解題辯證法

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

一、有時需要把簡單化為復雜來解題

等價轉化是解數(shù)學題的一種基本思想，通常是把所給的條件逐漸轉化，使之越來越簡單，該條件就好用了，從而達到解題的目的.

事物都是辯證的.筆者發(fā)現(xiàn)，有時在解題的局部過程中，把簡單的條件等價轉化為復雜的條件來解題反而有助于解題.下面茲舉兩題.

題1 若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

A.a>3 B.a<3 C.a>4 D.a<4

解A.由x>1?2x+x>3,2x>a-x?2x+x>a可得答案.

題2 “a>b”是“3a>2b”的( ).

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

二、拼角和拆角

而我們在解某些三角問題時，卻需要拼——愛拼才會贏！即不要急著用和(差)角公式sin(α±β),cos(α±β),tan(α±β)展開，而是先把未知的角拼(表示)成已知角的和或差(有時還要把未知角拼成已知角的倍數(shù)和)后再解題.下面舉題說明這種技巧.

題3 已知=tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,求tan2α,tan2β的值.

解可得

tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]

tan2β=tan[(α+β)-(α-β)]

證明即證sin(2α+β)-sinβ=2sinαcos(α+β),

sin[(α+β)+α]-sin[(α+β)-α]

=2sinαcos(α+β),

這時再用和(差)角公式展開上式的左邊，即知上式成立，所以要證結論成立.

證明先把未知的角β,2α+β拼成已知角α+β,α的差、和，再用和(差)角公式展開，可得要證結論成立.

解可求得答案：

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=…=-1.

題3～8的解法都是拼角.

解法1 (拆角)由題設，可得

解法2 (拼角)由題設，可得

解法1 (拆角)把題設中的等式展開后，可得

與教科書《必修4》配套使用的《教師教學用書》第130頁給出的解答是：

以上解法可能只有極少數(shù)同學能掌握，自己能獨立想到這種解法的恐怕更少.

下面給出該題的一種直接解法：

若能求出sinx,cosx，則問題即可解決.

唯一解(sinx,cosx).

下面再給出此題的兩種巧妙解法：

三、“設而不求”與“設并且求”

在解直線與二次曲線位置關系的平面解析幾何題時，經(jīng)常會用到“設而不求”的方法，往往簡便快捷.但筆者發(fā)現(xiàn)，有很多時候，把一元二次方程的解求出來(即“設并且求”)也是一種樸素、本質(zhì)的解題方法——哪怕求出的根的表達式比較復雜.

(1)求橢圓C的焦距；

所以橢圓C的焦距為4.

可得(12k2+3)y2+6kcy-k2c2=0.

由-y1=3y2，得

題14 (2006年高考全國卷Ⅱ文科第21題)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x-2a(a∈R,a≠0)，B={x|10的解集為A，且A∩B≠?，求實數(shù)a的取值范圍.

四、不變(靜止)與變化(運動)

題15 已知f′(x)=x(x-a)(x-a-1)(a是常數(shù))，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即要求出不等式f′(x)=x(x-a)(x-a-1)≥0的解集.

因為該不等式中有參數(shù)a，所以須分類討論.

在f′(x)的三個零點0,a,a+1中，只有0是不變(靜止)的，a和a+1都是變化(運動)的，所以不好分類討論.但我們可以反其道而行之：如圖1所示，在數(shù)軸上，先把a和a+1固定下來(注意a+1>a)，再讓0在數(shù)軸上運動.

因而可分以下五種情況分類討論：

(1)當a+1<0即a<-1時，可得f′(x)≥0?x∈[a,a+1]∪[0,+∞)，得此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[a,a+1],[0,+∞)；

(2)當a+1=0即a=-1時，可得f′(x)≥0?x∈[-1,

+∞)，得此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1,+∞)；

(3)當a<0

(4)當a=0時，可得f′(x)≥0?x∈[1,+∞)，得此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞)；

(5)當a>0時，可得f′(x)≥0?x∈[0,a]∪[a+1,+∞)，得此時f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,a],[a+1,+∞).