涂覆石墨烯的橢圓形電介質納米線光波導的模式特性分析*

程鑫 薛文瑞? 衛壯志 董慧瑩 李昌勇

1) (山西大學物理電子工程學院, 太原 030006)

2) (山西大學激光光譜研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

3) (山西大學, 極端光學協同創新中心, 太原 030006)

設計了一種涂覆石墨烯的橢圓形電介質納米線光波導. 采用分離變量法, 在橢圓柱坐標系中, 借助Mathieu函數, 得到了色散方程. 通過數值求解色散方程, 可以得到模式的有效折射率和場分布, 從而得到模式的傳播長度. 研究了工作波長、結構參數以及石墨烯的費米能對模式特性的影響, 并給出了前五個模式的品質因數. 計算表明, 當波長從 4.3 增加到 8.8 , 這 5 個模式的有效折射率的實部減小, 基模和一階模的傳播長度增大, 二階模的傳播長度先增大后減小. 當改變納米線結構參數半長軸和半短軸時, 對基模和一階模的模式特性影響較小, 對二階模的模式特性影響較大. 當石墨烯的費米能從0.45 eV增加到0.72 eV時, 有效折射率的實部減小, 傳播長度可以達到2 左右. 分離變量法得到的結果與有限元方法得到的結果完全一致. 本文工作可以為基于涂覆石墨烯的電介質納米線的光波導的設計、制作和應用提供理論基礎.

1 引 言

表面等離子激元(SPPs)是一種電磁表面波.利用SPPs可以在亞波長范圍內約束和控制光波的傳輸, 因此SPPs在納米光子學中有著重要的應用前景[1].

石墨烯是一種由碳原子緊密堆積而成的蜂巢晶格的二維結構[2-4], 在其表面可以激發SPPs[5].石墨烯有三大優點: 超強的模式約束、相對較大的傳播長度、可調的化學勢和載流子遷移率[6]. 因此,在中紅外到太赫茲波段, 石墨烯是優選的材料. 許多學者對基于石墨烯的各種結構的波導進行了研究, 例如基于石墨烯帶的平板波導[7,8]、基于石墨烯的楔形/槽形波導[9,10]和基于石墨烯的混合波導[11-13]等. 與傳統的基于貴重金屬的表面等離子波導相比, 基于石墨烯的表面等離子波導有兩個優點: 歐姆損耗低、對電磁場有較強的亞波長約束能力[7].

近年來, 為了傳輸中紅外到太赫茲波, 涂覆石墨烯的電介質納米線波導受到了人們的關注. 這類波導是在單根或多根對稱、非對稱分布的圓柱形電介質納米線上涂一層或多層石墨烯構成. 與平板石墨烯波導相比, 這類波導不存在邊緣損耗. 研究表明, 在涂覆單層石墨烯的單根圓柱形納米線波導中, 通過調節工作波長, 可以實現單模工作[6]; 在涂覆單層石墨烯的方形納米線波導中, 可以實現較小的歸一化模式面積[14]; 在涂覆雙層石墨烯的單根圓柱形納米線波導中, 可實現深度亞波長約束[15]; 在涂覆多層石墨烯的單根圓柱形納米線波導中, 可進一步增強模式的束縛性[16]; 在涂覆單層石墨烯的并行納米線波導的狹縫區域, 有明顯的場增強效應及超強的梯度力[17,18]; 在涂覆單層石墨烯的非對稱并行納米線波導中, 可以靈活調節模式的傳輸性能[19].在涂覆雙層石墨烯的納米并行線間狹縫區, 可以得到更高的場增強[20]. 在涂覆單層石墨烯的三根并行納米線波導中, 可以靈活調節模式的有效折射率及傳播長度[21]. 在低太赫茲頻率下, 利用石墨烯單層和納米結構石墨烯超表面可以使電介質和金屬橢圓柱隱身[22].

本文設計了一種涂覆單層石墨烯的單根橢圓形電介質納米線光波導, 采用分離變量法, 對這種波導所支持的模式進行研究. 就工作波長、結構參數以及石墨烯的費米能對模式特性的影響進行了分析. 為了驗證分離變量法結果的正確性, 與有限元法(FEM)的結果進行了對比. 這種波導有望在中紅外到太赫茲波的保偏傳輸方面得到應用[23-25].本文設計的涂覆石墨烯的橢圓形電介質納米線光波導利用了表面等離子共振效應. 由于表面等離子激元(SPPs)的傳輸距離在波長量級, 適用于短距離傳輸, 在存儲器[26]、光操控[27]和光子器件的高密度集成[28]等領域有著潛在的應用前景.

2 理論模型與計算方法

涂覆石墨烯的橢圓形電介質納米線光波導的橫截面如圖1所示. 它是在相對介電常數為的橢圓形電介質納米線的表面涂覆單層石墨烯材料構成, 背景介質是空氣, 介電常數為. 假設,. 波導結構的半長軸為, 半短軸為, 橢圓的左、右兩個焦點分別為和, 半焦距為.石墨烯的表面電導率與工作角頻率、環境溫度和石墨烯的費米能有關, 由帶內電導率和帶間電導 率兩部分 構 成 (), 并可以通過Kubo公式得到[29]:

圖1 涂覆石墨烯的橢圓形電介質納米線光波導的橫截面示意圖Fig. 1. Cross section of the optical waveguide based on graphene-coated elliptical dielectric nanowire.

由(7)式可以得到一個奇次的線性代數方程組:

3 結果及分析

圖2(a)—圖 2(e)分別給出在 a = 110 nm,b = 80 nm,和的情況下, 該波導支持的五個最低階模式(依次命名為Mode 1,Mode 2, Mode 3,和 Mode 5)對應的 z 方向電場分量分布, 圖2(f)—圖2(j)為其對應的電場強度分布. 可以看出, 場集中分布在石墨稀涂層附近. 其中 Mode 1 為基模, Mode 2 和 Mode 3為一階模, Mode 4 和 Mode 5 為二階模. Mode 1,Mode 3 和 Mode 5 為偶模, Mode 2 和 Mode 4 為奇模.

圖3(a)—圖 3(c)分別給出了在 a = 110 nm,b = 80 nm 和的情況下, 有效折射率實部、傳播長度和品質因數FOM與波長之間的依賴關系. 圖中實線為 FEM 的模擬結果, 點線為分離變量法得到的計算結果, 下文中均用該方法標注. 從圖3中可以看出, 隨著波長的增大, 前五個模式的有效折射率的實部都單調減小,其中 Mode 1, Mode 2 和 Mode 3 的有效折射率的實部下降較慢, 而 Mode 4 和 Mode 5 的有效折射率的實部下降較快. 隨著波長的增大, Mode 1,Mode 2 與 Mode 3 的傳播長度單調增加, 而 Mode 4和Mode 5的傳播長度先增大后減小. 隨著波長的增大, 品質因數FOM先增大再逐漸減小, 其中Mode 1, Mode 2 和 Mode 3 的品質因數下降較慢,而 Mode 4 和 Mode 5 的品質因數下降較快. 因為品質因數FOM越大, 波導的傳輸性能越好[35], 在所選參數范圍內, Mode 2 的品質因數最大, 所以Mode 2的傳輸性能最好.

上述現象可以通過場分布來解釋. 以Mode 5 為例, 圖 4 給出了, 7.5 和 8.5三種情況下電場強度分布的對比圖. 從圖中可以看出, 當時, 場被緊密地約束在石墨烯涂層附近,場與石墨烯涂層之間的相互作用強, 此時波導對場的約束性非常強, 能量分布集中, 但模式的傳輸損耗較大, 傳播長度較小. 當時, 場分布擴散至電介質納米線和空氣中, 場與石墨烯涂層之間的相互作用變弱, 波導對場的束縛性變弱, 傳輸損耗減小, 因而傳播長度增大. 當時, 雖然場分布擴散到電介質納米線和空氣中的越來越多,波導對場的束縛性變弱, 但是石墨烯涂層附近的場的強度增強, 場與石墨烯之間的相互作用變強, 傳輸損耗增大, 因而傳播長度減小.

圖2 在 a = 110 nm, b = 80 nm, 和 的情況下, 前五個模式對應的 z 方向電場分量 (a)—(e)與電場強度 分布圖 (f)—(j)Fig. 2. The z direction electric field component (a)—(e)and electric field intensity (f)—(j) corresponding to the first 5 modes with a = 110 nm, b = 80 nm, and .

圖3 在 a = 110 nm, b = 80 nm 和 的情況下, 有效折射率實部(a), 傳播長度(b)和品質因數(c)與波長的關系Fig. 3. Dependence of the real part of the effective refractive index (a), propagation length (b) and FOM (c) on the wavelength with a = 110 nm, b = 80 nm and .

圖5 (a)—圖 5(c)分別給出了在 b = 90 nm,部、傳播長度和品質因數FOM與半長軸a的關系. 從圖中可以看出, 當半短軸b的長度一定時, 隨著a的增大, 前5個模式的有效折射率的實部逐漸增大, 其中Mode 3的有效折射率的實部變化極小, Mode 1 和 Mode 2 的有效折射率的實部增長速度比 Mode 4 和 Mode 5 的慢. 隨著a 的增大, Mode 1 的傳播長度基本不變, Mode 3的傳播長度緩慢減小, Mode 2, Mode 4 和 Mode 5的傳播長度緩慢增大. 隨半長軸 a 的增大, Mode 1和 Mode 2 的品質因數增加較慢, Mode 3 的品質因數緩慢減小, Mode 4 和 Mode 5 的品質因數增加較快. 在所選參數范圍內, Mode 2 的品質因數最大, 傳輸性能最好.

圖4 在 a = 110 nm, b = 80 nm 和 的情況下,不同波長時Mode 5的電場強度 分布圖 (a) ;(b) ; (c)Fig. 4. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different wavelength when a = 110 nm,b = 80 nm and : (a) ; (b) ;(c) .

圖5 b = 90 nm, 和 的情況下, 有效折射率實部(a), 傳播長度(b)和品質因數(c)與半長軸a的關系Fig. 5. The real part of the effective refractive index (a),propagation length (b) and FOM (c) as a function of semimajor axis when b = 90 nm, and .

上述現象可以通過場分布來解釋. 以Mode 5為例, 圖 6 給出了當 b = 80 nm,,時, a = 100, 120 和 140 nm 情況下的電場強度分布對比圖. 從圖中可以看出, 當 a = 100 nm 時,石墨烯橢圓環的周長較小, 場被約束在石墨烯橢圓環附近, 場與石墨烯之間的相互作用強, 模式的傳輸損耗大, 傳播長度小. 當 a = 120 nm 時, 石墨烯橢圓環的周長變大, 場分布的范圍擴大, 在半長軸增大的過程中, 左右花瓣對應的場的強度基本保持不變, 而上下花瓣對應的場的強度減小, 場與石墨烯之間的相互作用變弱, 傳輸損耗減小, 因而傳播長度增大. 當 a = 140 nm 時, 石墨烯橢圓環的周長進一步變大, 場分布進一步擴散, 在半長軸增大的過程中, 左右花瓣對應的場的強度基本保持不變, 而上下花瓣對應的場的強度進一步減小, 場與石墨烯之間的相互作用進一步變弱, 傳輸損耗進一步減小, 因而傳播長度進一步增大.

圖6 在 b = 80 nm, 和 的情況下,半長軸長度取不同值時Mode 5的電場強度 分布圖(a) a = 100 nm; (b) a = 120 nm; (c) a = 140 nmFig. 6. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different length of semi-major axis when b = 80 nm, and : (a) a = 100 nm;(b) a = 120 nm; (c) a = 140 nm.

圖 7 當 a = 110 nm, 和 時, 有效折射率實部(a), 傳播長度(b)和品質因數(c)與半短軸b的關系Fig. 7. The real part of the effective refractive index (a),propagation length (b) and FOM (c) as a function of semiminor axis when a = 110 nm, and .

圖7 (a)—圖 7(c)分別給出了在 a = 110 nm,部、傳播長度和品質因數FOM與半短軸之間的關系. 從圖 7中可以看出, 當半長軸a 的長度一定時, 隨著半短軸 b 的增大, Mode 1,Mode 3, Mode 4 和 Mode 5 的有效折射率的實部逐漸增大, 其中 Mode 5 的增加速度最快, Mode 2的有效折射率的實部緩慢減小. 隨著半短軸b的增大, 除Mode 2外其余4個模式的傳播長度都在增大, 其中 Mode 5 的增長速度最快. 隨著半短軸b的增大, 除Mode 2外其余4個模式的品質因數FOM 都單調增大, 其中 Mode 1 和 Mode 3 的品質因數增加較慢, Mode 5 的品質因數增加較快. 在所選參數范圍內, 當 b < 95 nm 時, Mode 2 的品質因數最大, 傳輸性能最好, 當> 95 nm 時,Mode 1的品質因數最大, 傳輸性能最好.

圖8 在 a = 110 nm, 和 的情況下,半短軸長度取不同值時Mode 5的電場強度 分布圖(a) b = 65 nm; (b) b = 85 nm; (c) b = 105 nm.Fig. 8. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different length of semi-minor axis when a = 110 nm, and : (a) b = 65 nm;(b) b = 85 nm; (c) b = 105 nm.

上述現象可以通過場分布來解釋. 以Mode 5為例, 圖 8 給出了 b = 65, 85 和 105 nm 情況下的電場強度分布對比圖. 從圖中可以看出, 當 b =65 nm 時, 石墨烯橢圓環的周長較小, 場被約束在石墨烯橢圓環附近, 場與石墨烯之間的相互作用較強, 模式的傳輸損耗大, 因此傳播長度小. 當 b =85 nm 時, 石墨烯橢圓環的周長變大, 場分布逐漸擴散, 左右花瓣對應的場的強度有所減弱, 而上下花瓣對應的場的強度基本保持不變, 場與石墨烯之間的相互作用變弱, 傳輸損耗減小, 因而傳播長度增大. 當半短軸增大至 105 nm時, 石墨烯橢圓環的周長進一步增大, 場分布的擴散范圍也進一步變大, 左右花瓣對應的場的強度進一步減弱, 而上下花瓣對應的場的強度基本保持不變, 場與石墨烯之間的相互作用進一步減弱, 傳輸損耗進一步減小,因而傳播長度也進一步增大.

圖9 當 a = 110 nm, b = 80 nm 和 時, 有效折射率實部(a), 傳播長度(b)和品質因數(c)與費米能的關系Fig. 9. The real part of the effective refractive index (a),propagation length (b) and FOM (c) as a function of Fermi energy when a = 110 nm, b = 80 nm and .

圖10 在 a = 110 nm, b = 80 nm 和 的情況下,費米能取不同值時 Mode 5的電場強度 分布圖(a) ; (b) ; (c)Fig. 10. The distribution of the electric field intensity of the Mode 5 with different values of Fermi energy when a = 110 nm, b = 80 nm, : (a) ;(b) ; (c) .

圖11 在 和 b = 100 nm 的條件下, 當 a = 100 和 140 nm 時, Mode 5 的有效折射率實部 (a)和傳播長度 (b) 隨波長變化的曲線圖Fig. 11. When a = 100 and 140 nm, the real part of the effective refractive index (a) , propagation length (b) as a function of wavelength at and b = 100 nm.

圖12 在 b = 100 nm 和 的條件下, 當 a = 100 和 140 nm 時, Mode 5 的有效折射率實部 (a)和傳播長度 (b)隨石墨烯費米能變化的曲線圖Fig. 12. When a = 100 and 140 nm, the real part of the effective refractive index (a), propagation length (b) as a function of graphene Fermi energy at b = 100 nm and .

圖9 (a)—圖 9(c)分別給出了在 a = 110 nm,b = 80 nm 和情況下, 有效折射率實部、傳播長度和品質因數FOM與費米能EF之間的依賴關系. 從圖9中可以看出, 隨著費米能的增大, 前5個模式的有效折射率的實部都單調減小, 其中 Mode 1, Mode 2 和 Mode 3 的有效折射率的實部下降較慢, 而 Mode 4 和 Mode 5的有效折射率的實部下降較快. 隨著費米能的增大, Mode 1, Mode 2 與 Mode 3 的傳播長度單調增加, Mode 4 和 Mode 5 的傳播長度先增大隨后減小. 隨著費米能的增大, Mode 1, Mode 2 和 Mode 3的品質因數緩慢增大, Mode 4 和 Mode 5 的品質因數逐漸減小.

上述現象可以通過場分布來解釋. 石墨烯的表面電導率可以通過改變費米能級的大小來改變, 因此波導模式的傳輸性能還可以通過石墨烯的費米能級來調節. 以 Mode 5 為例, 圖 10 給出了,和情況下的電場強度分布對比圖.從圖中可以看出, 當時, 場被緊密地約束在石墨烯涂層附近, 場與石墨烯涂層之間的相互作用強, 此時波導對場的約束性非常強, 能量分布集中, 模式的傳輸損耗較大, 傳播長度較小. 當涂層之間的相互作用變弱, 波導對場的束縛性變弱 , 傳 輸 損 耗 減 小 , 因 而 傳 播 長 度 增 大 . 當之間的相互作用變強, 傳輸損耗增大, 因而傳播長度減小.

4 結 論

本文設計了一種涂覆石墨烯的橢圓形電介質納米線波導. 在橢圓柱坐標系中, 借助Mathieu函數, 通過分離變量法, 推導出色散方程, 并通過數值方法求解了這個色散方程. 研究了波導最低階的5個模式的傳輸特性, 以及工作波長、半長軸、半短軸、費米能的變化對這5個模式的傳輸特性的影響, 并對各參數變化時, 各個模式的品質因數進行了對比, 選出了最優的模式. 結果表明: 工作波長從 4.3增大至 8.8時, 5 個模式的有效折射率的實部都減小, 基模與一階模的傳播長度增大, 二階模的傳播長度先增大后減小; 當半短軸一定, 半長軸從 95 nm 增大至 140 nm 時, 有效折射率的實部逐漸增大, 其中 Mode 3 變化極小, 除Mode 3的傳播長度緩慢減小外其他模式的傳播長度都增大; 當半長軸一定, 半短軸從60 nm增大至105 nm 時, 除 Mode 2 的有效折射率的實部與傳播長度減小外, 其他模式的有效折射率的實部與傳播長度都增大; 費米能從到變化時,前5個模式的有效折射率的實部都減小, 基模與一階模的傳播長度增大, 二階模的傳播長度先增大后減小. 分離變量法的計算結果與有限元法仿真的結果一致. 本文所研究的涂覆石墨烯的橢圓形電介質波導在中紅外到太赫茲波的保偏傳輸方面具有應用前景.