基于序列相關和小波變換的加速度計信號降噪?

董雅雯，王建林，魏青軒，邱科鵬，趙利強

(北京化工大學信息科學與技術學院，北京100029)

加速度計是用于測量載體運動加速度的傳感器，被廣泛應用于航空航天、建筑、工業自動化等領域。有效濾除加速度計信號中的噪聲，對提高速度計信號分析精度有重要作用。

加速度計比較法沖擊激勵校準是獲取加速度計輸出信號的常用實驗方法，由于沖擊激勵具有持續時間短、頻率范圍寬等特點，使得沖擊加速度計信號降噪較為困難。

傳統的基于非遞歸型濾波器FIR(Finite Impulse Response Filter)的信號降噪是利用快速傅里葉變換獲得信號的頻譜，通過構建高通、低通或帶通濾波器的方法對信號進行降噪，雖然原理簡單，但難以有效降低寬頻帶非平穩信號中的噪聲。

經驗模態分解EMD(Empirical Mode Decomposition)[1]是一種自適應信號時頻處理方法，適合處理非線性、非平穩信號[2－3]。基于EMD的信號降噪方法主要包括直接重構法和閾值降噪法兩類[4]。直接重構法是通過去除含噪信號的高頻固有模態函數IMF(Intrinsic ModeFunction)，直接對剩余IMF和余項進行重構的方法實現降噪，屬于強制去噪[4]；閾值降噪法通常是將各IMF與閾值進行比較，將IMF中大于閾值的部分保留，并將小于閾值的部分置零的方法實現信號降噪[5]。上述基于EMD的信號降噪方法雖然利用了EMD自適應分解的優點，但EMD分解精度受端點效應、模態混疊等影響較大，使其應用受到局限。

基于小波變換的信號降噪方法利用了小波變換[6]的良好的時頻多分辨性特點[7－9]，能夠獲得比基于EMD的信號降噪方法更好的降噪效果。基于小波變換的信號降噪方法主要有模極大值降噪[10]、尺度相關性降噪[11]和閾值降噪[12]等方法。模極大值法降噪時，容易產生偽極值點，對后續的降噪精度產生影響，而相關性降噪法需要估計噪聲的統計噪聲，在實際工程應用中，難以準確估計，增大了計算難度和實現難度。閾值降噪方法克服了模極大值降噪方法和相關性降噪方法的缺點，能夠避免偽極值點的產生，更好保留原始信號的特征峰值點，且無需估計噪聲統計特征，被廣泛應用于信號降噪。王維等[13]提出一種改進的小波閾值降噪算法，利用小波去相關白化檢驗自適應確定分解層數，并將該方法應用于發動機振動測試，取得了一定效果。但當信號具有顯著突變特征時，分解層數偏大，增大運算量的同時甚至會導致信噪比降低[14]，不適用于沖擊激勵下加速度計信號降噪；Lin H等[15]利用一種新的閾值函數實現小波閾值降噪，通過引入調節參數，使硬閾值函數在閾值處連續，抑制了震蕩，保留了傳統軟閾值函數連續的優點，但閾值的選取依賴單一信號，降噪效果受新引入的調節參數較大；李昕等[16]結合能量譜分析，選擇EMD分解得到的固有模態函數進行小波閾值降噪，這種采用EMD分解與小波閾值降噪方法相結合的方法[17]，雖然一定程度上能夠再次對EMD分解后的高頻IMF進行降噪，提高了降噪的精度，但其降噪效果受IMF選取和EMD分解結果影響較大。由于加速度計比較法沖擊激勵校準中，兩個加速度計的響應信號為同一沖擊激勵所產生，應用上述基于小波閾值的降噪方法對加速度計信號進行降噪，是將兩個加速度計信號作為獨立信號分別進行降噪，閾值的選取并未考慮同一激勵下不同加速度計響應信號的相關性，過分依賴單一信號，容易導致閾值過大或過小，使得被校加速度計頻率響應函數估計誤差較大，降噪精度較低。

本文針對加速度計比較法沖擊激勵校準中，噪聲對加速度計頻率響應函數估計的影響，提出一種基于序列相關和小波變換的加速度計信號降噪方法，對同一激勵下參考加速度計和被校加速度計響應信號分別進行小波變換，利用相同尺度下小波系數的互相關系數計算閾值，并應用該閾值進行降噪，實現加速度計信號降噪。

1 基于小波變換的閾值降噪方法

設含噪一維信號

式中：s(i)為含噪信號，x(i)為不含噪聲的原始信號，n(i)為高斯白噪聲，m為信號長度。傳統的基于小波變換的閾值降噪方法是對s(i)進行小波變換后，利用有用成分的小波系數絕對值比噪聲成分的小波系數大的特點[10，18]，通過設定合適的閾值，使小于閾值的小波系數為零，大于閾值的小波系數保持原值或依照閾值函數進行變換，實現去除噪聲，對經過處理的小波系數進行反變換，重構得到降噪后的信號~x(i)。

基于小波變換的閾值降噪方法的具體過程為：①信號的小波變換：選擇一個小波基和適當的分解層數，其中小波基應盡量與被處理的一維信號波形相似，將信號分解得到相應的小波系數；②信號的小波系數閾值量化：對各層分解的小波系數設定一個適當的閾值，將絕對值小于該閾值的小波系數置零，將絕對值大于該閾值的小波系數保留或作收縮處理；③小波系數的反變換：將量化后的小波系數通過小波反變換重構信號。

在傳統的基于小波變換的閾值降噪方法中，小波閾值的選取依賴于單一信號，容易導致閾值過大或過小的情況出現，過小的閾值無法有效濾除噪聲信號，反之，偏大的閾值又會導致有用信號也被濾除，對降噪效果影響較大[19]。

2 基于序列相關和小波變換的加速度計信號降噪

2.1 基于序列相關和小波變換的閾值降噪方法

在加速度計比較法沖擊激勵校準中，參考加速度計與被校加速度計的輸出信號來自同一沖擊激勵，兩個加速度計輸出信號具有較高的相關性。對加速度計輸出信號進行相同的小波分解，原信號被分解成不同頻率段的小波系數，對應的小波系數，同樣具有較高的相關性。由于噪聲和有效信號之間以及噪聲之間通常相關性非常小[20]。受噪聲影響，對應小波系數的相關性將發生改變。當小波系數中含有用信號較多、噪聲較少時，對應的小波系數的互相關性較強，互相關系數較大；反之，當小波系數中含有用信號較少、噪聲較多時，對應的小波系數的互相關性較弱，互相關系數較小。因此，可以根據對應的小波系數的相關性大小，來設置不同的閾值，提高加速度計信號的降噪效果。

給定參考加速度計與被校加速度計的響應信號分別s1(i)、s2(i)，對兩信號進行小波變換，其第j層的小波系數分別為 d1，j(k)、d2，j(k)，則其互相關系數可表示為

式中：C1，2(p)表示為 d1、d2在時滯 p下的互協方差。σ21、σ22分別為 d1、d2的方差，ˉd1、ˉd2分別為 d1、d2的均值。

當序列x1(t)和x2(t)的某層小波系數的互相關系數較大時，則此層的小波系數的相關性較大，說明其中信號的有用信息較多，可適當減小閾值，防止過多有用信息被濾除，反之，當序列x1(t)和x2(t)的某層小波系數的互相關系數較小時，兩組小波系數的相關性較小，說明有用信息較少，可適當增大閾值，濾除多余噪聲。

設第j層小波系數的初始閾值Tj，并考慮同一激勵下不同加速度計響應信號小波系數的相關性，利用互相關系數對初始閾值Tj進行改進，則改進后的閾值為

式中：α為權值系數，0＜α≤1；Tj為初始閾值，依據固定閾值原則按照式(4)計算。

由于軟閾值函數降噪時會產生恒定偏差，因此，選擇硬閾值函數作為降噪閾值函數，按照式(5)對小波系數進行處理。

當對應的小波系數的互相關系數較大時，表明其中含有的有用信息較多，式(3)中的αer2j增大，則Tn，j減小，有用信號得到更好的保留；反之，當互相關系數減小時，αer2j減小，則 Tn，j增大，噪聲得到更好的去除。然后利用式(5)對小波系數進行處理，通過硬閾值量化，得到降噪后的小波系數。

2.2 基于序列相關和小波變換的閾值降噪算法

在比較法加速度計沖擊激勵校準實驗中，假設參考加速度計、被校加速度計響應信號分別為 x1(t)、x2(t)。本文提出的基于序列相關和小波變換的加速度計信號閾值降噪算法的流程圖如圖1所示，其具體步驟如下：①對x1(t)、x2(t)分別進行n層離散小波變換，得到第 j層的細節系數 d1，j、d2，j(j＝1，2，…，n)及近似系數 a1，n、a2，n；②計算兩輸出數據序列第 i層對應的細節系數 d1，j、d2，j(j＝1，2，…，n)的互相關系數 rj；③根據固定閾值原則即式(4)計算出每層細節系數 d1，j、d2，j的初始閾值 T1，j、T2，j，根據式(3)得到新閾值 Tn1，j、Tn2，j；④根據式(5)到降噪后的小波系數；⑤將Step 4中閾值降噪后的參考加速度計和被校加速度計的輸出序列的小波系數進行小波反變換，得到降噪后的兩輸出信號序列。

圖1 基于序列相關和小波變換的加速度計信號降噪算法流程圖

3 實驗與分析

3.1 仿真實驗

利用MATLAB軟件仿真加速度計沖擊激勵與響應信號，其中，沖擊激勵信號通過四階巴特沃斯濾波器產生，截止頻率為10 kHz，采樣頻率為1 MHz，數據長度為5×104，設置仿真參考加速度計動態模型參數為 δ1＝0.006 3，ωn1＝2.775×105rad/s和 ρ1＝3.457×1010，仿真被校參考加速度計動態模型參數為 δ2＝0.004 3，ωn2＝1.644×105rad/s和 ρ2＝1.633×1010，分別對兩個加速度計的輸出信號加入信噪比為5 dB、10 dB、15 dB和20 dB的高斯白噪聲，得到含噪聲的加速度計信號，其中仿真加速度計輸入信號和含噪聲加速度計輸出信號如圖2所示。

應用本文方法對仿真參考加速度計和被校加速度計的輸出信號進行降噪，權值系數α＝0.5，并與傳統的基于小波變換的閾值降噪方法進行對比，選取去噪效果較好的小波基函數‘db3’，對信號進行6層數分解。

為了評價加速度計信號降噪效果，將信噪比SNR(Signal Noise Ratio)和頻率響應函數均方根誤差(RMSEH)作為評價指標，SNR、和RMSEH表達式分別為式(6)和(7)所示。

圖2 仿真加速度計輸入信號與含噪聲加速度計輸出信號波形圖

式中：x(i)為不含噪聲仿真加速度計輸出信號，s(i)為含噪聲仿真加速度計輸出信號，i＝1，2，…，m，m表示時域信號長度，H(ωl)是利用測量得到的加速度計輸出信號獲得的被校加速度計頻率響應函數估計，H0(ωl)為仿真被校加速度計的頻率響應函數，l＝1，2，…，L，L 表示頻率響應函數長度。

表1給出了參考加速度計和被校加速度計輸出信號降噪前后的SNR。

表1 不同SNR下加速度計輸出信號降噪結果

由表1可以看出，本文方法相較于傳統的基于小波變換的閾值降噪可以獲得更高的SNR，能夠更好的降噪。

表2給出了不同SNR條件下被校加速度計頻率響應函數估計誤差。由表2可以看出，本文方法相較于傳統的基于小波變換的閾值降噪可以減小與設定的被校加速度計的頻率響應之間的誤差。

表2 不同SNR下被校加速度計頻率響應函數估計誤差

由估計出的頻率響應曲線與模型的頻率響應曲線對比結果如圖3所示。

圖3 被校加速度計幅頻響應

由圖3可以直觀看出，本文方法優于傳統的基于小波變換的閾值降噪方法的降噪效果，幅頻曲線更加平滑，并且可以有效降低被校加速度計頻率響應中諧振頻率附近的噪聲。

3.2 加速度計比較法沖擊激勵校準

將本文方法應用于加速度計比較法沖擊激勵校準，實驗系統如圖4所示。該系統由沖擊激勵裝置、參考加速度計(型號：271A01)、被校加速度計(型號：222A02)、電荷放大器及PCIe數據采集卡等組成。參考加速度計和被校加速度計通過背靠背方式固定，并內置于沖擊激勵裝置的豎直圓管內，其上裝有鋼珠，利用鋼珠下落實現沖擊激勵。兩個加速度計輸出的電荷信號經電荷放大器轉換為電壓信號，并以1 MHz的采樣頻率同步采集。

圖4 加速度計比較法沖擊激勵校準實驗系統

圖5 加速度計比較法沖擊激勵校準加速度計輸出信號波形圖

利用上述實驗裝置獲取參考和被校加速度計輸出信號，實驗共重復十次。

其中，第5次實驗的參考和被校加速度計輸出信號如圖5所示。

應用本文方法對仿真參考加速度計和被校加速度計的輸出信號進行降噪，權值系數α＝0.5，并與傳統的基于小波變換的閾值降噪方法進行對比。其中，選取的小波基為‘db3’，分解層數為6。

為了評價加速度計信號降噪效果，將SNR[21]、RMSEH和平滑度[22－23]作為評價指標，其中，平滑度指標表示了信號的頻率響應函數的局部變異信息，其值越小，表示降噪后更接近原始信號，降噪效果越好[3]。SNR、RMSEH和平滑度表達式分別為式(8)、式(9)和式(10)所示。

式中：s(i)為加速度計輸出信號，~x(i)為降噪后的加速度計輸出信號，i＝1，2，…，m，m 表示時域信號長度，H(ωl)是利用測量得到的加速度計輸出信號獲得的被校加速度計頻率響應函數估計，~H(ωl)是由降噪信號獲得的被校加速度計頻率響應函數估計，l＝1，2，…，L，L 表示頻率響應函數長度。

表3給出了參考加速度計和被校加速度計輸出信號降噪前后的SNR。

表3 校準實驗加速度計輸出信號降噪結果

由表3可以看出，本文方法相較于傳統的基于小波變換的閾值降噪本文方法可以獲得更高的SNR，能夠更好的降噪。由表4可知，在加速度計比較法沖擊激勵校準中，本文方法能夠有效降低加速度計輸出信號中的噪聲，利用降噪后的加速度計輸出信號獲得的被校加速度計頻率響應函數具有較低的RMSEH和較高的平滑度。

表4 校準實驗被校加速度計頻率響應函數估計誤差

4 結論

本文提出了一種基于序列相關和小波變換的加速度計信號降噪方法，利用同一激勵下不同加速度計響應信號小波系數間的相關性，將互相關系數引入小波閾值降噪中，改進閾值，使閾值具有一定的自適應性。實驗證明，該方法能夠有效降低了加速度計輸出信號中的噪聲，提高了加速度計頻率響應函數估計精度。