“一圖多變”證“全等”

王炳奎

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）05-0141-01

證明兩個三角形全等是學習幾何證明的基礎，初步培養學生的推理論證能力，提高解決問題的能力。所以，作為一名教師，在傳授知識的同時，通過“一圖多變”證“全等”的教學，激發學生的學習興趣，培養學生的論證能力，發展學生的求異思維能力。下面以一個十分熟悉的基本圖形為例：

基本圖形：如圖1，B，C，E在一條直線上，△ABC，△CDE都是等邊三角形。求證：AE=BD。

分析：本題關鍵是把證明線段相等轉化為證明全等三角形。在復雜的圖形中，通過仔細觀察找出兩個全等三角形：△ACE，△BCD.根據等邊三角形的性質：三邊相等，三角都是60°等知識，可證明△ACE≌△BCD，得到AE=BD。

本題主要考查等邊三角形的性質及全等三角形的判定方法。

證明：∵ △ABC，△CDE都是等邊三角形

∴ AC=BC

CE=CD

∠ACB=∠DCE=60°

∴ ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

即∠BCD=∠ACE

∴△ACE≌△BCD

∴AE=BD.

變式圖形：若B，C，E不在一條直線上，其余條件不變的情況下，如圖2，AE和BD還會相等嗎？并說明理由。

分析：在復雜的圖形中，通過仔細觀察，不難發現還是有基本圖形：△ACE≌△BCD，從而得到AE=BD。

拓展變式：若將圖1中的兩個等邊三角形演變為兩個正方形：如圖3，四邊形ABCD，四邊形CEFG都是正方形。求證：BG=DE。

分析：雖然兩個等邊三角形演變成兩個正方形，那么根據正方形的性質：四條邊都相等，四個角都是直角，很容易證明基本圖形：△BCG≌△DCE.體現“變換中尋求不變”的思維方式。

變式圖形：如圖4，若B，C，E不在一條直線上，其余條件不變，BG和DE還會相等嗎？并說明理由。

分析：通過對上面三種情況的分析解答，歸納出了共同的解題規律：尋找基本圖形，即兩個全等三角形.所以，本題同樣是證明△BCG≌△DCE，得到BG=DE。

深度探究：通過對圖4的學習，一些學生還發現：BG和DE還存在著特殊的位置關系，即BG⊥DE。

感悟提升：本節課，在知識上，讓學生掌握等邊三角形和正方形的性質，全等三角形的判定方法，并學會運用。在方法上，通過引導、探究等課堂活動，讓學生發現一些解題規律，有效地促進學生的知識建構。在思維能力上，讓學生經歷由特殊到一般的過程，體驗“變中挖掘不變”的思維本質。

總之，通過進行有效的變式教學，注重多樣性，有助于學生將知識融會貫通，挖掘出一些重要的解題規律，提升學習數學的能力.讓學生感悟數學的本質，提高學習效率，鞏固所學知識，實現習題的數學價值，形成和發展數學素養。