數學定理的重要性及其應用

黃欽

【摘要】勾股定理理論通俗易懂，但它也有著非常悠久的歷史，在我國有關勾股定理的公式記載追溯到周朝時期。本文以勾股定理為主要研究對象，闡述其歷史發展，分析它在數學中的應用，證實它對數學學習的重要性。

【關鍵詞】勾股定理 數學應用 重要性

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）04-0233-02

引言

勾股定理（Pythagoras Theorem）是數學界的重要內容，作為一個基本的幾何定理，在中學數學學習中是非常常見的知識點。它用來解決直角三角形三邊長度問題——直角三角形的兩條直角邊的平方和相加等于其斜邊的平方數。用公式表示為：a2+b2=c2，如右圖所示：

至于叫“勾股”定理的原因，是在我國古代把直角三角形稱作勾股形，對其三邊有固定的名稱，直角邊中較短的一邊稱為勾，較長的稱股，斜邊稱弦。

據黃家禮編著的幾何內容得知，目前，勾股定理有近500種證明方式。不僅是數學中擁有最多證明方法的定理之一，而且是人類早期就發現并加以證明的定理之一。

一、勾股定理的歷史發展

（一）國內的歷史脈絡

根據《第三屆數學史與數學教育國際研討會論文集》中王西辭和王耀楊對“勾股定理及其相關歷史發展”研究中表明，我國歷史上有關勾股定理的討論和證明就有相當多的記載。例如，劉徽所注的我國數學經典《九章算術》里的勾股章節中，將勾股定理表述為“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”（p. 85）；又如我國中算家還利用“弦圖”和“青卷白表”圖，推算出各種數學關系，“今有戶不知高廣，竿不知長短。橫之不出四尺；從之不出二尺；邪之適出。問戶高、廣、衺各幾何？”（p. 86）。

簡單來說，我國在公元前十一世紀左右，即周朝期間，就有數學家商高提出了勾股定理，表述成我們今日常見的“勾三、股四、弦五”。尤其據《周髀算經》記載，商高原話為，“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五”，意思是直角三角形三邊關系為：直角短邊為3，長邊為4時，斜邊則為5。故后人也將勾股定理稱為商高定理。

后來，三國時期的趙爽對勾股定理進一步注釋，而且給出了勾股定理的證明方法。據李明凱研究，后期的劉徽所注的《九章算術》中，也給出了勾股定理的詳細證明。直至清朝末期，著名數學家華蘅芳對勾股定理頗有研究，證明方法超過20種。

（二）國外的發展狀況

同樣地，勾股定理在國外也有相當長的歷史。大約在公元前三千年時，古巴比倫人就已經知道并開始應用勾股定理，除此之外，他們還對勾股數組有一定的研究。李明凱研究發現，在美國哥倫比亞大學的圖書館中就珍藏著一塊古巴比倫泥板，編號為“普林頓322”，記載了不少的勾股數。除了古巴比倫人，古埃及人也對勾股定理有所研究。譬如，他們在金字塔的設計和建筑過程中，還有在尼羅河水災泛濫的時候需要測量土地時，都曾運用過勾股定理（p. 33）。

同時，古希臘也對勾股定理有重要研究。在西方公元前六世紀左右，希臘知名的數學家畢達哥拉斯發明了他的勾股定理證法，西方人也傾向于把勾股定理稱為畢達哥拉斯定理。后來，在古希臘數學家歐幾里得的著作《幾何原本》中，就對勾股定理提出了演繹證明的方式。19世紀時，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發表了他對勾股定理的一個證法，這個證法被廣泛采用，被稱為加菲爾德證法。

但是王陽在中國社會科學報中表示，“西方學者一直使用畢達哥拉斯定理的說法，少有勾股定理的用法”。雖然中西方對于勾股定理的認識和證明思路各有千秋，但都值得肯定和認可。

二、勾股定理的證法

（一）勾股定理的中方證法

中國對勾股定理的認識與“勾三股四弦五”有重要關聯，這里簡單介紹一下勾股定理在中國國內的證法——劉徽的“青朱出入圖”。

我國數學家用直觀圖形的方式進行論證，劉徽所注的“青朱出入圖”，利用“割補術”的數形關系加以論證幾何問題。該圖被表述為“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也”。意思是任意的直角三角形，把勾寬當紅色正方形（朱方）的邊長，把股長當青色正方形（青方）的邊長，把這兩個正方形對齊底邊進行排列，不用分割線，以盈補虛，那么合成弦的正方形（弦方）開方的數就是弦長。

（二）勾股定理的西方證法

由此，可以看出，雖然中西方對于勾股定理的論證各有不同，但是都是將數字和圖形相結合，有理有據，讓勾股定理成為數學界的重要內容，而且在實際數學問題中有重要應用。

三、勾股定理的重要性

勾股定理看似簡單，卻吸引了無數的數學家和研究者，甚至是平民百姓對它加以研究和論證。距今，關于勾股定理的證法已經發展了大約500種，這是世界上都非常難得的事情。也從側面證實了勾股定理的重要意義，不僅是對數學發展，而且對生活實際都有很高的價值。

首先，它對數學思維的發展產生了深刻影響。它的論證過程通常是數字和圖形的結合過程，將抽象的思維轉換成實際的圖形操作，把數字和圖像緊密而且有機地結合在一起，對數形結合的數學發展有不可估量的作用。

其次，它具有廣泛的應用性，生活中關于直角三角形的問題，或者相關定理的變式應用都有著重要意義。例如勾股定理是余弦定理中的一種，對勾股定理的使用和論證能進一步推導和論證其他相關的真命題和定理，方便了對生活中幾何問題的解決。

四、勾股定理的推廣

（一）二維推廣

根據勾股定理的解釋和論證，可以得出勾股定理的逆定理，用數學語言表示則是：如果三角形三邊長分別為a，b，c，而且滿足條件a2+b2=c2，那么可以得出這個三角形為直角三角形。運用勾股定理的逆定理可以判斷三角形的類型（直角、鈍角或銳角三角形）。

除了逆定理的推廣，還有勾股定理的推廣定理，這點在歐幾里得的《幾何原本》中有重要體現，李明凱把這點表述成“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。根據這個推廣定理可以用來計算線段的長度問題。在生活中也能利用勾股定理對直角三角形的三邊數字關系進行套公式計算。

（二）三維推廣

通過勾股定理對直角三角形的分析和理解，將二維平面中線的關系，推廣到三維空間中面的關系。肖敏就對三維空間中的直角四面體的面積關系進行論證，這里只對特殊情況的證明過程加以記錄，對一般情況的直四面體論證可以參看《勾股定理的三維推廣》。特殊情況論證如下：

由此，可以大膽的假設，三維空間中根據勾股定理的推廣會有另一個定式：“直四面體的側面面積的平方和等于其底面面積的平方”。

五、勾股定理的應用

除了推廣公式和定理，勾股定理在數學解題中也有重要應用，可以幫助解決中學數學中的許多難題，譬如可以用來輔助解決線段長度問題和動點坐標問題，近年來成為高考中的常見題型，可以說熟練掌握了勾股定理，對考試中幾何問題的分數提高有十分重要的意義。

拿黃日坤分析勾股定理在解決線段長度的問題為例，簡單介紹勾股定理在數學解題中的實際應用，直觀感受勾股定理的魅力和實用性。

由此可以看出，勾股定理在數學中有極為重要的應用，一個定理能有效幫助解決相關數學難題，更注意到數學思維培養和數學與圖形結合和轉換的重要性。

六、總結

綜上所述，勾股定理在中西方發展都具有非常悠久的歷史，譬如中國的《九章算術》和西方的《幾何原本》都對該定理做了詳細的介紹和論證。定理內容簡單，直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方，但有著非常實際的用途。不僅能在二維平面推廣逆定理和推廣定理，還能在三維空間進行直四面體的面積和推廣，在數學解題中更是發揮重要的輔助作用。總而言之，勾股定理對數學發展和實際應用有著重要意義，未來還將繼續發揮作用，為數學發展做出貢獻。

參考文獻：

[1]李明凱.千年第一定理——勾股定理[J].亞太教育，2015（07）：33.

[2]葉建忠.青朱出入圖[J].教育教學論壇，2010（5）：112-113.

[3]肖敏.勾股定理的三維推廣[J].教育教學論壇，2014（12）：236-237.