雙分數(shù)Vasicek利率環(huán)境下脆弱期權(quán)定價?

王瑤 薛紅

（西安工程大學理學院 西安 710048）

1 引言

隨著社會的不斷發(fā)展，出現(xiàn)了多種新型期權(quán)，脆弱期權(quán)就是一種含有信用風險的期權(quán)。文獻［1］以Lévy過程為基礎(chǔ)，給出了模糊環(huán)境下脆弱看漲期權(quán)定價公式。文獻［2］采用偏微分方程法推導出脆弱期權(quán)定價公式，并利用有限差分法給出其數(shù)值解。文獻［3］在隨機波動率情況下，利用 Ito?引理推導出無違約風險的脆弱期權(quán)期權(quán)所滿足的偏微分方程。文獻［4］在隨機利率的情況下，利用保險精算方法得到分數(shù)布朗運動環(huán)境下脆弱期權(quán)定價公式。文獻［5］利用Ito?引理和等價鞅測度變換法得到多跳-擴散環(huán)境下脆弱期權(quán)的解析解。文獻［6］應(yīng)用風險中性定價方法得到分數(shù)-跳擴散環(huán)境下歐式脆弱期權(quán)定價公式。文獻［7］借助信用風險模型，利用保險精算方法獲得分數(shù)跳-擴散環(huán)境下脆弱期權(quán)的定價公式。近年來，不少學者提出了雙分數(shù)布朗運動，它是更具一般的高斯過程。文獻［8］討論了雙分數(shù)布朗運動在不同參數(shù)H，K下的積分理論，并給出了雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下Ito?公式。文獻［9］給出了雙分數(shù)Brown運動環(huán)境下的股本權(quán)證定價公式。文獻［10～12］是有關(guān)雙分數(shù)環(huán)境下的期權(quán)定價，文獻［13～14］利用保險精算方法給出了雙分數(shù)-跳擴散環(huán)境下再裝期權(quán)定價公式。有關(guān)雙分數(shù)Vasicek利率環(huán)境下期權(quán)的定價問題可參考文獻［15～17］。因此，本文假設(shè)股票價格、公司價值和公司負債均服從雙分數(shù)Brown驅(qū)動的隨機微分方程，在雙分數(shù)驅(qū)動的Vasicek利率情況下，運用保險精算方法得到雙分數(shù)Vasicek利率環(huán)境下脆弱期權(quán)定價公式。

2 金融市場數(shù)學模型

假設(shè)股票價格為 S（t），公司價值為V（t），公司負債為D（t），設(shè)在T時刻公司承諾支付給債權(quán)人的金額為 X（T），若公司具有清償能力，則在T時刻公司的債權(quán)人取得的償付額為 X（T）。若在T時刻V（T）＜D（T），則發(fā)生違約，此時公司的債權(quán)人取得的償付額就是 Xd（T）=，則在T 時刻，公司的實際支付額可以表示為

假定股票價格 S（t）、公司價值V（t）、公司負債D（t）和短期利率分別滿足如下隨機微分方程［9］：

其 中 ，μS，μV，μD，σSj＞0，σVj＞0，σDj＞0（j=1，2，…，m），是 完 備 概 率 空 間（Ω，F(xiàn)，P）上相互獨立的雙分數(shù)布朗運動。

引理 1［15，18］隨機微分方程（2）、（3）、（4）、（5）的解分別為

定義1［7］股票價格過程{S（t），t≥ 0}在 [t，T]上的期望回報率 βS（u），u∈[t，T]定義為

引理 2［7］隨機過程 {S（t），t≥ 0} 、公司價值{V（t），t≥0} 和公司負債 {D（t），t≥0}[0，T]上的期望回報率分別滿足 βS（u）=μS，βV（u）=μV，βD（u）=μD。

引理3［15］設(shè)隨機變量 ξ1～N（0，1），ξ2～N（0，1），相關(guān)系數(shù) cov（ξ1，ξ2）=ρ，當 a，b，c，d，k 為實數(shù)時，有

定義2［19］在到期日T時刻，承諾支付額為X（T）=（S（T）-Q）+而出現(xiàn)違約或破產(chǎn)時的實際支付額為 X（T）=的脆弱看漲期權(quán)的保險精算價格定義為

3 脆弱期權(quán)的定價

定理1 在到期日T時刻，承諾支付額為X（T）=（S（T）-Q）+而出現(xiàn)違約或破產(chǎn)時的實際支付額為 X（T）=的脆弱看漲期權(quán)的保險精算價格為

其中

證明

令A1=

則

即A1=

令

則

記 D21=

則A2=

從而

其中

推論當K=1時，可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下具有隨機利率的歐式脆弱期權(quán)定價公式。特別地，當 b=0，c=0，a→0且 σD→0時，可得分數(shù)布朗運動環(huán)境下脆弱期權(quán)定價公式（見文獻［20］）。

4 結(jié)語

本文假設(shè)利率滿足雙分數(shù)Vasicek利率模型，借助雙分數(shù)布朗運動隨機分析理論，利用保險精算方法推導出脆弱期權(quán)的定價公式，特別地，當K=1時，得到分數(shù)布朗運動環(huán)境下具有隨機利率的的歐式脆弱期權(quán)定價公式。