筆算除法為什么不從個位算起
———《筆算除法》起始課教學的實踐與思考

林 霞 陳珍珍

《筆算除法》是小學計算教學中特別重要的知識，也是一個老大難的問題。以前，老師們都把筆算當作計算的一項技能來訓練，認為筆算沒有思維含量。近幾年，隨著“算理比算法更重要”理念的不斷深入，我們開始追究“規定性知識”背后的原因。在新理念影響下，我們進行了一次筆算除法教學的大膽嘗試。

人教版三年級下冊開始系統學習除數是一位數的筆算除法，教材在二年級下冊已經安排過表內除法豎式的學習，但差不多隔了一個學年，相信學生已經把除法豎式忘得差不多了。為此，教材也在教學本內容之前安排了一道筆算復習題（如圖1）。

圖1

圖2

看著長相和其他豎式如此不同的除法豎式，不禁想起了俞正強老師教學表內除法豎式的起始課，俞老師把“為什么除法豎式是這樣（圖2 的B），而不是這樣（圖2 的A）”作為筆算教學的突破口，讓學生感受“數學規定是講道理的”。那么，今天這節課又有什么地方可以突破，有什么道理可講呢？本文試著運用蔡金法教授團隊的分析框架，運用數學分析、認知分析和教學分析三個方面分析筆算除法起始課的教學。

一、數學分析

筆算除法教學主要分為三個階段：一是“表內除法豎式”，首次接觸除法豎式；二是“除數是一位數除法”，真正進入除法豎式理解性學習階段；三是“除數是兩位數的除法”，屬于除法豎式的完善階段。現行人教版教材分別安排在二下、三下和四上來學習。分析教材我們發現，二下首次安排筆算除法，主要是認識除法豎式的書寫格式以及每一部分的名稱，運用“表內除法”的口算能力直接試商，商是一位數，除法豎式也只有一層。三下的筆算除法是安排在“除數是一位數除法”這一單元，起始課教學的兩個例題商均為兩位數，豎式要寫成兩層。例1 教學“首位能整除”的42÷2，例2 教學“首位不能整除”的52÷2。教材借助直觀操作幫助學生理解除法豎式每個步驟的意義和作用，進而領悟到除法豎式的計算方法。

除法豎式與加、減、乘三種豎式不僅在書寫形式上差別較大，在計算順序上更是完全相反。教學加、減、乘豎式時，一直強調要從個位算起比較方便，而在除法豎式計算時，卻強調從高位算起比較方便，這一任務需要在三下教學“筆算除法”起始課中解決。對于例1“首位能整除”的42÷2 來說，從十位算起和從個位算起在簡便程度上看是沒有區別的，只有到例2“首位不能整除”的52÷2，從十位算起要比從個位算起更加簡便。

二、認知分析

對于兩位數除以一位數的筆算除法，三下學生的思維是怎么樣的呢？我們想到了通過“前測、訪談”加以了解。為了掃除障礙，引發學生用豎式解決問題，在前測中安排了“表內除法除式”的復習，幫助學生回憶除法除式的書寫格式、各個部分的名稱和每一個數表示的意義。

前測在非正式上課的班級（48 人）進行，呈現“把52 個羽毛球平均分給兩個班”的情境，讓學生寫出計算的思考過程，要求盡可能用多種方法解決。

學生的原有認知是怎么樣的呢？分析測試結果發現，采用畫圖法的有18 人，占測試總人數的37.5%；用列橫式分步口算法的有35 人，約占72.9%；用文字表達分法的4 人，約占8.3%；選用豎式計算的學生只有7 人，約占14.6%；僅有2 人用標準豎式正確表達。從擦拭痕跡來看，部分學生嘗試過豎式計算，但沒有成功。

在分步口算法的35 個學生中，我們又進行了統計，發現把52 分成50 和2 是學生最直接的方法，僅有2 人是把52 分成40 和12 來計算的。這和以往做加、減、乘法時把兩位數看成整十數和一位數來計算是一致的。繼續分析學生的口算方法，可以明顯地看出，學生的計算順序也是不同的，有先算個位的2÷2=1，也有先算50÷2 的，先算個位的比例更高一些。我們發現，在學生認知中，先算個位和先算十位都能解決問題，不存在大的差異。

從以上認知分析得知，學生對于筆算除法的順序的理解是一道“坎”，如何能在起始課教學中幫助學生順利跨過這道坎，享受一次講道理的數學課堂呢？

三、教學分析

通過數學和認知兩方面的分析，我們大膽地進行了以“筆算除法為什么不從個位算起”這一問題展開的教學實踐，讓教材中安排的兩個例題承載不同的教學目標。

1.記錄分物，理解兩層豎式的必要性和含義。

從前測中，我們了解到學生對除法豎式的認知停留在“表內除法”一層豎式階段，如何使學生產生從一層豎式到兩層豎式的需求，我們進行了記錄分物的活動。

教師出示42 根（4 捆2 根）小棒，要求學生平均分成2 份，讓學生口述分法。為了先感受高位算起的豎式，這個環節有兩種預設：一是第一位學生就是先分整捆的，直接開始記錄，記錄完成后再問學生有沒有不同分法；二是如果第一位學生是先分散根的，等他說完分法后緊接著問其他學生有沒有不同分法，等兩種分法都表達完后，教師提議先記錄第二位同學的分法。操作步驟如下：

（1）嘗試記錄分小棒過程。

教師分小棒，學生用豎式記錄42÷2（從高位開始）。

首先，教師把4 捆小棒平均分成2 份，邊分邊說：先把4 捆小棒平均分成2 份，每份2 捆，4 捆小棒剛好分完。

接著，教師把2 根小棒平均分成2 份，邊分邊說：再把2 根小棒平均分成2 份，每份1 根，2 根小棒剛好分完。

（2）反饋交流。

先由學生說說自己記錄下來的豎式所表達的含義。接著教師拋出問題：上面兩個豎式，哪一個豎式更能體現出剛才分小棒的過程呢？學生表達自己的想法。

有學生表示兩層的豎式更好，因為剛才老師是分兩次分小棒的，寫成兩層更清楚。

（3）再次記錄42÷2（從個位開始）。

這個步驟與前面相似，要求學生再次記錄分小棒的過程，不同的是這次是先分散根的小棒。教師為了了解更多的學生是如何記錄的，請了一位學生上展臺分小棒。

學生分2 根，每份1 根，教師配合學生分的過程說：先分散的2 根，每份1 根，正好分完。

學生再分4 捆，每份2 捆，教師配合學生分的過程說：再分整的4 捆，每份2 捆，正好分完。

（4）再次反饋。

教師引導比較這三個豎式，學生認為前面兩個豎式都寫成兩層，差不多。第三個豎式又把兩個步驟并在一起了。小棒分法變了，豎式還是和剛才一樣，這樣的豎式看不出是先分整捆還是先分散根的。

（5）得出結論。

教師把分小棒的過程分兩次呈現，每一次的記錄與表內除法豎式是相通的，學生記錄起來比較順利。這樣既分散了記錄豎式的難點，又幫助學生感受寫成兩層的必要性，也為后面記錄52÷2 做好了準備。

2.運用記錄方法，經歷并感受不同順序的豎式。

在上面的步驟中，學生通過豎式記錄了兩種不同的分法，熟悉了兩層豎式記錄兩次分小棒的操作方法。在這一環節中，希望學生經歷“十位不能整除”時兩種不同分法的記錄，感受到個位算起所帶來的麻煩，從而明白筆算除法不能從個位算起的道理。

（1）學生操作（52÷2）。

教師給每位學生準備了52 根小棒，要求學生平均分成2 份。學生操作，教師巡視，尋找兩種不同分法的學生上臺展示。

（2）反饋分法。

生1：我是先分整捆的，5 捆小棒平均分成2 份，每份2 捆還多出1 捆，把這1 捆和散的2 根合起來是12 根，再平均分成2 份，每份6 根，這樣每份分到26 根。

生2：我是先分散根的，2 根小棒平均分成2 份，每份分到1 根，再分整捆，5 捆小棒平均分成2 份，每份2 捆還多出1 捆，最后把剩下的這1 捆拆開后再分，每份分到5 根。

（3）豎式記錄（從高位開始）。

教師要求學生先回憶生1 的分法，然后按教師的分法用豎式記錄。

教師邊分邊說：先分整捆，把5 捆小棒平均分成2 份，每份最多分到2 捆，分了4 捆，還剩下1 捆。

教師繼續分小棒，邊分邊說：接著把剩下的1 捆和散的2 根合起來是12 根，12 根小棒，平均分成2份，每份6 根，分了12 根，小棒正好分完。開始記錄！

（4）反饋辨析。

教師引導學生說說對上面兩種豎式的看法。學生認為右邊這個豎式有問題，50 除以2 余數10，余數是不能比除數大的，也有學生表示寫成兩個豎式麻煩，一致認同左邊的豎式。

（5）再次記錄（個位算起）。

學生敘述分法，教師根據學生的敘述分小棒。

生：生2 是先分散根的，把2 根小棒平均分成2份，每份分到1 根。

師：散的2 根分完了。開始記錄！

生：接著分整捆的，5 捆小棒平均分成2 份，每份最多分到2 捆。

師：這樣一共被分掉了4 捆，還剩下1 捆。開始記錄！

生：還剩下1 捆，把這1 捆拆開就是10 根，10根小棒平均分成2 份，每份分到5 根。

師：剩下的1 捆小棒也被分完了。開始記錄！

此時，部分學生表示出困難。教師讓有困難的同學和同桌討論討論，看看同伴之間能不能解決。

（6）反饋比較。

不少學生沒有完成記錄，教師找到兩張記錄完整的作品，呈現給學生看，并要求學生觀察比較，說說想法。

有學生表示看不懂，而記錄的兩個學生說：跟著老師分的節奏我只能這樣記，要不然就沒辦法了；散的小棒分了還要再分，記錄起來太麻煩了。

此時，有學生站起來說：如果從散根開始分，十位除以除數沒有余數那還沒事；如果十位除了以后還有余數，就要再分。以后數再大起來，真不知道該怎么辦了。

四、課后思考

本節課在數學分析和學生認知分析的基礎上，創造性地以“筆算除法為什么不從個位算起”這一大問題展開教學，學生的收獲是非常大的。通過例1 首位能整除的42÷2 教學，使學生經歷記錄兩種不同順序的分小棒過程，感受兩層豎式的必要性以及每一個步驟的含義，此時學生對運算順序是沒有認知沖突的，先算個位和先算十位都很順，但在例2 首位不能整除的52÷2 的教學時，學生再次記錄兩種不同順序的分小棒過程時，就對運算順序產生了沖突。在親身經歷豎式的記錄過程后，學生的感受特別深刻。暢談學習收獲時，課前認為筆算除法也和加、減、乘法一樣從個位算起的學生，就說到自己明白了要從十位算起的原因；思維能力好的學生還聯想到當數位更多時，麻煩也就更大；最讓人欣喜的是，學生還能把兩個例題結合起來總結，發現問題的本質：如果每一位都整除，兩種順序都是可以的，但如果前面有哪一位不能整除，從個位算起就會帶來麻煩。

學生的精彩就是課堂的精彩，教師放慢腳步贏得學生的精彩，是教師最大的欣慰，也是我們一線教師研究課堂教學的動力。