同理可寫出：

(4)

為保證曲線連續(xù)光滑，在θA、θB、θC處的位移、速度、加速度相連的曲線分別相等。式中C1-C7可以根據(jù)θA、θB、θC的邊界條件確定，過(guò)渡曲線段的擬合由下式確定：

h2=m(θA+θB+θC)+θE

(5)

式中:m為斜直線段斜率。

對(duì)于斜直線段，五次多項(xiàng)式曲線和修正正弦加速度曲線均為：

(6)

對(duì)于減速段，各種曲線均采用與加速段相同的曲線結(jié)構(gòu)，只是改變曲線的方向。

根據(jù)拼接條件推導(dǎo)出加速段、斜直線段和減速區(qū)段的結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足以下要求：

修正正弦加速度曲線

(7)

五次多項(xiàng)式加速度曲線

(8)

2 優(yōu)化方法

2.1 優(yōu)化目標(biāo)

轉(zhuǎn)管武器凸輪曲線設(shè)計(jì)時(shí)，主要關(guān)注機(jī)芯的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)性能有以下幾項(xiàng)：

1) 機(jī)芯最大速度Vm

回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)速一定時(shí)，機(jī)芯的最大速度與凸輪曲線槽的壓力角成正比，過(guò)大的壓力角不僅傳動(dòng)效率低，甚至?xí)霈F(xiàn)卡死的現(xiàn)象，為了防止出現(xiàn)過(guò)大的壓力角，應(yīng)降低機(jī)芯運(yùn)動(dòng)的最大速度Vm。

2) 機(jī)芯最大加速度Am

自動(dòng)機(jī)工作過(guò)程中，機(jī)芯與曲線槽間的接觸力主要受最大加速度的影響，過(guò)大的加速度會(huì)使機(jī)芯滾輪與曲線槽之間的接觸力增大，導(dǎo)致構(gòu)件磨損加劇，同時(shí)，過(guò)大的加速度還會(huì)造成逆?zhèn)鲃?dòng)，影響自動(dòng)機(jī)工作。

3) 機(jī)芯最大躍度Jm

式(1)為機(jī)芯與曲線槽橫越?jīng)_擊速度的計(jì)算公式[7]：

(9)

式中：J為沖擊出現(xiàn)時(shí)的機(jī)芯的躍度；μ為機(jī)芯滾輪與曲線槽的間隙。

由式(9)可以看出，躍度直接影響機(jī)芯對(duì)轉(zhuǎn)管武器的沖擊，為了減小振動(dòng)，需要控制躍度最大值。

4) 轉(zhuǎn)管武器的驅(qū)動(dòng)功耗

轉(zhuǎn)管武器達(dá)到穩(wěn)定射頻時(shí)，慣性載荷比其他載荷的影響都要大，因此為了評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)管武器的驅(qū)動(dòng)功耗，引入慣性矩Q，最大慣性矩Qm與電機(jī)峰值動(dòng)力有關(guān)，是選擇電機(jī)的基本數(shù)值之一[8]。

Q=AV

(10)

通過(guò)以上分析可知，選取VmAmJm為轉(zhuǎn)管武器曲線槽優(yōu)化的主要特征值，在滿足設(shè)計(jì)要求的前提下，各主要特征值越小越好。

2.2 線性加權(quán)法

機(jī)芯的VmAmJm并不能獨(dú)立存在，而是存在相互之間的聯(lián)系，所以只能根據(jù)實(shí)際要求，以其中一個(gè)特征值較小為主要目標(biāo)，其余特征值較小為次要目標(biāo)。這里使用線性加權(quán)法，將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

根據(jù)線性加權(quán)法，構(gòu)造特征值的目標(biāo)函數(shù)f1(x)，f2(x)，f3(x)；對(duì)應(yīng)取一組非負(fù)值作為權(quán)數(shù)ω1，ω2，ω3；進(jìn)而可以構(gòu)造如下評(píng)價(jià)函數(shù)[6]：

(11)

式(11)的最優(yōu)解就是目標(biāo)函數(shù)在線性加權(quán)和意義下的最優(yōu)解，其中加權(quán)因子的選擇主要是根據(jù)具體要求選取，且權(quán)數(shù)滿足歸一性和非負(fù)性條件。

(12)

fi(x)為無(wú)量綱處理后的目標(biāo)函數(shù)。經(jīng)過(guò)這樣的處理后，目標(biāo)函數(shù)統(tǒng)一了量綱，再通過(guò)線性加權(quán)法構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)就能充分地反映各子目標(biāo)函數(shù)的重要性。

轉(zhuǎn)管武器通常對(duì)機(jī)芯軸起始階段和終止階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律沒(méi)有特殊要求，本研究使用對(duì)稱結(jié)構(gòu)，即加速段和減速段采用對(duì)稱的曲線槽參數(shù)，這樣一來(lái)設(shè)計(jì)變量主要是θ1和h2，θ1和h2的關(guān)系通過(guò)拼接條件確定，且：

(13)

根據(jù)上述思想，分別對(duì)修正正弦加速度曲線和五次多項(xiàng)式加速度曲線求得VmAmJm：

五次多項(xiàng)式：

(14)

修正正弦加速度：

(15)

(16)

(17)

修正正弦加速度曲線有：

(18)

根據(jù)以上分析可以構(gòu)建如下評(píng)價(jià)函數(shù)：

(14)

式中：ω1，ω2，ω3為權(quán)數(shù)，對(duì)于轉(zhuǎn)管武器，通常按照AmVmJm的優(yōu)先順序選取加權(quán)因子，這里選用ω=[0.4,0.5,0.1]。這樣就將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成對(duì)評(píng)價(jià)函數(shù)f(x)求解的單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。

Matlab是Mathworks公司推出的一套功能強(qiáng)大的數(shù)值分析軟件，是目前世界上應(yīng)用最廣泛的工程計(jì)算軟件之一[9]，Matlab優(yōu)化工具箱為用戶提供了大量用于優(yōu)化計(jì)算的函數(shù)，linprog是Matlab優(yōu)化工具箱中用于線性規(guī)劃的求解函數(shù)。本文中直接調(diào)用linprog函數(shù)對(duì)f(x)求解。

3 運(yùn)動(dòng)分析

為了驗(yàn)證利用線性規(guī)劃思想對(duì)曲線槽進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的可靠性和優(yōu)點(diǎn)，本研究采用與文獻(xiàn)[1]中優(yōu)化目標(biāo)相同的6管6 000發(fā)/min高射速轉(zhuǎn)管武器為例進(jìn)行分析，并與之對(duì)比。分別計(jì)算了以下4種共計(jì)5條曲線作為對(duì)比：

1) 權(quán)重ω=[ω1,ω2,ω3]=[0.4,0.5,0.1]時(shí)的修正正弦加速度曲線(曲線1)和五次多項(xiàng)式加速度曲線(曲線2)；

2) 權(quán)重ω=[0,1,0]時(shí)的修正正弦加速度曲線(曲線3)和五次多項(xiàng)式加速度曲線(曲線4)，即式(17)和式(18)計(jì)算結(jié)果；

3) 原曲線槽結(jié)構(gòu)

圖3為自動(dòng)機(jī)工作循環(huán)圖[1]，根據(jù)擊發(fā)要求，需要保證開(kāi)閉鎖時(shí)間和內(nèi)彈道時(shí)間，則前直線段角度θ4=74°，根據(jù)供彈等因素影響，后直線段角度θ8=32°，機(jī)芯行程h=300 mm，曲線槽中徑95 mm。

圖4 自動(dòng)機(jī)工作循環(huán)圖

為了不改變曲線槽基本結(jié)構(gòu)，前直線段和后直線度所占角度不變，確定斜線段所占角度θ后，根據(jù)式(7)、式(8)和式(13)的約束條件，利用Matlab優(yōu)化工具箱中用于線性規(guī)劃的求解函數(shù)linprog對(duì)式(14)目標(biāo)函數(shù)求解，得到線性加權(quán)條件下的θ1、θ2、θ3角度分配關(guān)系，再通過(guò)式(1)～式(8)求得相應(yīng)的曲線槽理論結(jié)構(gòu)曲線，以及機(jī)芯運(yùn)動(dòng)的速度、加速度和躍度曲線。

曲線槽原結(jié)構(gòu)為修正正弦加速度曲線，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果分配各部分所占角度。為了對(duì)比驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果，附上原結(jié)構(gòu)角度分配關(guān)系和文獻(xiàn)[1]的角度分配關(guān)系。轉(zhuǎn)管武器角度分配關(guān)系如表1所示。

表1 曲線槽角度分配

圖5所示機(jī)芯位移曲線即為曲線槽中心線基本結(jié)構(gòu)，可以看出，優(yōu)化后的模型整體結(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生大的變化，對(duì)曲線槽的優(yōu)化不會(huì)造成其他部分結(jié)構(gòu)的變化。

圖5 機(jī)芯位移曲線

圖6為機(jī)芯速度曲線，曲線3和曲線4的機(jī)芯速度有明顯的增大，曲線1和曲線2則相比于原結(jié)構(gòu)有一定程度的速度降低，對(duì)機(jī)芯的速度性能有一定的改善。

圖6 機(jī)芯速度曲線

由圖7所示機(jī)芯加速度曲線可以看出，曲線3和曲線4機(jī)芯的加速度相比于原結(jié)構(gòu)有明顯的降低，而曲線1和曲線2則對(duì)加速度沒(méi)有較大的改變，可以認(rèn)為，在不改變前后直線段結(jié)構(gòu)的情況下，曲線3和曲線4分別是6管6 000發(fā)/min轉(zhuǎn)管炮在修正正弦加速度曲線和五次多項(xiàng)式加速度曲線結(jié)構(gòu)下的機(jī)芯加速度最小的曲線。

圖7 機(jī)芯加速度曲線

圖8為機(jī)芯運(yùn)動(dòng)的躍度曲線，可以看出，相比于修正正弦加速度曲線的機(jī)芯躍度，五次多項(xiàng)式躍度的峰值遠(yuǎn)大于修正正弦加速度，但是在機(jī)芯減速段上的躍度峰值最小，當(dāng)轉(zhuǎn)管武器經(jīng)過(guò)加速段和勻速段進(jìn)入減速段時(shí)，機(jī)芯由于受到曲線槽的推力方向改變和間隙的存在，將會(huì)受到橫越?jīng)_擊[7]，由式(9)可知，躍度較小有利于改善機(jī)芯與曲線槽的碰撞情況。

圖8 機(jī)芯運(yùn)動(dòng)躍度曲線

表2所示為機(jī)芯運(yùn)動(dòng)規(guī)律的主要情況，可以看出，曲線1、曲線2和原結(jié)構(gòu)的機(jī)芯運(yùn)動(dòng)速度相當(dāng)，而曲線3、曲線4和文獻(xiàn)[1]給出的曲線槽結(jié)構(gòu)下，機(jī)芯的速度相比于原結(jié)構(gòu)有較大的增加；慣性矩Qm反映曲線槽對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)峰值動(dòng)力的要求，是電機(jī)選型的參考值之一。對(duì)比可知，修正正弦加速度曲線的優(yōu)化結(jié)果與原曲線相比Qm減小了約3%，五次多項(xiàng)式Qm與原曲線結(jié)構(gòu)相當(dāng)，而加速度最小的曲線3的慣性矩Qm最大，相比于原結(jié)構(gòu)，最大慣性矩Qm增加了14.26%，而文獻(xiàn)[1]針對(duì)6管6 000發(fā)/min轉(zhuǎn)管炮優(yōu)化的曲線，其機(jī)芯加速度與曲線3相當(dāng)，而最大慣性矩Qm比原結(jié)構(gòu)增加了13.19%。

表2 計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

1) 分析可知，曲線3、曲線4和文獻(xiàn)[1]以減小機(jī)芯最大加速度為目的對(duì)曲線槽進(jìn)行優(yōu)化，加速度最大值有明顯的下降，但相應(yīng)的機(jī)芯的最大慣性矩卻大幅度上升，即對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)能力有了更高的要求，工程上未必可行，尤其是對(duì)口徑較大、管數(shù)較多的轉(zhuǎn)管武器，功耗要求的增加比起機(jī)芯加速度增加會(huì)帶來(lái)更多問(wèn)題。

2) 本研究提出利用線性規(guī)劃理論，對(duì)機(jī)芯的速度、加速度和躍度進(jìn)行線性加權(quán)處理，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)對(duì)曲線槽結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)對(duì)權(quán)重的設(shè)置，綜合考慮機(jī)芯速度、加速度和躍度，設(shè)計(jì)出線性加權(quán)條件下的最優(yōu)曲線，轉(zhuǎn)管武器凸輪曲線槽更符合實(shí)際工程需求。

3) 就加速度特性，線性加權(quán)條件下的最優(yōu)解，與五次多項(xiàng)式曲線相比，修正正弦加速度峰值較低，有利于減小機(jī)芯滾輪與曲線槽的接觸力，延長(zhǎng)機(jī)芯壽命；就機(jī)芯運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性看，五次多項(xiàng)式加速度曲線躍度連續(xù)性較好，雖然躍度峰值最大，但是在機(jī)芯供彈行程橫越?jīng)_擊點(diǎn)上的躍度在各種曲線中最小，可以認(rèn)為五次多項(xiàng)式加速度曲線的機(jī)芯運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性最好。