智慧課堂與傳統課堂“融合式”教學
———以《圓的周長》為例

賀慧杰 嚴 虹

【教學內容】

浙教版六年級第63～65 頁。

【教學過程】

一、動畫導入

師：這是2017年4月，中國天舟一號搭載長征7 號火箭升入太空的場景。請問飛船留下的軌跡是一個什么形狀？

生：圓形。

師：如果我們把飛船看成一個點，那么點動成——

生：線。

師：這條封閉曲線一周的長度就是圓的周長。你們覺得圓的周長可能和哪些要素有關呢？

生：與半徑有關。

生：與直徑有關。

【設計意圖：本環節運用中國天舟一號搭載長征7 號火箭留下的軌跡這一情境，凸顯圓是點運動后形成的軌跡，求軌跡的長度就是求圓的周長，引入本節課的學習內容，既激發學生的興趣，又讓學生感受到圓周長在生活中很常見，同時從學生已知的知識中引出圓的周長與直徑、半徑等要素。】

二、實驗測量，尋求規律

1.化曲為直。

師：圓的直徑與半徑有什么關系？

生：2 倍的關系。

師：（課件半徑消失）因此我們只要得到圓的周長和直徑有什么關系就可以知道圓和半徑的關系，我們要研究圓的周長與直徑的關系就要會測量它們的長度。

師：直徑怎么測？

生：量出最長的那條線。

生：量直徑時要過它的圓心。

生：要是圓心不好找可以用兩個三角尺的直角邊夾住圓，然后用直尺量。

師：有同學已經發現了，圓的周長是一條曲線，用直尺不能直接量出來，那該怎么辦呢？

生：我們可以在圓上做一個記號，叫做點A，用繩子在物體上繞一圈回到點A，拉直繩子，把曲邊變成了直邊，這時量出的繩子的長度就是圓的周長。（板書：繞繩法）

生：如果這個圓能滾動起來就好了，同樣在圓上找到一個點A，把點A 和直尺的0 刻度線對齊，讓圓在直尺上滾動一周，找到點A 在直尺上滾動后的刻度。這時，A 點滾動一周的長度就是圓的周長。（板書：滾圓法）

師：同學們想到了用繞繩、滾動的方法，讓曲線變成直線，我們把這種方法叫做“化曲為直”。

2.小組合作，實驗測量。

師：學會了剛才的方法，現在我們小組活動自己探究周長與直徑的關系。

任務一：

（1）多個模型（圓形物體）中任選兩個，分工合作測量圓形物體的直徑和周長。

（2）計算周長與直徑的倍數關系。

（3）組長在iPad 騰訊文檔上記錄數據。

（4）如果你們小組對測量圓的方法還是不理解，可以在2 號iPad 上求助微課。

任務二：

（1）每位同學在3、4 號iPad 上通過GeoGebra 測量直徑和周長。

（2）組長選一組測量數據記錄在iPad 騰訊文檔上。

【設計意圖：本環節設計是基于前測情況而定，本校大約有90%的學生尚不能想到如何運用化曲為直來測量圓。因此在動手測量前，先進行直徑與周長測量方法的討論，同時準備了相應微課視頻，方便學生在操作過程中遇到困難時尋求幫助；在合作探索中，學生通過測量不同的圓形物體，探索和感受周長與直徑的倍率關系；借助GeoGebra 軟件讓學生體驗圓周率更加精確測量的過程；經過兩個任務的操作，學生不僅可以更直觀地感受周長與直徑的倍率關系，而且學生會經歷一個由粗略計算圓周率到精確計算圓周率的寶貴過程。】

3.分析數據，探索規律。

師：我們利用騰訊文檔實時顯示功能把數據進行了匯總，現在請仔細觀察這些數據，你有什么發現？

生：iPad 測量的數據算出周長與直徑的比值基本都是3.14；而動手測量得到的數據有2.9、3.19、3.6、4 等等。

生：我覺得動手測量比iPad測量誤差大。動手測量繩子不容易做記號、滾圓時圓會滑動并且尺子測量不準確，iPad 測量就不需要考慮這些問題了。

師：用測量的方法，無論是曲線還是直線，永遠只能得到長度的近似值。

師：再次觀察數據，你發現圓的周長與直徑可能有什么關系？

生：我發現雖然有誤差，但圓周長與直徑的比值都是三倍多。

師：你觀察得真仔細，我們把圓的周長與直徑這三倍多的關系叫做圓周率。

（板書：周長÷直徑=圓周率）

師：現在請同學們通過GeoGebra 變換各種大小的圓，體驗直徑與周長三倍多的關系。

4.反思總結，引發困惑。

師：小結我們測量得到的數據，由于誤差的影響不夠精確。你認為圓的周長與直徑之間三倍多一些的關系是變化的還是確定不變的？我們該如何研究呢？

生：肯定是變化的，我們算出了這么多種比值。

生：可能是確定不變的。

師：圓周率的發展和我們剛剛經歷的從動手測量到iPad 精確的測量一樣，它也經歷了從粗略到精確的一個過程。

5.介紹圓周率歷史，引出割圓術。

師：早在2000 多年前我國古書《周髀算經》就記載了“徑一周三”，你們知道“徑一周三”什么意思嗎？

生：如果直徑是一倍，那么周長就是三倍。

師：東漢時期的張衡計算出圓周率約為3.1622。

師：公元3 世紀時，我國著名的數學家劉徽就對圓周率進行了深入的研究，劉徽最偉大的地方，就是發明了一種計算圓周率的科學方法——叫做“割圓術”。那什么是“割圓術”呢？我們一起來了解一下吧！

【設計意圖：經過前期iPad使用，學生已經能夠熟練地操作騰訊文檔；在這樣的基礎上讓學生把數據直接匯總到一個文檔，高效省時而且容易對比分析；在iPad 上通過GeoGebra 直觀體驗不管圓的周長如何變化，直徑與周長都是三倍多的關系進而驗證我們數據分析的結果；引入圓周率歷史的介紹，并引出割圓術，旨在課堂中滲透數學文化。】

三、觀察體驗，感受極限

師：想象一下，如果一個正120 邊形，會是什么樣？

（課件依次出現下圖）

生：隨著邊數越來越多，正多邊形越來越像圓，它的周長也越來越接近圓的周長。

師：劉徽割圓術就是在固定的圓內來畫正多邊形。

（通過GeoGebra 體驗割圓術）

師：認真觀察，正六邊形的周長與圓的周長誤差明顯嗎？

生：誤差很明顯，一眼就看出來了。

師：正十二邊形呢？它的周長與圓的周長誤差明顯嗎？正二十四邊形呢？正四十八邊形呢？

生：肉眼已經觀察不出來了。

師：正280 邊形呢？正1580邊形呢？想象一下，這樣一直割下去，割到無窮盡會是怎樣？

生：越來越像圓。

師：這就是極限的思想。

師：你們在割圓的過程中還發現了什么？

生：正多邊形的周長與圓的直徑的比值逐漸變成3.14156。

師：就是用這樣的方法，劉徽算出了圓周率為3.140124；祖沖之精確地計算出了圓周率在3.1415926 和3.1415927 之間，是世界上第一個把圓周率的值精確計算到7 位小數的人。這一成就比國外大約要早1000 多年呢。

師：隨著科學技術的發展，人們發現圓的周長和直徑的比值圓周率是一個固定的無限不循環小數，用希臘字π 來表示。（板書：

【設計意圖：在這個環節中主要引導學生在體會極限思想的同時可以親自動手感知割圓術的奧妙，間接體會科學的計算圓周率方法比動手測量要更精確。】

四、應用與練習

通過UMU 學習平臺完成練習。

第一層：基礎練習。

已知圓形菜地的直徑是3米，它一周的籬笆有多長？

A.4.71 B.9.42 C.9.40

第二層：提高練習。

（1） 一個圓形木桌周長是31.4 分米，它的直徑是多少分米？半徑是多少分米？

A.直徑12 分米，半徑6 分米B.直徑15 分米，半徑7.5 分米C.直徑10 分米，半徑5 分米

（2）一個半圓面，半徑為r，它的周長是（ ）。

B.πr＋2r

C.πr＋r

第三層：能力練習。

一塊圓形菜地的周長是15.7米。如果半徑加長3 米，這時菜地的周長是多少？

【設計意圖：這一環節主要借助UMU 學習互助平臺來更好地實現分層教學；學生可以在平臺、微課與練習紙的結合下，達到掌握基礎知識且每個學生在思維能力方面都有不同程度的發展。】

【評析】

對《圓的周長》這節課，浙教版教材設置了測量、探究周長與直徑關系的活動，強調由學生親歷發現的過程，積累數學活動的經驗；且“數學百花園”欄目特別詳盡地介紹了π 的計算史，不僅在于介紹一段歷史，激發積極的情感體驗，更有利于學生理解周長計算公式的含義。

賀老師利用自己技術方面的特長，將教材的設想發揚光大，實現了技術與學科的深度融合。

1.技術引領學習走向深度。

課始以“中國天舟一號搭載長征7 號火箭”的視頻引入，課中借助GeoGebra 軟件進行圓周長和直徑的測量，課末運用UMU互動學習平臺進行自主學習，信息媒介充實在課堂的每一個環節。整節課學生興致盎然，思維不斷走向縱深處。尤其課中，學生在經歷“圓周長與直徑到底有怎樣的關系？”這一探索過程時，他們經歷了動手測量（發現存在誤差）和在iPad 上借助GeoGebra 軟件測量（發現十分精確）相結合的方式，真正體驗了圓周率的研究由粗略到精確的過程，理解圓周率的意義，并在此基礎上較好地掌握圓周長的計算方法。

2.改變學生信息記錄的方式。

在學生小組合作動手操作，探究圓周長與直徑關系時，賀老師改變了以往利用紙筆記錄數據的形式，而是利用騰訊文檔在iPad 上進行記錄。這樣的優勢在于學生輸入的測量數據，同步傳輸到教室主屏中，各個小組的數據不再需要測量后再來進行匯總，而在學生邊測量邊記錄的過程中實時生成，方便快捷。同時，因為數據都在主屏中清晰地呈現出來，一目了然，既便于比較，又便于師生互動交流，顯然移動終端改變了學生信息記錄的方式，極大地提高了課堂效率和互動交流的方式。

3.讓個別化學習成為可能。

這節課的練習環節，賀老師借助UMU 互動學習平臺和微課的嵌入，讓學生個別化學習成為可能。教師將本課練習設計成三個不同層次，學生利用學習平臺自主完成練習，自主診斷；每個層次練習都配有相應的微課，當學生在這一層次的練習出現錯誤時，可選擇相應的微課輔助學習，分析自己錯在哪里？微課學習后學生需選擇與這一層次相匹配的補充練習再次進行完成。同時，教師通過學習平臺后臺數據及時了解每個學生的答題情況，并根據答題情況進行個別化教學。這樣借助技術與教師適時點撥相結合的教學，真正促進了學生學習的個性化、個別化，每個學生在數學課上學習進度不同，發展程度不同。