嘗試與猜測
———《雞兔同籠》教學思考與實踐

甘衛星

【課前思考】

一、教材本質——“假設、驗證法”

教材是先呈現“雞兔同籠”的歷史原題，再將原題改成數據較小的例題，最后引導學生填表解決問題。通過自主探究、合作交流，讓學生經歷列表舉例方法，引領學生經歷從假設驗證到有序列表再到一次調整的過程，明確數量關系。特級教師牛獻禮在《溝通聯系 突出思想——“雞兔同籠”教學實踐與思考》一文中寫道：溝通多種方法之間的內在聯系，揭示其本質上都是“假設—比較—調整”的思維方式。

二、設計本質——“假設、調整法”

學生對此題數學本質的理解幾乎是零起點，不同嘗試方法本質上是一致的，每一種方法都是“假設—比較—調換”這樣一種循環往復的思維過程，是假設法的不同表現形式。因此，本節課的設計以溝通逐一嘗試、跳躍嘗試、一次嘗試等不同的列舉方法之間的內在聯系，滲透假設思想的本質，聚焦嘗試假設法。

【教學過程】

一、揭題引入，明確基本信息

師：同學們請看屏幕，今天我們來研究雞兔同籠問題，知道雞兔同籠的意思嗎？

師：雞兔同籠是一種數學問題，早在1500年前我國數學著作《孫子算經》中記載這樣的趣題：雞兔同籠，有9 個頭，26 條腿。雞兔各有幾只？

（板書：雞頭+兔頭=9 雞腿+兔腿=26）

師：你讀懂哪些信息？猜一猜這個籠子里可能有幾只雞？有幾只兔？

預設：2 只雞，7 只兔。

師：誰有不同的意見？

師：在碰到新問題時可以用猜測的方法來嘗試解決問題。

（板書：嘗試 猜測）

師：學習有趣的推理一課時我們用什么方法進行有序記錄？

生：表格式。

【設計意圖：通過談話，理清已知信息以及隱藏信息之間的基本數量關系，為后續的假設、嘗試、驗證奠定基礎。】

二、初識“假設—比較—調整”，理解“雞兔互換”的規律

1.出示問題：雞兔同籠，有9個頭，26 條腿。雞兔各有幾只？

2.借助表格整理解題過程。

（1）學生獨立完成。

（2）學生上臺填寫發現的內容。

3.反饋學生作業。

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）9 1 8 34 9 2 7 32 9 3 6 30 9 4 5 28 9 5 4 26

4.對比發現規律。

師：腿的條數是怎樣變化的？誰的只數變化會使腿數減少？

小結板書：雞增加1 只，兔減少1 只，腿數就會減少2 條。

師：通過剛才的學習，你對嘗試有什么認識？

師：剛才我們用列表舉例的方法來解決雞兔同籠的問題，發現了雞兔同籠問題的規律，只要按照這樣的方法和步驟，不管頭數和腿數是多少都能找到答案嗎？

【設計意圖：此環節的設計，尊重學生已有的知識經驗，既有獨立思考，又有合作交流，充分發揮學生的自主能動性。例題從簡單入手，化難為易，發現規律。在解決問題的過程中發現表格的用處，在表格中發現規律。讓學生感悟到1 只雞與1 只兔進行交換，腳的總數量會相差2，并直觀理解“相差2”是怎么發生的。通過與實際腳數比較，逐步調整，直至調整到正確答案。這整個過程，便是“假設—比較—調整”的循環往復的過程。】

三、運用“假設—比較—調整”，加深對嘗試法的理解

1．出示歷史名題：《孫子算經》中有這樣一道趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

師：我們能用剛才的方法解決這道題嗎？

2．學生獨立完成，小組交流。

3.反饋學生的方法，明確調整的方向。

（1）逐一嘗試。

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 34 1 72 35 33 2 74…… …… …… ……35 24 11 92 35 23 12 94

師：從1 雞34 兔（或1 兔34雞）開始，逐一檢驗排除，“地毯式搜索”直至找到正確結果為止。

（2）跳躍的嘗試（出示兩張）。

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 34 1 70 35 33 2 74 35 31 4 78 35 29 6 82 35 27 8 86 35 23 12 94 35 22 13 96

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 1 34 138 35 5 30 130 35 10 25 120 35 15 20 110 35 23 12 94 35 25 12 90

（學生解釋自己的嘗試過程）

師：從1 雞34 兔（或1 兔34雞）開始，跳過幾個嘗試；或直接折半（從17 雞18 兔）開始試；或者經過幾輪嘗試直接跳到正確的結果。

（比較兩張表格，重點說明第一次假設好后，通過比較，該往哪個方向調整）

（3）一次的嘗試。

（學生解釋自己嘗試的過程）

師：腿多了2 只，應該如何調整？

生：將1 只兔換成1 只雞，腿就少2 條，一共多了44 條腿，那就要交換22 只。

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 1 34 138 35 23 12 94

生：將1 只兔換成1 只雞，腿就少2 條，一共多了4 條腿，那就要交換2 只。

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 25 10 90 35 23 12 94

生：將1 只雞換成1 只兔，腿就多2 條，一共少了8 條腿，那就要交換4 只。

頭數 雞（只） 兔（只） 腿（條）35 27 8 86 35 23 12 94

【設計意圖：在這個環節，比較各種列表解決數學問題的方法，分析異同，找出優勢，幫助學生找到解決雞兔同籠問題的基本方法。重點放在假設好以后再進行比較、再如何調整的教學上，從任意假設，一只一只進行調整，到后來跳躍式調整，再到后面一次性調整到位，從思維低層次水平逐步到高層次水平，循序漸進，逐步理解如何假設、如何調整。通過列表“假設—比較—調整”，讓學生經歷假設的全過程，發現這種規律為進一步抽象成算式表征提供感性的經驗。】

四、多層次練習，鞏固嘗試法

1．快速反應。

（1）一個籠子里有雞和兔共35 只，它們的腳一共有130 只，雞和兔各有幾只？

（2）一個籠子里有雞和兔共35 只，它們的腳一共有80 只，雞和兔各有幾只？

2．過關練習。

有龜和鶴共40 只，龜的腿和鶴的腿共有112 條。龜和鶴各有多少只？

（1）理解題意。

（2）請學生獨立解決。

（3）重點說清怎么想的，說清楚假設的整個過程。

（4）介紹：日本的“龜鶴算”問題就是從我國的“雞兔同籠”問題演變來的。

3．拓展提升。

師：我們一直都在研究籠里的雞和兔，它們可被我們逼急了，去了趟花果山，學會了十二般變化，藏在下面三個場景中，你們還能找到它們嗎？

春游：要參加春游，媽媽給了我20 張人民幣，告訴我一共是175元，其中只有5 元和10 元的兩種，你知道5 元和10 元各多少張嗎？

投籃：一名籃球運動員在一場比賽中一共投中9 個球，有2分球，也有3 分球，這名運動員一共得了21 分，他投中2 分球和3分球各多少個？

下棋：學校有象棋、跳棋，共26 副，恰好供120 個學生同時活動，象棋2 人下一副，跳棋6 人一副，那么象棋和跳棋各幾副？

4.小結。

師：這里的雞不僅僅是雞，兔也不僅僅是兔，“雞兔同籠”只是這類問題的一個統稱。生活中有許多類似“雞兔同籠”的問題，也能用今天學習的方法去解決。

【設計意圖：通過三個層次的練習，旨在鞏固學生對本課核心方法“假設—比較—調整”的理解和掌握。鞏固解決雞兔同籠問題的解題方法——列表法，培養學生運用所學知識解決實際問題的能力。讓學生明白解決的方法都是假設法，并提煉出簡單的問題模型。把模型演繹到各種生活現象和問題情境中，促進模型的進一步內化。】