導(dǎo)數(shù)中的幾個(gè)不等價(jià)關(guān)系

田曉東

(黑龍江省哈爾濱市第二十四中學(xué) 150060)

由于學(xué)生初學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)、方法理解得不深不透，在解題時(shí)常易發(fā)生偏差.本文就幾個(gè)不等價(jià)關(guān)系作以簡(jiǎn)要分析.

一、“f ′(x)>0”不等價(jià)于“f(x)是增函數(shù)”

人教版普通高中課標(biāo)教科書(shū)選修2-2第23頁(yè)寫(xiě)到：“在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.”該法則為判定函數(shù)的單調(diào)性提供了依據(jù).但在運(yùn)用該法則時(shí)，也常出現(xiàn)問(wèn)題.

例1 判定函數(shù)f(x)=x-sinx在R上的單調(diào)性.

錯(cuò)解求得f′(x)=1-cosx.

可見(jiàn)當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí)，f′(x)=0，不滿(mǎn)足判定法則，所以f(x)不是單調(diào)函數(shù).

剖析上述結(jié)論是錯(cuò)誤的.事實(shí)上，f(x)是增函數(shù)，可用定義加以證明.

造成錯(cuò)解的原因是對(duì)單調(diào)性判定法則的理解發(fā)生偏差.由判定法則可知，若f′(x)>0，則必有f(x)是增函數(shù)，但書(shū)中并沒(méi)有說(shuō)不滿(mǎn)足f′(x)>0,f(x)就一定不是增函數(shù).實(shí)際上，僅在個(gè)別點(diǎn)出現(xiàn)f′(x)=0，但其余點(diǎn)都使f′(x)>0，那么f(x)仍是增函數(shù).如函數(shù)f(x)=x3,f′(x)=3x2，雖然f′(0)=0,但x≠0時(shí)都有f′(x)>0，所以f(x)=x3仍然是R上的增函數(shù).其實(shí)f′(x)>0是f(x)遞增的充分不必要條件.

二、“f ′(x)=0”不等價(jià)于“f(x0)是極值”

我們知道，對(duì)于區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若存在x0∈(a,b)，使f(x0)是極值，那么必有f′(x0)=0.反之，若f′(x0)=0，那么f(x0)是否是極值呢？請(qǐng)看：

例2 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，求f(x)的解析式.

錯(cuò)解求得f′(x)=3x2+2ax+b.依據(jù)題意有

(1)當(dāng)a=4,b=-11時(shí)，f(x)=x3+4x2-11x+16;

(2)當(dāng)a=-3,b=3時(shí)，f(x)=x3-3x2+3x+9.

剖析f′(x0)=0僅是f(x)在x=x0處取得極值的必要條件.

正確解答應(yīng)在解得a,b值后，再進(jìn)一步考察x=x0左右導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)是否相反.

x(-∞,-113)-113(-113,1)1(1,+∞)f ′(x)+0-0+f(x)↗極大↘極小↗

(2)當(dāng)a=-3,b=3時(shí)，f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，不合題意，應(yīng)舍去.

綜上，所求解析式是f(x)=x3+4x2-11x+16.

三、“點(diǎn)P處的切線(xiàn)”不等價(jià)于“過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)”

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率.由此易得在點(diǎn)x0處的切線(xiàn)方程.但由于對(duì)該幾何意義理解得過(guò)于強(qiáng)化，反而造成解題失誤.

例3 求過(guò)曲線(xiàn)y=x3-2x上的點(diǎn)A(1，-1)的切線(xiàn)方程.

剖析過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)不一定以點(diǎn)A為切點(diǎn).本題求的是“過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)”，而不是“點(diǎn)A處的切線(xiàn)”.因而過(guò)點(diǎn)A，但不以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程也是符合題意的.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)點(diǎn)P在曲線(xiàn)上時(shí)，求過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)時(shí)，要分兩種情況考慮：一是點(diǎn)P就是切點(diǎn)；二是以曲線(xiàn)上另一點(diǎn)為切點(diǎn)，而該切線(xiàn)恰好過(guò)點(diǎn)P.解題時(shí)千萬(wàn)不要混淆了“點(diǎn)P處的切線(xiàn)”與“過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)”.