例剖數(shù)學(xué)一題多解本質(zhì)

何正文

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

一道題可以因為有思考角度，解題順序，定理公式運(yùn)用，數(shù)學(xué)公式變式，代入方式，知識板塊不同而多解.下面從六個例子的不同解法中剖析出其中的本質(zhì).

一、 運(yùn)用思考角度不同的一題多解

這道題解法用多面體的體積知識點(diǎn)做，從分割，補(bǔ)全，不割不補(bǔ)的不同思考角度有不同的解法.

從把原多面體分割成三個小幾何體這個角度出發(fā)：

解法一取CE中點(diǎn)M，ED中點(diǎn)N，則可將此多面體分割成三個小幾何體，分別是四棱錐C-ABMF，三棱柱BMN-AFD以及三棱錐E-BMN，CD=2.

通過證明和計算，可以得到：CD⊥面ABMF,BA⊥面ACD,EN⊥面BMN，CD=2.

從把原多面體補(bǔ)全成一個大幾何體這個角度出發(fā)：

解法二把原幾何體補(bǔ)全成一個新的幾何體(三棱柱ACD-A1C1E)發(fā)現(xiàn)，原多面體的體積是三棱柱ACD-A1C1E體積的一半.

從對原多面體既不分割也不補(bǔ)全這個角度出發(fā)：

解法三(對原多面體既不分割也不補(bǔ)全)

把原多面體看成一個以C為頂點(diǎn)，四邊形ABED為底面的四棱錐.

過C作CG⊥AD，通過證明可知：CG⊥面ABED.

二、解題順序不同的一題多解

證法一(從左到右)

證法二(從右到左)

∵log1227=a,

證法三(中間會師)

證法四(轉(zhuǎn)化條件)

以上一題多解，既可看到知識的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又可梳理推理論證等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉(zhuǎn)化條件等，這些對提高解題能力是多么重要.

三、運(yùn)用定理公式不同的一題多解

這道題解法都是用角和邊互換的知識做，分別用余弦定理，正弦定理，射影定理，有不同的解法.

從余弦定理這個知識點(diǎn)出發(fā)：

從正弦定理這個知識點(diǎn)出發(fā)：

從射影定理這個知識點(diǎn)出發(fā)：

四、運(yùn)用數(shù)學(xué)公式變式不同的一題多解

例4 已知拋物線在y軸上的截距為3，對稱軸為直線x=-1，在x軸上截得線段長為4，求拋物線方程.

這道題是考察拋物線公式的知識點(diǎn)，我們可以選取不同的拋物線公式，有不同解法.

從拋物線方程的一般式：

解法一截距為3，可選擇一般式方程：y=ax2+bx+c(a≠0).

顯然有c=3，利用其他條件可列方程組求a，b值.

從拋物線方程的頂點(diǎn)式：

解法二由對稱軸為直線x=-1，可選擇頂點(diǎn)式方程：

y=a(x-m)2+k(a≠0).

顯然有m=-1，利用其他條件可列方程組求a，k的值.

從拋物線方程的兩根式：

解法三由一元二次方程與一元二次函數(shù)關(guān)系可選擇兩根式

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(必須與x軸有交點(diǎn)).

顯然x1=-3，x2=1.由截距3，可求a值.

五﹑運(yùn)用代入方式不同的一題多解

例5 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=1,則f(-3)等于( ).

A．2 B．3 C．6 D．9

這道題是代入法來做，我們可以選取不同的代入值，有不同解法.

解法一f(x+y)=f(x)+f(y) 中，可令x,y特殊值,計算出前幾項，猜想出結(jié)果.令x=0,y=0, 得f(0)=0;令x=1,y=1, 得f(2)=4;再令x=1,y=2, 得f(3)=9.則f(0)=0，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9猜想f(x)=x2, 則f(-3)=9.

解法二再取特值得f(0)=0，再令y=-x得，f(x)+f(-x)=2x2，再令y=-x，得f(-3)=9.

解法三右邊2xy，有點(diǎn)象完全平方的形式，構(gòu)造滿足條件的特殊函數(shù).

取f(x)=x2滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy和f(1)=1，則f(-3)=9.

六、 運(yùn)用知識板塊不同的一題多解

例6 過拋物線y2=2px(p>0)的對稱軸上一點(diǎn)A(a,0)(a>0)的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)， 自M,N向直線l:x=-a作垂線，垂足分別為M1,N1.

這道題證明垂直的題目，從幾何板塊知識，向量板塊知識，坐標(biāo)計算知識板塊等不同知識板塊，有不同的解法.

從幾何板塊知識入手:

由拋物線的定義得：|MA|=|MM1|,|NA|=|NN1|,

所以∠MAM1=∠MM1A,∠NAN1=∠NN1A.

如圖5，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A1，因為MM1∥NN1∥AA1,

所以∠A1AM1=∠MM1A,∠A1AN1=∠NN1A.

而∠A1AM1+∠MAM1+∠A1AN1+∠NAN1=180°.

即2∠A1AM1+2∠A1AN1=180°.

所以∠A1AM1+∠A1AN1=90°.

故得AM1⊥AN1.

從向量板塊知識入手:

證法二設(shè)∠MAx=θ,

從坐標(biāo)計算板塊知識入手：

所以AM1⊥AN1.

所以AM1⊥AN1.

綜合上述(1)、(2)，必有AM1⊥AN1.

可見，不同解法反映學(xué)生的視角與思路是不同的，本質(zhì)就是把數(shù)學(xué)知識圖形化,坐標(biāo)化,代數(shù)化,知識點(diǎn)之間融合化,從一道題中學(xué)會一類題，甚至構(gòu)建一個知識系統(tǒng).達(dá)到舉一反三，一箭雙雕的目標(biāo).