基于部隊(duì)移動(dòng)模式三方作戰(zhàn)Lanchester模型研究

田寶國(guó)，盧 翰，叢 凱

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001)

1914年，英國(guó)工程師F.W.Lanchester提出Lanchester方程[1]，首次使用數(shù)學(xué)方法定量分析戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)果與作戰(zhàn)雙方兵力規(guī)模和火力強(qiáng)弱的關(guān)系。現(xiàn)在有許多學(xué)者針對(duì)該類方程的線性率和平方率進(jìn)行研究[2-4]，并針對(duì)不同情況對(duì)方程進(jìn)行補(bǔ)充與拓展[5-11]。但是，隨著武器裝備和戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)法的更新，戰(zhàn)場(chǎng)的環(huán)境也更加復(fù)雜，傳統(tǒng)的Lanchester作戰(zhàn)模型已經(jīng)不適用于現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)。于是人們?cè)谥把芯康幕A(chǔ)上提出空間Lanchetser作戰(zhàn)模型?？紤]到在實(shí)際作戰(zhàn)中部隊(duì)在空間中的移動(dòng)和部隊(duì)間的相互作用，Protopoprecu等[12-13]提出空間Lanchester偏微分方程模型，同時(shí)Cosner等[14]采用具有非線性相互作用的拋物線微分方程對(duì)該模型進(jìn)行理論分析。考慮到具體的空間情況，Spradlin等[15]將Lanchester方程的直接瞄準(zhǔn)和間接瞄準(zhǔn)進(jìn)行拓展研究，并提出三維時(shí)空Lanchetser作戰(zhàn)模型。對(duì)于三方作戰(zhàn)的研究目前處于起步階段[16]，只是根據(jù)傳統(tǒng)Lanchester作戰(zhàn)模型拓展到三方作戰(zhàn)階段，并沒(méi)有考慮到空間因素對(duì)三方作戰(zhàn)結(jié)果的影響。同時(shí)，在當(dāng)今世界出現(xiàn)三方作戰(zhàn)的情況比如波斯尼亞內(nèi)戰(zhàn)、伊拉克內(nèi)戰(zhàn)和敘利亞動(dòng)亂[17]，基本上都是在比較復(fù)雜的山地與城市中，此時(shí)部隊(duì)移動(dòng)模式將對(duì)作戰(zhàn)結(jié)果造成影響。本文對(duì)三方作戰(zhàn)中部隊(duì)移動(dòng)模式進(jìn)行分類分析并對(duì)其時(shí)空動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。

1 短距移動(dòng)模式

1.1 短距移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型

建立一個(gè)規(guī)模為M×N的平面二維網(wǎng)格，采取周期邊界條件，在網(wǎng)格中存在A,B,C三方兵力，分別用紅，黃，藍(lán)三種顏色表示，在每一個(gè)網(wǎng)格中只能存在一種兵力，空格φ表示此處沒(méi)有任何一方的兵力，用灰色表示。A,B,C三方和空格φ之間的關(guān)系如下所示：

(1)

(2)

其中，式(1)中μ為交戰(zhàn)率，表示兩個(gè)存在不同方兵力的網(wǎng)格間的發(fā)生交戰(zhàn)并且一方占領(lǐng)另一方的網(wǎng)格的概率，體現(xiàn)了交戰(zhàn)方的作戰(zhàn)與支援能力。在實(shí)際作戰(zhàn)中指不同部隊(duì)間發(fā)現(xiàn)并交火的可能性。式(2)中σ為轉(zhuǎn)移率，表示存在兵力的網(wǎng)格向空網(wǎng)格的轉(zhuǎn)移概率，體現(xiàn)了交戰(zhàn)方的個(gè)體流動(dòng)性。在實(shí)際作戰(zhàn)中指部隊(duì)在區(qū)域中移動(dòng)的概率。

采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法，具體步驟如下：

步驟1：在整個(gè)網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個(gè)存在兵力的網(wǎng)格；

步驟2：判別已經(jīng)選擇的網(wǎng)格的上下左右四個(gè)方向的網(wǎng)格狀態(tài)；

步驟3：隨機(jī)選擇一個(gè)方向的網(wǎng)格，按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；

步驟4：重復(fù)步驟1直至仿真結(jié)束。

圖1 在交戰(zhàn)率為μ時(shí)A與B的交戰(zhàn)反應(yīng)

圖2 在轉(zhuǎn)移率為σ時(shí)A與φ的交換反應(yīng)

圖3 交戰(zhàn)反應(yīng)與交換反應(yīng)

1.2 交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

設(shè)定網(wǎng)格兵力的初始分布為均勻分布M=100，N=100，A,B,C三方和空格φ的比例大約為1∶1∶1∶1，交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ為可調(diào)參量，通過(guò)調(diào)整交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ，觀察斑圖的動(dòng)態(tài)演化情況和各方的戰(zhàn)斗、擴(kuò)散情況，并記錄在 15 000代時(shí)三方兵力的具體情況。

由于三方作戰(zhàn)與傳統(tǒng)作戰(zhàn)有一定的不同，在作戰(zhàn)結(jié)果方面會(huì)出現(xiàn)以下情況：(1)三方穩(wěn)定共存，即在一定的時(shí)間內(nèi)作戰(zhàn)三方都無(wú)法被消滅。(2)兩方相對(duì)穩(wěn)定共存，即在一定的時(shí)間內(nèi)剩余兩方但兩方的剩余兵力不等。(3)兩方穩(wěn)定共存，即在一定的時(shí)間內(nèi)剩余兩方且兩方剩余兵力相等。(4)僅存在一方。其中兩方相對(duì)穩(wěn)定共存會(huì)隨著仿真的繼續(xù)會(huì)轉(zhuǎn)化為兩方共存且兵力相等情況或者僅存一方情況。

通過(guò)50次仿真模擬得到數(shù)據(jù)取均值后得出短距移動(dòng)模式下交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線為圖4所示，由圖可知在交戰(zhàn)率μ≤1且轉(zhuǎn)移率σ≥9時(shí)三方共存，由于此時(shí)交戰(zhàn)率較低且轉(zhuǎn)移率較高，使得部隊(duì)更加趨于不同網(wǎng)格間的流動(dòng)而不是不同兵力間的作戰(zhàn)，故在 15 000代時(shí)三方共存。

圖5為當(dāng)μ=0.5，σ=9.5時(shí)三方兵力的密度時(shí)間曲線。從圖中可以看出，隨著時(shí)間的推移，三方的兵力出現(xiàn)此消彼長(zhǎng)，交替性增長(zhǎng)和衰減的情況，彼此間相互抗衡，說(shuō)明此時(shí)三方形成了穩(wěn)定共存狀態(tài)。

圖4 短距移動(dòng)模式交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

圖5 短距移動(dòng)模式μ=0.5，σ=9.5密度時(shí)間曲線

圖6為當(dāng)μ=3，σ=7時(shí)三方兵力的密度時(shí)間曲線。從圖中可以看出，隨著時(shí)間的推移，在8 000代時(shí)一方已經(jīng)被完全消滅，此時(shí)只剩余兩方，再經(jīng)過(guò)時(shí)間的推移，剩余兩方的兵力出現(xiàn)交替性增長(zhǎng)和衰減情況彼此間相互抗衡，說(shuō)明此時(shí)為剩余兩方且穩(wěn)定共存的狀態(tài)。

圖6 短距移動(dòng)模式μ=3，σ=7密度時(shí)間曲線

圖7為當(dāng)μ=4，σ=4時(shí)三方兵力的密度時(shí)間曲線。從圖中可以看出，隨著時(shí)間的推移，在 14 000代時(shí)一方已經(jīng)被完全消滅，此時(shí)只剩余兩方但兩方的兵力不相等，再經(jīng)過(guò)時(shí)間的推移到仿真結(jié)束前，剩余兩方的兵力出現(xiàn)交替性增長(zhǎng)和衰減情況彼此間保持相對(duì)平衡的狀態(tài)，此時(shí)為剩余兩方且相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，對(duì)處于該狀態(tài)的兩方進(jìn)行繼續(xù)仿真得到兩種狀態(tài)一種問(wèn)為剩余兩方且穩(wěn)定共存狀態(tài)另一種為剩余一方狀態(tài)。

圖7 短距移動(dòng)模式μ=4，σ=4密度時(shí)間曲線

圖8為當(dāng)μ=7，σ=3三方兵力的密度時(shí)間曲線。從圖中可以看出，隨著時(shí)間的推移，在7 500代時(shí)一方已經(jīng)被完全消滅，此時(shí)只剩余兩方但兩方的兵力不相等，在13 500代時(shí)另一方也被完全消滅，此時(shí)只剩余一方直到仿真結(jié)束。

圖8 短距移動(dòng)模式μ=7，σ=3密度時(shí)間曲線

1.3 交戰(zhàn)率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)短距移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究交戰(zhàn)率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=11和交戰(zhàn)率μ=1.5轉(zhuǎn)移率σ=11兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在13 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，13 000代和13 100代上述兩種情況的斑圖如圖9。

圖9 轉(zhuǎn)移率σ=11的斑圖

通過(guò)觀察圖9，當(dāng)交戰(zhàn)率μ=0.5時(shí)，穩(wěn)定斑圖中各個(gè)兵力分布較為分散，零散的斑塊較多但不集中，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較弱，而當(dāng)交戰(zhàn)率μ=1.5時(shí)，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個(gè)較大的斑塊，零散的斑塊較少，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，交戰(zhàn)率越大斑圖的斑塊越趨于集中，系統(tǒng)的自組織性越強(qiáng)。

1.4 轉(zhuǎn)移率σ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)短距移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究轉(zhuǎn)移率σ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=8和交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=11兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在13000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取13 000代和13 100代上述兩種情況的斑圖如圖9、圖10。

圖10 交戰(zhàn)率μ=1時(shí)的.斑圖

通過(guò)觀察圖10，當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=8時(shí)，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個(gè)較大的斑塊，零散的斑塊較少，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。而當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=11時(shí)，穩(wěn)定斑圖中各個(gè)兵力分布較為分散，零散的斑塊較多基本上沒(méi)有形成穩(wěn)定的大斑塊，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較弱。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，轉(zhuǎn)移率越大斑圖的斑塊越趨于分散，斑塊間流動(dòng)性越強(qiáng)，系統(tǒng)的自組織性越弱。

2 長(zhǎng)距移動(dòng)模式

2.1 Levy飛行

Levy飛行描述了由許多小步長(zhǎng)和少量大步長(zhǎng)組成的移動(dòng)模式[19]，在生物的搜索捕食行為中較為顯著。已有研究發(fā)現(xiàn)在海洋中的一些捕食者在大范圍搜捕食物過(guò)程中和野外蜜蜂回巢的過(guò)程甚至果蠅、麋鹿和信天翁等運(yùn)動(dòng)都存在Levy飛行方式[20，22]。Levy飛行是一種垂尾分布在大范圍空間的搜索捕食中，Levy飛行是一種比布朗運(yùn)動(dòng)更有效的搜索策略。在作戰(zhàn)中，使用Levy飛行策略對(duì)敵方目標(biāo)進(jìn)行搜索和攻擊可以縮短搜索進(jìn)程提高搜索效率。

Levy飛行的運(yùn)動(dòng)距離的概率密度為冪率分布即：

L(s)=C·s-h(1

(3)

式中，s為L(zhǎng)evy飛行步長(zhǎng)，s∈[s0,smax]，s0為最小步長(zhǎng)，smax為最大步長(zhǎng)，C=(1-h)·s1-h，h為冪指數(shù)，經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)h≈2時(shí)，為L(zhǎng)evy飛行最優(yōu)策略。

本文使用Mantegna算法[22]生成Levy飛行步長(zhǎng)，如下所示：

(4)

式中U、V滿足正態(tài)分布：

(5)

標(biāo)準(zhǔn)差σU、σV滿足下式：

(6)

式中，Γ(z)為gamma函數(shù)。

圖11為L(zhǎng)evy飛行的飛行軌跡。

圖11 Levy飛行軌跡

2.2 長(zhǎng)距移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型

采用與第一章相同的M×N平面網(wǎng)格，A,B,C三方和空格φ之間的相互作用與式(1)式(2)相同，采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法，具體步驟如下：

步驟1：在整個(gè)網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個(gè)存在兵力的網(wǎng)格；

步驟2：使用蒙特卡洛方法確定下一個(gè)網(wǎng)格處于現(xiàn)在網(wǎng)格的方向；按照式(4)計(jì)算Levy飛行步長(zhǎng)；

步驟3：根據(jù)計(jì)算的方向和步長(zhǎng)確定網(wǎng)格與步驟1確定的網(wǎng)格，按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；

步驟4：重復(fù)步驟1直至仿真結(jié)束。

取網(wǎng)格兵力的初始分布為均勻分布M=100，N=100，A,B,C三方和空格φ的比例大約為1∶1∶1∶1，Levy飛行參數(shù)β=2,s0=2,smax=20。交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ為可調(diào)參量，通過(guò)調(diào)整交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ，觀察斑圖的動(dòng)態(tài)演化情況和各方的戰(zhàn)斗、擴(kuò)散情況，并記錄在15 000代時(shí)三方兵力的具體情況。

通過(guò)50次仿真模擬得到數(shù)據(jù)取均值后得出短距移動(dòng)模式下交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線為圖12所示，通過(guò)觀察并與圖4作對(duì)比發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)距移動(dòng)模式下各個(gè)狀態(tài)的臨界曲線與短距模式下有較大不同，在相同交戰(zhàn)率情況下長(zhǎng)距移動(dòng)模式三方穩(wěn)定共存的情況相對(duì)于短距移動(dòng)模式轉(zhuǎn)移率較低，同時(shí)長(zhǎng)距移動(dòng)模式下出現(xiàn)兩方相對(duì)穩(wěn)定共存的情況的在圖中所占面積與短距相比較小。與短距移動(dòng)模式相比，在長(zhǎng)距移動(dòng)模式下，兩方穩(wěn)定共存狀態(tài)的所占面積較大。由于Levy飛行使得系統(tǒng)中斑塊間的流動(dòng)性增大，故相對(duì)減少了系統(tǒng)的自組織性，為了保持和原系統(tǒng)相似的狀態(tài)，需在同等條件下增大交戰(zhàn)率或者減少轉(zhuǎn)移率以增大系統(tǒng)的自組織性或減少斑塊間的流動(dòng)性。

圖12 長(zhǎng)距移動(dòng)模式交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

圖13為當(dāng)μ=0.5，σ=8時(shí)三方兵力的密度時(shí)間曲線，隨著時(shí)間的推移，三方的兵力出現(xiàn)此消彼長(zhǎng)情況，彼此間相互抗衡，說(shuō)明此時(shí)三方形成了穩(wěn)定共存狀態(tài)。圖14為當(dāng)μ=3，σ=6時(shí)三方兵力的密度時(shí)間曲線。從圖中可以看出，隨著時(shí)間的推移，在1 000代時(shí)一方已經(jīng)被完全消滅，此時(shí)只剩余兩方，之后剩余兩方的兵力彼此間相互抗衡，說(shuō)明此時(shí)為剩余兩方且穩(wěn)定共存的狀態(tài)。

圖13 長(zhǎng)距移動(dòng)模式μ=0.5，σ=8密度時(shí)間曲線

圖15為當(dāng)μ=5，σ=5時(shí)三方兵力的密度時(shí)間曲線，隨著時(shí)間的推移，在2 000代時(shí)一方已經(jīng)被完全消滅，此時(shí)只剩余兩方但兩方的兵力不相等，再經(jīng)過(guò)時(shí)間的推移到仿真結(jié)束前，剩余兩方的兵力出現(xiàn)交替性增長(zhǎng)和衰減情況彼此間保持相對(duì)平衡的狀態(tài)，此時(shí)為剩余兩方且相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，對(duì)處于該狀態(tài)的兩方進(jìn)行繼續(xù)仿真得到兩種狀態(tài)一種為剩余兩方且穩(wěn)定共存狀態(tài)另一種為剩余一方狀態(tài)。

圖14 長(zhǎng)距移動(dòng)模式μ=3，σ=6密度時(shí)間曲線

圖16為當(dāng)μ=6，σ=3三方兵力的密度時(shí)間曲線，隨著時(shí)間的推移，在2 000代時(shí)一方已經(jīng)被完全消滅，此時(shí)只剩余兩方但兩方的兵力不相等，在15 000代時(shí)另一方也被完全消滅，此時(shí)只剩余一方直到仿真結(jié)束。

圖15 長(zhǎng)距移動(dòng)模式μ=5，σ=5密度時(shí)間曲線

圖16 長(zhǎng)距移動(dòng)模式μ=6，σ=3密度時(shí)間曲線

2.3 交戰(zhàn)率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)長(zhǎng)距移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究交戰(zhàn)率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=10和交戰(zhàn)率μ=3轉(zhuǎn)移率σ=10兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在10 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取10 000代和10 100代上述兩種情況的斑圖如圖17。

圖17 轉(zhuǎn)移率σ=10的斑圖

通過(guò)觀察圖17，在第10 000代時(shí)斑圖中有一些較大的斑塊中存在一些較小的斑塊，而在10 100代時(shí)這些小的斑塊將大斑塊侵蝕消滅，這是由于Levy飛行增加了不同網(wǎng)格間兵力的流動(dòng)，使得在短距狀態(tài)下無(wú)法發(fā)生的交戰(zhàn)在長(zhǎng)距狀態(tài)下便可以發(fā)生，故大斑塊會(huì)被小斑塊消滅。當(dāng)交戰(zhàn)率μ=1時(shí)，穩(wěn)定斑圖中各個(gè)兵力分布較為分散，零散的斑塊較多且不集中，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較弱，而當(dāng)交戰(zhàn)率μ=3時(shí)，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個(gè)較大的斑塊，零散的斑塊較少，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，交戰(zhàn)率越大斑圖的斑塊越趨于集中，系統(tǒng)的自組織性越強(qiáng)。

2.4 轉(zhuǎn)移率σ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響

據(jù)短距移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究轉(zhuǎn)移率σ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=7和交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=10兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在10 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取10 000代和10 100代上述兩種情況的斑圖如圖18。

圖18 交戰(zhàn)率μ=0.5時(shí)的斑圖

通過(guò)觀察圖18，當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=10時(shí)，穩(wěn)定斑圖中各個(gè)兵力分布較為分散，零散的斑塊較多基本上沒(méi)有形成穩(wěn)定的大斑塊，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較弱。而當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=7時(shí)，穩(wěn)定斑圖中出現(xiàn)了多個(gè)較大的斑塊，說(shuō)明此時(shí)網(wǎng)格間部隊(duì)流動(dòng)減少系統(tǒng)的自組織性較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，轉(zhuǎn)移率越大斑圖的斑塊越趨于分散，網(wǎng)格間部隊(duì)流動(dòng)性越強(qiáng)，系統(tǒng)的自組織性越弱。

3 混合移動(dòng)模式

3.1 混合移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型

采用與第一章相同的平面網(wǎng)格，三方和空格之間的相互作用與式(1)式(2)相同，部隊(duì)的移動(dòng)模式不僅僅為短距或者Levy飛行，先采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法確定網(wǎng)格的具體移動(dòng)模式，在進(jìn)行斑塊間的反應(yīng)，具體步驟如下：

步驟1：在整個(gè)網(wǎng)格中隨機(jī)選擇一個(gè)存在兵力的網(wǎng)格；

步驟2：采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法確定網(wǎng)格的具體的移動(dòng)模式；

步驟3：若移動(dòng)模式為L(zhǎng)evy飛行模式，使用蒙特卡洛方法確定下一個(gè)網(wǎng)格處于現(xiàn)在網(wǎng)格的方向；按照式(4)計(jì)算Levy飛行步長(zhǎng)；若移動(dòng)模式為短距移動(dòng)模式則判別已經(jīng)選擇的網(wǎng)格的上下左右四個(gè)方向的網(wǎng)格狀態(tài)；

步驟4：若移動(dòng)模式Levy飛行模式為根據(jù)計(jì)算的方向和步長(zhǎng)確定網(wǎng)格與步驟1確定的網(wǎng)格按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；若移動(dòng)模式為短距移動(dòng)模式則隨機(jī)選擇一個(gè)方向的網(wǎng)格按照式(1)或者式(2)的反應(yīng)方程進(jìn)行反應(yīng)；

步驟5：重復(fù)步驟1直至仿真結(jié)束。

3.2 交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

取網(wǎng)格兵力的初始分布為均勻分布，三方和空格的比例大約為，Levy飛行參數(shù)。短距移動(dòng)模式選擇概率為交戰(zhàn)率和轉(zhuǎn)移率為可調(diào)參量，通過(guò)調(diào)整交戰(zhàn)率和轉(zhuǎn)移率，觀察斑圖的動(dòng)態(tài)演化情況和各方的戰(zhàn)斗、擴(kuò)散情況，并記錄在15 000代時(shí)三方兵力的具體情況。

通過(guò)50次仿真模擬得到數(shù)據(jù)取均值后得出短距移動(dòng)模式下交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線為圖19所示，通過(guò)觀察并與圖4、圖12作對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在混合移動(dòng)移動(dòng)模式下各個(gè)狀態(tài)的臨界曲線與短距和長(zhǎng)距模式下有較大不同，在相同交戰(zhàn)率情況下混合移動(dòng)模式三方穩(wěn)定共存的情況相對(duì)于短距移動(dòng)模式轉(zhuǎn)移率較低而基本上與長(zhǎng)距移動(dòng)模式相同，混合移動(dòng)模式下出現(xiàn)兩方相對(duì)穩(wěn)定共存的情況的在圖中所占面積與其他兩種移動(dòng)模式相比較小，而兩方穩(wěn)定共存狀態(tài)的所占面積較大。由于Levy飛行使得系統(tǒng)中斑塊間的流動(dòng)性增大，故相對(duì)減少了系統(tǒng)的自組織性，但由于混合移動(dòng)模式下網(wǎng)格間的移動(dòng)為L(zhǎng)evy飛行模式和短距模式共同作用，使得系統(tǒng)的自組織性減少的同時(shí)，通過(guò)這種混合移動(dòng)模式使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到增加，故穩(wěn)定共存的面積得到了增加。

圖19 混合移動(dòng)模式交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線

3.3 交戰(zhàn)率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響

依據(jù)混合移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究交戰(zhàn)率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=0.5轉(zhuǎn)移率σ=9和交戰(zhàn)率μ=1.5轉(zhuǎn)移率σ=9兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在12 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取12 000代和12 100代上述兩種情況的斑圖如圖20。

圖20 轉(zhuǎn)移率σ=9時(shí)的斑圖

通過(guò)觀察圖20，當(dāng)交戰(zhàn)率μ=0.5時(shí)，斑圖中各個(gè)兵力較為分散，但也有少量的同種兵力聚集的斑塊，并且12 000代和12 100代的斑圖差別較大，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較差不同網(wǎng)格間兵力的流動(dòng)性較強(qiáng)。當(dāng)交戰(zhàn)率μ=1.5時(shí)，在 12 000代時(shí)斑圖中出現(xiàn)了較大的同種兵力聚集的斑塊，在這些斑塊附近也分散著一些零散的斑塊，在12 100代時(shí)斑圖中一些斑塊被消滅分散但也出現(xiàn)了一些新的同種兵力聚集的較大斑塊，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)有一定的自組織性并且不同網(wǎng)格間兵力的流動(dòng)性也較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，交戰(zhàn)率越大斑圖的斑塊越趨于集中，系統(tǒng)的自組織性越強(qiáng)。

3.4 轉(zhuǎn)移率σ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響

據(jù)混合移動(dòng)模式三方Lanchester作戰(zhàn)模型，選擇三方穩(wěn)定共存狀態(tài)研究轉(zhuǎn)移率μ對(duì)穩(wěn)定斑圖的影響。取交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=8和交戰(zhàn)率μ=1轉(zhuǎn)移率σ=11兩種情況的穩(wěn)定斑圖進(jìn)行研究。根據(jù)多次實(shí)驗(yàn)可知，在12 000代左右斑圖狀態(tài)為三方穩(wěn)定共存狀態(tài)，故取12 000代和12 100代上述兩種情況的斑圖如圖21。

圖21 交戰(zhàn)率μ=1時(shí)的斑圖

通過(guò)觀察圖21，當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=11時(shí)，斑圖中各個(gè)兵力較為分散并且12 000代和12 100代的斑圖差別較大，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)的自組織性較差不同網(wǎng)格間兵力的流動(dòng)性較強(qiáng)。當(dāng)轉(zhuǎn)移率σ=8時(shí)，在12 000代時(shí)斑圖中出現(xiàn)了較大的同種兵力聚集的斑塊，在這些斑塊附近也分散著一些零散的斑塊，在12 100代時(shí)斑圖中一些斑塊被消滅分散但也出現(xiàn)了一些新的同種兵力聚集的較大斑塊，說(shuō)明此時(shí)系統(tǒng)有一定的自組織性并且不同網(wǎng)格間兵力的流動(dòng)性也較強(qiáng)。再選取不同的交戰(zhàn)率進(jìn)行上述步驟觀察斑圖的演化結(jié)果與上述相同。故在不超出穩(wěn)定狀態(tài)的臨界范圍的情況下，轉(zhuǎn)移越大斑圖的斑塊越趨于分散，網(wǎng)格間不同兵力的流動(dòng)性越強(qiáng)。

3.5 短距移動(dòng)模式與長(zhǎng)距移動(dòng)模式最佳部隊(duì)比值

由3.2節(jié)可知，Ps為在實(shí)際仿真中選擇短距移動(dòng)模式的概率，即移動(dòng)模式為短距移動(dòng)模式部隊(duì)在整個(gè)部隊(duì)中所占比值。部隊(duì)參加作戰(zhàn)最終的目的應(yīng)為消滅敵人，保存自己，所以應(yīng)選擇三方作戰(zhàn)最終只剩一方的情況進(jìn)行分析。在三方兵力中選擇A方使用混合移動(dòng)模式其兵力用紅色表示，其余兩方兵力用黃色和藍(lán)色表示，空格φ用灰色表示三方的兵力比為A,B,C三方和空格φ的比例大約為1∶1∶1∶1，Levy飛行參數(shù)β=2,s0=2,smax=20，μ=5，σ=1，ps為可調(diào)變量。分三種情況，其余兩方皆為短距移動(dòng)模式，其余兩方皆為長(zhǎng)距移動(dòng)模式和一方為短距移動(dòng)模式一方為長(zhǎng)距移動(dòng)模式。調(diào)節(jié)ps，并在每一個(gè)值進(jìn)行100次仿真A方獲勝次數(shù)繪制曲線圖如圖22～圖24所示。

圖22 其余方為短距移動(dòng)模式A方獲勝次數(shù)曲線

圖23 其余方為長(zhǎng)距移動(dòng)模式A方獲勝次數(shù)曲線

圖24 其余方一方為長(zhǎng)距移動(dòng)模式一方為短距移動(dòng)模式A方獲勝次數(shù)曲線

通過(guò)圖22～圖24可知當(dāng)ps=0.8時(shí)即短距移動(dòng)模式和長(zhǎng)距移動(dòng)模式部隊(duì)的比值為4∶1時(shí)，紅方獲勝次數(shù)最多，同時(shí)可知，當(dāng)A方僅有短距移動(dòng)模式時(shí)，部隊(duì)的獲勝次數(shù)最少，而增加了長(zhǎng)距移動(dòng)模式的兵力后獲勝次數(shù)增加，當(dāng)短距移動(dòng)模式和長(zhǎng)距移動(dòng)模式部隊(duì)的比值小于1∶1時(shí)，部隊(duì)的獲勝次數(shù)開始下降。由于Levy飛行增加了部隊(duì)的自由度和攻擊半徑，使得其在對(duì)抗中可以攻擊到短距移動(dòng)模式下無(wú)法攻擊的部隊(duì)，同時(shí)當(dāng)長(zhǎng)距移動(dòng)模式比值過(guò)大時(shí)由于增加了部隊(duì)的自由度使得部隊(duì)不易聚集在一起反而會(huì)使得部隊(duì)容易被攻擊故在不斷增加長(zhǎng)程移動(dòng)模式兵力后會(huì)使得部隊(duì)的獲勝次數(shù)下降。

4 結(jié)論

1) 本文提出了交戰(zhàn)率μ和轉(zhuǎn)移率σ為影響作戰(zhàn)過(guò)程的變量，通過(guò)仿真得到在不同模型下的交戰(zhàn)率—轉(zhuǎn)移率臨界曲線，確定了不同穩(wěn)定狀態(tài)下交戰(zhàn)率和轉(zhuǎn)移率的取值范圍。

2) 交戰(zhàn)率的增大會(huì)增強(qiáng)系統(tǒng)的同種兵力間聚合能力，使斑塊增大，增強(qiáng)系統(tǒng)的自組織性。轉(zhuǎn)移率的增加會(huì)加速不同網(wǎng)格間兵力的移動(dòng)，加速系統(tǒng)的流動(dòng)性。

3) 加入Levy飛行移動(dòng)模式后，系統(tǒng)的流動(dòng)性得到加強(qiáng)，同一種狀態(tài)的臨界曲線上的交戰(zhàn)率取值增大，轉(zhuǎn)移率取值減少。

4) 混合移動(dòng)模式下短距移動(dòng)模式部隊(duì)和長(zhǎng)距移動(dòng)模式部隊(duì)的最佳比值為4∶1。