把思維引向深入
———《3的倍數特征》教學實錄與設計意圖

翟運勝（特級教師）

【教學內容】

蘇教版五年級下冊第33 頁。

【教學目標】

1.使學生認識和掌握3 的倍數特征，能判斷和寫出3 的倍數，并能說明判斷的理由。

2.使學生在經歷探索和發現3 的倍數特征的過程中，培養觀察、比較和分析等思維能力，積累數學活動經驗，提高歸納推理的能力，進一步發展數感。

3.使學生主動參與探索、發現規律的活動，獲得探索數學結論的成功感受。體會數學的奇妙，增強學習數學的積極情感，樹立學習信心。

【教學過程】

一、提出猜想，引導質疑

師：判斷一下，117 是不是2的倍數？是不是5 的倍數？

生：117 既不是2 倍數也不是5 的倍數。

師：117 為什么不是2 的倍數？為什么也不是5 的倍數呢？

生：個位上是0、2、4、6、8 的數是2 的倍數。個位上是0、5 的數是5 的倍數，117 的個位是7。

師：大家都是根據這個數字的個位判斷的，誰來看著圖說一說，判斷一個數是不是2 或者5的倍數，只要看個位就可以了？

生：因為百位上100 一定是2 的倍數，十位上10 一定也是2的倍數，因此判斷一個數是不是2 的倍數，只要看個位。

生：因為百位上100 一定是5 的倍數，十位上10 一定也是5的倍數，因此判斷一個數是不是5 的倍數，只要看個位。

師：（出示下圖）任何一個自然數，它的十位、百位、千位所代表的數都一定是2 或者5 的倍數，因此不需要再考慮了。影響一個數是不是2 或者5 的倍數，只是個位的原因，如果個位是2 或者5 的倍數，那么這個數就是2或者5 的倍數，否則不是。

師：今天我們學習3 的倍數特征，判斷一個數是不是3 的倍數，是不是也只要看個位呢？請大家猜一猜。

生：我猜也只要看個位就行。

師：請你猜一猜，如果只看個位，個位可能是哪些數就是3 的倍數呢？

生：個位上是3、6、9 的數。

生：不行，比如13 就不是3的倍數，26 也不是。如果一個數各個數位上的數字之和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數。（這名學生在學習之前已從其他渠道知道了3 的倍數特征）

師：你知道為什么要把各個數位上的數字加在一起嗎？到底個位上的數字能不能決定一個數是不是3 的倍數呢？（這名學生說不出理由）

【設計意圖：通過先復習2、5的倍數特征，再利用數形結合的方式復習2、5 的倍數為什么只與這個數的個位有關，為之后研究3 的倍數特征提供思維路徑的引導，有效促進深度學習。】

二、利用經驗、組織探究

1.圈3 的倍數，發現3 的倍數的個位沒有固定規律。

師：請同學們拿出百數表，圈出3 的倍數。

師：在百數表中，從排列上看，你有什么發現呢？

生：3 的倍數都在一條斜線上。

師：讓我們來觀察這些3 的倍數的個位。（引導學生觀察比較：81、72、63、54、45、36、27、18、9）這一列，你有什么發現呢？

生：觀察個位上的數，從0 到9 各種情況都有，沒有固定規律。

師：看來3 的倍數，它的個位是沒有明確的特征，只看個位是不行的。

【設計意圖：學習之初，多數學生會猜測3 的倍數與這個數的個位有關，在運用百數表描畫出3 的倍數以后，教師引導學生先觀察81 這一斜行，學生會發現3的倍數的個位0～9 各種情況都有，從而確定了3 的倍數與個位沒有明確的關系，誘發了認知沖突，促進學生進入憤悱狀態，激起學生的探求欲望，促使學生產生積極的學習動機。】

2.從百數表中發現3 的倍數的規律。

師：從個位上看不出有什么規律，那么現在怎么辦呢？觀察這些3 的倍數（81 這一斜行上的數），讓我們一起來讀一讀：9、18、27、36、45、54、63、72、81 等這些3的倍數，你有什么發現呢？

生：十位依次增加1，個位依次減小1。

師：你看到了其中的變化，有什么不變的東西嗎？

生：各個數位上的數字加在一起是9。

（板書：個位與十位上的數字之和是9）

師：觀察百數表里這些數每個數的數字之和，你發現它們有什么特別之處嗎？生：這些數都是3 的倍數。

生：個位與十位上的數字之和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數。

師：推想，如果一個數不是3的倍數，那會出現什么現象呢？

生：那么這個數的十位與個位上的數加在一起應該不是3 的倍數。

師：讓我們看看百數表，找幾個不是3 的倍數。

學生找到83、97、49 這些不是3 的倍數的數，請大家把它們的個位與十位上的數字加在一起。

生：83，8＋3＝11；97，9＋7＝16；49，4＋9＝13。11、16、13 不是3 的倍數。

（板書：個位與十位上的數字之和是：11、16、13，不是3 的倍數）

3.通過舉例推廣到三位數、四位數等。

師：剛才我們是舉了兩位數的例子，那么三位數呢？誰來舉一個任意的三位數。

生：789，7＋8＋9＝24。

師：24 這個數是3 的倍數，我斷定789 應當是3 的倍數。

生：569，5＋6＋9＝20。20 不是3 的倍數，我斷定569 不是3 的倍數。

師：對789 和569 這兩個數的判斷，對不對呢？我們用計算器驗證一下。

（組織學生用計算器來驗證）

師：誰再來舉個四位數？

生：5687，數字之和是26，26不是3 的倍數。

師：這個數是不是3 的倍數？

生：不是。

師：誰來稍微地改動一下，這個數就是3 的倍數了。

生：5697，數字之和是27，是3 的倍數。

（組織學生用計算器來驗證）

師：我們舉了一位數、兩位數、三位數、四位數的例子，到目前為止，我們還沒有找到反例。大家可能得出什么樣的結論呢？

生：個位、十位、百位、千位上數字的和是3 的倍數，也就是各個數位上的數字之和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數。

【設計意圖：引導學生充分觀察百數表中3 的倍數，歸納出3的倍數特征，然后分別舉三位數、四位數的例子來進行驗證，促進學生觀察能力與歸納能力的提高，提升數學素養。】

4.證明規律，深化新知。

師：對比3 的倍數的特征與2、5 的倍數特征，你們有什么問題嗎？

生：為什么3 的倍數不能只看個位，要看數位上的數字之和是否是3 的倍數呢？

師：為什么3 的倍數特征要看各個位上的數字之和？誰來看圖說一說，判斷45 是不是3 的倍數，要看它的各個數位上的數字之和呢？小組討論一下。

學生小組討論后匯報：十位上的每一個10 除以3 以后余1，共余4，再加上個位上的5 一共是9，9 是3 的倍數，因此45 是3的倍數。

師：誰來看圖說一說，判斷123 是不是3 的倍數，只看個位行不行呢？要用1＋2＋3=6，6 是3 的倍數，才能說明這個數是3 的倍數嗎？小組討論一下。

學生小組討論后匯報：百位上的100 除以3 以后余1，十位上的20 除以3 以后余2，再加上個位的3，一共是6，6 是3 的倍數，因此123 是3 的倍數。

師：判斷123 這個數是不是3 的倍數，這里1 指100，但是當用1 去加的時候，還指的是1 嗎？指的是什么呢？

生：指的是去掉99 以后剩下來的數。

師：用十位上的2 加的時候，這個2 指的是什么呢？

生：這個2 指的20 除以3 以后余下的2。

師：這就是為什么判斷3 的倍數要看各個數位上數字之和的原因。

【設計意圖：3 的倍數為什么有這樣的規律是本節課深度學習的核心內容，延續2、5 倍數特征的證明方法，引導學生從數形結合的方式思考問題，學生基本能結合方格圖說明為什么要用各數位上的數字加在一起，從數學證明的角度來看似乎不夠嚴謹，但這就是兒童數學與抽象數學之間的區別，學生能通過形象的方式觸摸到數學的本質，達到“非嚴謹”的直觀理解。】

三、鞏固規律，拓展延伸

1.及時鞏固，劣實基礎。

（做“練一練”第1 題與第2題）

師：在29、45、51、67、86、96中，哪些是3 的倍數呢？

（組織學生把3 的倍數圈出來）

2.你能很快說出哪幾題的得數沒有余數嗎？

48÷3 56÷3 342÷3 567÷3 802÷3

提問：除數是3，得數沒有余數是什么意思？

引導學生得出3 的倍數，除以3 沒有余數；不是3 的倍數，除以3 就有余數。

3.同學們報名疊羅漢表演，現已有73 人報名參加了，如果三人一組，這73 人能不能都參加表演？至少再有幾人報名，就都可以參加表演了？

4.從0、5、6、7 中選出三個數字，組成是3 的倍數的三位數，你能組成多少個？在這些數中哪些是2、3 的倍數？哪些是3、5 的倍數？哪些是2、3、5 的倍數？

提問：756 是2 的倍數，也是3 的倍數，如果改變一下數字的順序，還是2 的倍數嗎？還是3 的倍數嗎？這說明了什么？

生：改動數位上數字的順序不會影響它是3 的倍數。

5.在每個□里填一個數字，使組成的數是3 的倍數。你是怎樣填的呢？有幾種填法？

7□ □12 20□ 3□5

師：由72、75、78 你找到了一個什么規律呢？

生：確定第一個數字以后，只要依次增加3 就可以了。

6.優化拓展。

師：如果判斷137 是不是3的倍數，還要用1+3+7 嗎？

生：不需要了，因為十位是30，已經是3 的倍數了。

師：如果3 放在百位上呢？是317 呢？還要不要考慮呢？

師：是否一定要把所有數位上的數字加在一起呢？

生：這個3 放在十位、百位或者個位，它所代表的數一定是3的倍數，不需要把所有數位上的數字加在一起。

師：請大家判斷96305363967、653 是不是3 的倍數。

生：96305363967 中 只要 看數字“5 和7”就行了。

生：653 中數字6 與3 已經是3 的倍數，只要看5 就行了。

【設計意圖：通過層次練習使學生鞏固了3 的倍數的判斷方法，再次結合方格圖引起學生思考如果一個數位上的數字所代表的數已經是3 的倍數，判斷時不需要進行相加，優化了3 的倍數的判斷方法，使學生更進一步理解了3 的倍數的特征。】

四、歸納概括、梳理總結

師：這節課你有哪些收獲？這些收獲是怎樣獲得的？

（學生回答略）

【課后反思：關于“3 的倍數”，蘇教版教材是這樣編排的：先是利用百數表，學生圈出3 的倍數，然后組織學生觀察3 的倍數，發現這些3 的倍數的個位從0 到9 各種情況都有，個位上的數字沒有規律，然后利用計數器撥出3 的倍數，引導學生發現各個數位上的珠子加在一起是3 的倍數。但是這樣做沒有使百數表得到充分地利用，其實通過觀察百數表上圈出的3 的倍數，就可以非常自然地發現十位與個位上的數字之和是3 的倍數。如果再引入計數器，就顯得有些突兀，多此一舉了。充分利用百數表，組織學生觀察，學生是能夠探索出3的倍數特征的。學生在得出3 的倍數特征后會提出這樣一個問題：為什么2、5 的倍數要用個位來判斷，而3 的倍數則要用各個數位上的數字之和來判斷。如果僅僅用例子歸納出來去說明“本就如此”，對學生來講就失去了一次探究知識本質的機會。如果從數的組成來講，在這節課中教師利用數形結合來說明其中的道理，并且與2、5 的倍數特征的算理溝通聯系，有利于學生對于新知的深度把握，完成知識系統的構建。】