導數證明不等式方法探究

張一生

(湖北省十堰市第一中學 442000)

函數是高中數學的主干知識,與其他數學知識聯系密切,是歷年高考的必考內容.函數與導數的綜合問題多出現在壓軸題位置，利用導數證明函數不等式是函數綜合問題中的熱點，是高考常見考查內容.本文擬對導數證明函數不等式問題歸類總結，對證明方法作一些探究.

一、構造函數法

1.形如f(x)>g(x)的不等式，可以構造函數F(x)=f(x)-g(x)，轉化為研究函數F(x)的最值.

例1 求證: ex≥x+1.

思路探究構造函數f(x)=ex-(x+1)，利用導數研究f(x)的單調性與最值，可得f(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞增，故f(x)≥f(0)=0，問題得證.

2.不等式能轉化為左右結構相同,轉化后形如f(a)>f(b),可構造函數f(x),利用導數研究f(x)單調性,使問題得到解決.

例2 己知函數f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤-2).

求證:對任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.

所證|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價于f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1

構造函數F(x)=f(x)+4x,利用導數證明F(x)在(0,+∞)上單調遞減,由x1≥x2,得F(x2)≥F(x1),問題得證.

構造函數h(t)=lnt-t+1(t>1),利用導數證明h(t)在(1,+∞)上單調遞減,h(t)

則g′(x)=lnx2-lnx.由00,g(x)在(0,x2)上為增函數,故g(x)

4.函數f(x)滿足f(x1)=f(x2),x0為函數f(x)的極值點,欲證x1+x2<2x0(或x1+x2>2x0),可構造函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(亦可構造F(x)=f(x)-f(2x0-x))

例4 (2010年天津理科)已知函數f(x)=xe-x(x∈R),如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2>2.

由x1≠x2,且f(x1)=f(x2),不妨設x1

欲證x1+x2>2,即證x2>2-x1.由x2,2-x1∈(1,+∞),f(x)在(1,+∞)上遞減,只需證f(x2)

構造函數F(x)=f(x)-f(2-x),其中x∈(0,1).所證等價于F(x)<0對x∈(0,1)恒成立.利用導數,可得F(x)

二、函數最值比較法

欲證f(x)>g(x),無法通過構造函數F(x)=f(x)-g(x)解決,可嘗試求解f(x)min與g(x)max,利用f(x)min>g(x)max使問題得到解決.

三、中介函數轉化法

欲證f(x)>g(x),可借助中介函數h(x),通過證明f(x)>h(x)>g(x)實現目標.

由教材習題:lnx

利用導數證明函數不等式,就是不斷應用轉化化歸的思想,將函數進行變形,研究函數性質,直至出現較易解決的函數形式,實現問題解決.