微小物體轉動慣量測量機理與實現方法研究?

王向軍，王 凱

(1.天津大學精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津300072；2.天津大學微光機電系統技術教育部重點實驗室，天津300072)

轉動慣量是剛體繞軸轉動時慣性的度量，其值只取決于物體的形狀、質量分布及轉軸的位置[1－2]。剛體的轉動慣量對于研究剛體的轉動過程、掌握物體的三維轉動規律有著重要的意義[3]。在航天領域，飛行器的飛行軌跡、姿態設計要考慮轉動慣量的影響。在機械領域，機床上轉臺的轉動慣量影響轉臺穩定性、精度[3]。在工業工程領域，電機的選擇要考慮系統轉動慣量的大小。總之，在許多領域轉動慣量都是一個重要的靜態參數。

轉動慣量可以通過線擺法、扭擺法、復擺法等方法進行測量，其中線擺法在精密測量中不適用，只適合于粗測，多用于實驗教學[4]；扭擺法通過選擇合適的氣浮平臺可以實現對較大量程物體的精確測量(小于1%)，同時測量過程中，被測物體擺放在平臺上，測量過程安全；復擺法要求被測物體和框架一起進行周期性擺動，所以要求被測物體的質量不能太重，同時根據物體的外形不同，測量過程可能不太安全。

目前，國內外主要通過扭擺法的原理，針對不同大小的物體設計出轉動慣量測試系統[5]。但氣浮平臺的結構導致了裝置環境要求高，輔助設備多，造價與維護費用高[6]。而且基于扭擺法的原理只能測量轉動慣量，質心與轉動慣量需要分開測量，使測量變得復雜繁瑣[7－8]。同時氣浮平臺多是針對大尺寸大質量的物體，這與待測的100 g～500 g級別的被測物體質量差過大，用大量程的測量裝置測量小物體，系統的誤差對測量精度的影響較大，裝置測量精度及穩定性較差。同時扭擺法需要人工放置被測物體，被測物體的軸心和平臺的軸心之間的偏心也會影響測量精度，尤其是小物體小轉動慣量的情況下。

本文針對微小物體轉動慣量的測量問題，采用復擺法的原理，上文提到的復擺法的弊端，這里是針對小型物體，質量在100 g～500 g之間，滿足被測物體質量小的條件，V型支承的設計使得被測物體放置后，確保質心與轉軸的距離可以精測測量。同時因為被測件體積小，外形為圓柱，所以保證測量過程中相對安全。針對復擺法的原理，進行誤差分析，并進行合理的機械設計以及誤差補償修正等手段消除誤差影響。同時根據擺能確定重心的原理，將物體的質心測量與轉動慣量測量結合到一個裝置中，避免了兩套裝置反復裝夾的繁瑣操作以及帶來的誤差。實驗結果表明測試裝置在保證測量精度的前提下，具有快速高效、操作簡單、成本低等特點。

1 測試裝置的構成及工作原理

1.1 測試裝置的構成

圖1為轉動慣量測量裝置原理圖。圖2為轉動慣量測量裝置結構示意圖。本裝置主要由轉動慣量測量裝置、質心測量裝置、光電計時模塊、傾角測量模塊、調平模塊以及計算機等組成。轉動慣量測量裝置由復擺托架、托盤、V型支承、底座構成。質心測量裝置由傾角儀、復擺托架構成。光電計時模塊由遮光柱和光電計時器構成。調平模塊由傾角儀和平衡螺母構成[9]。進行測量時，通過傾角儀和光電計時器獲得傾角信息和復擺周期信息，把信息傳遞給計算機，通過計算機進行質心和轉動慣量的計算。

圖1 測量裝置原理圖

1.2 測試裝置的工作原理

該裝置的基本工作原理為：對于空載的裝置，由電子天平測出托架質量m0。復擺的擺動方程：

當擺動角度很小時，認為托架在做簡諧運動，得到托架的空載周期：

利用質量、長度、轉動慣量已知的標準件對裝置自身的參數進行標定，如托架質心到轉軸的距離l0以及托架過轉軸的轉動慣量J0[10]。通過分析計算，得到裝置參數：

式中：ms為標準件質量；ls為標準件質心到轉軸的距離；Ts為標準件的復擺擺動周期。

對被測物體，首先通過電子天平測出質量m，計算得到被測物體質心到轉軸的距離d[11]。分別2次放置被測物體，放置方向互相垂直，根據擺動方程：

通過兩次擺動周期的測量，得到被測物體極轉動慣量和赤道轉動慣量：

式中：T1為被測物體垂直轉軸擺放時的擺動周期；T2為被測物體平行轉軸擺放時的擺動周期；T0為系統空載時的擺動周期。

2 測試裝置的結構設計及誤差分析

2.1 結構參數設計

被測件參數參考值：?60，300 g，150 mm。 需要測量微小物體的轉動慣量，所以測試儀的質量盡量小，首先選取材料為鋁合金。

支承設計。為使圓柱形被測件的軸線平行于工作面，采用V型支承。考慮被測件長度為150 mm，使V型支承均勻支撐被測件。取V型支承厚5 mm，相距80 mm，兩個相對的支承的位置正好容納被測件。相鄰的支承要有一些間隙，取支承長28 mm，高19 mm。

圖2 測量裝置結構示意圖

托盤設計。托盤置于橫梁上，上面對稱放置八個支承，托盤受到自身重力和被測件通過支承傳遞的壓力的影響。將托盤視為受集中載荷以及受均勻載荷的懸臂梁，進行計算。此時懸臂梁的撓度為：

式中：F為集中載荷，取為5 N(最大被測物體質量)；l為梁的長度；b為集中載荷距固定端距離；E為鋁的彈性模量；e為托盤厚度；q為懸臂梁本身均勻載荷；I為截面慣量。

梁的變形影響d的測量，根據誤差忽略不計原則，d的誤差由形變誤差與d的測量誤差組成，當一項誤差大于另一個的3倍時，較小的誤差可以忽略[12]。 這里為使形變忽略不計，取 Ymax＝0.2Δd，計算最小截面慣量I及托盤厚度。取寬度為100 mm，計算得托盤厚度最小為4.1 mm，取為5.0 mm。

橫梁設計。橫梁上放置托盤、V型支承和被測物體，同時受到自身重力的影響。將橫梁視為受兩個均勻載荷的簡支梁進行計算。此時簡支梁的撓度為：

梁的變形影響d的測量，同樣根據誤差忽略不計原則，取Ymax＝0.2Δd，計算橫梁厚度和寬度。如表1所示計算得不同厚度對應的寬度。

表1 不同厚度對應的寬度

取厚度為10 mm，寬度為20 mm。

豎桿設計。如圖3所示，根據之前設計的參數，畫出框體的的結構簡圖。通過改變托架的桿長，分析極限誤差的變化情況。

圖3 結構圖及誤差變化

桿長為80 mm左右時，極限誤差最小，約為真值的0.2%。桿長較短時，周期較小，影響周期的測量精度，且會影響裝置穩定性，裝置質心小的偏移會造成較大的傾角。同時考慮到質心測量時要進行被測件偏心擺放并進行傾角的測量，考慮最大偏移量為30 mm，復擺最大傾角10°，計算得桿長最小為130 mm時，滿足最大傾角小于10°。所以綜合考慮偏角與系統誤差，選擇桿長130 mm，誤差約為真值的0.6%。

材料選擇。選擇不同材料進行分析，計算材料與極限誤差的關系。

如圖4所示，桿長在80 mm左右時，各密度取最小極限誤差，隨著桿長的增加，極限誤差增大，且密度越大，誤差越大。因此盡量選擇密度小的材料，同時考慮到形變量要求及彈性模量的要求，擬采用1060鋁合金。

圖4 不同密度對應的誤差

支承方式。考慮到裝置擺動角度不大，速度較慢，載荷及裝置質量較小。若采用滾動軸承的方式，滾動摩擦力太大，影響擺動的周期。選擇氣浮軸套，以空氣作為潤滑劑，用氣膜將軸和軸套隔開，摩擦力可以忽略，適合于小負載情況。

調平裝置。將傾角儀固定于框架之上，通過調節兩側的平衡螺母，使傾角儀保持水平。

計時裝置。計時裝置由遮光片和光電模塊組成。光電模塊由對射式紅外激光器和LM393組成，直流5 V供電，輸出高低電平。

2.2 系統誤差分析

2.2.1 總體誤差分析

考慮極轉動慣量，因為自身標定的精度比測量精度高一個量級，因此忽略自身參數的誤差對結果的影響。對式(6)進行微分得到：

得到極轉動慣量的絕對誤差公式：

同理得到赤道轉動慣量的絕對誤差公式。假設T、m、d的誤差分布情況均為正態分布，極轉動慣量的極限誤差為：

根據式(12)，考慮誤差構成：測量時間的誤差ΔT1；測量質量的誤差Δm；測量物體質心到擺軸距離的誤差Δd；

2.2 .2 被測物體質偏影響分析

當實際質心與理想質心不重合時，稱為質心偏移。設質心與擺軸的實際距離為d′，偏心為e，與垂直夾角為θ，但測得的距離為d，將d代入計算，會造成測量結果的偏差。由余弦定理，得到 d′＝以 d′代替式(6)、式(7)中的 d 進行計算即可。

當 θ＝0°或 180°時，考慮 Δd 的最大值，即 d′＝d－e或 d′＝d＋e，直接代入計算。 當偏心較小，測量存在誤差時，需要將偏心作為誤差項進行考慮。

如圖5所示，偏心e在不同的尺度范圍上，與誤差呈現不同的相關性。在－3 cm到3 cm的范圍內，誤差和偏心近似為拋物線關系。在－0.2 cm到0.2 cm的范圍內，誤差與偏心有一定的線性關系，為后續的誤差補償提供了基礎。

圖5 偏心與相對誤差的關系

將被測物體旋轉180°，重新進行測量得出d″，jx″，T2。對測得的兩個轉動慣量求平均：

通過圖6對比發現補償后的測量結果大大減小了由偏心帶來的轉動慣量誤差，通過旋轉180°的兩次測量，使質心偏移對轉動慣量盡量產生相反的影響，通過對兩次轉動慣量測量結果的疊加，將相對誤差從1.5%減小到0.4%，將質心偏移的影響基本抵消，即質心偏移基本不影響極轉動慣量的測量。

圖6 誤差補償效果

2.2.3 裝置質偏影響分析

考慮到加工工藝的問題，框架不可能和設計時一樣保持完全對稱。框架的實際質心和轉軸的連線與理想質心和轉軸的連線存在一個θ角的偏差。框架靜止時會相對豎直方向有一個θ的傾角。需要通過平衡螺母調節平衡，然后對裝置進行標定，避免對測試結果產生影響。

2.3 剛度校驗

對結構進行靜力分析和剛度校驗，設定好固定約束和負載，并將材料設定為鋁合金，進行分析。

如圖7所示，為裝置的等效應力示意圖。從圖中看出托盤與橫梁相接的地方是應力最大的區域，為9.5×105Pa，遠遠小于鋁合金的屈服強度(2.8×107Pa)，符合設計要求。

圖7 裝置等效應力

如圖8所示，為裝置的等效彈性應變示意圖，由等效應力得到等效應變。

圖8 裝置等效彈性應變

如圖9所示，為裝置的總應變示意圖。從圖中看出托盤部分是變形最大的區域，最大變形量為6.1×10－6m，小于 0.2Δd(1.0×10－5m)，符合設計要求。

圖9 裝置總應變

3 質心測量

考慮到重力場均勻，所以重心和質心重合，可以通過測量重心來測量質心。

以旋轉軸為z軸建立坐標系。在空載時，通過調節平衡螺母使傾角儀保持水平。標定出空載的裝置參數。將被測物體左端與V型支承對齊，此時托架會傾斜以保持平衡。通過傾角儀測出傾角θ。因為兩個剛體的總質心在兩個剛體各自質心的連線上，且總質心到各自質心的距離與兩個剛體的質量成反比。所以有公式：m1l1＝m2l2。由三角形的相似原理，得到m1d1＝m2d2。直線的斜率與θ相關，根據點到直線距離公式以及三角函數的關系，得到被測物體質心經過的平面：

將被測物體右側與V型支承對齊，通過傾角儀再次得到傾斜角度θ′，方向為負，以正值代入計算。得到質心經過的另一平面：

將平面向右平移，使該平面與上一個平面在同一個坐標系下，得到平移后的平面。

將被測物體旋轉90°，后側與V型支承對齊，根據傾角計算出質心經過的平面：

因為將被測物體旋轉90°，所以該坐標系中的x方向對應旋轉前坐標系中的－z方向，所以用－z代替x進行計算，將上述三個平面聯立，可求出一點，即被測物體的質心。

4 測量實驗與結果

利用裝置對幾個標準件進行測量。標準件1參數如下：m＝(96.620±0.005)g，重心位置[(46.40±0.02)mm，(0.00±0.02)mm，(0.00±0.02)mm]，Jx＝(0.229 0±0.000 1)kg·cm2，Jy＝(0.742 5±0.000 1)kg·cm2。測量結果如表2所示。

表2 標準件1的測量結果

標準件2參數如下：m＝309.00±0.005 g，重心位置[(60.00±0.02)mm，(0.00±0.02)mm，(0.00±0.02)mm]，Jx＝(2.325 5±0.000 1)kg·cm2，Jy＝(4.870 8±0.000 1)kg·cm2。測量結果如表3所示。

表3 標準件2的測量結果

標準件3參數如下：m＝497.09±0.005 g，重心位置(65.00±0.02 mm，0.00±0.02 mm，0.00±0.02 mm)，Jx＝(6.833 0±0.000 1)kg·cm2，Jy＝(10.417 5±0.000 1)kg·cm2。測量結果如表4所示。

標準件1通過扭擺法測量結果如表5所示，扭擺法中質心與轉動慣量是兩套系統分別測量。轉動慣量測量范圍0.1 kg·cm2到 100 kg·cm2，質心測量范圍為10 g到1 kg。

表4 標準件3的測量結果

表５ 標準件１ 的測量結果

將測量值與真值進行比較得到測量精度，分析測量值得到重復性，如表6、表7所示。

表6 精度分析結果

表7 重復性分析結果

根據表6和表7可以發現，扭擺法測得的質心精度和重復性稍好于復擺法，扭擺法采用專門的質心測量系統進行測量，測量精度在0.6%以下，重復性在0.3%以下，復擺法測量精度在0.8%以下，重復性在0.6%以下。但是對于轉動慣量的測量精度和重復性，復擺法的測量結果更優于扭擺法，復擺法的測量精度和重復性均在1.0%以下，扭擺法則在2%～3%。

5 結論

本文針對微小物體轉動慣量的測量要求，搭建了復擺式的轉動慣量測量裝置，并介紹了裝置的測量原理，分析了誤差以及不同因素對測量結果的影響。之后進行裝置的機械結構設計，并對結構進行了校驗和優化。給出誤差補償方法以及綜合測量質心和轉動慣量的方案。最后進行實物加工以及裝置搭建，校驗裝置的測量精度和重復性精度。校驗結果證明：裝置的質心測量精度為0.8%，裝置的轉動慣量測量精度為1.0%，裝置的重復性精度為1.0%。滿足對微小物體質心及轉動慣量測量的穩定可靠、高精度、高重復性的要求。