魯棒獨立分量分析在結構損傷特征提取中的應用?

徐先峰 張華竹 段晨東

（長安大學電子與控制工程學院 西安 710064）

1 引言

實現(xiàn)大型土木工程結構損傷特征的精確提取，是解決土木工程應用問題的關鍵點之一。同時，特征提取也是信號處理研究課題中的重要步驟［1～5］。獨 立 量 分 析［6］（Independent Component Analysis，ICA）是一類非常重要的特征提取方法，它假設各個源信號之間具有統(tǒng)計獨立性，這為后來的許多算法奠定了基礎［7～10］。但在土木工程應用問題中，由于實際工程結構具有較高的阻尼，導致ICA算法的穩(wěn)健性降低，很大程度上限制了算法的分離精度，使得模態(tài)參數(shù)不能有效地識別，為結構損傷特征提取帶來了較大困難［11～13］。

針對傳統(tǒng)ICA算法在結構損傷特征提取中的不足，本文引入RobustICA算法［14］，并將該算法應用于實測IASC-ASCE結構損傷數(shù)據的特征頻率提取。實驗結果顯示RobustICA算法分離出的各分量之間獨立性較傳統(tǒng)FastICA算法更高，并在對各分量的固有頻率進行識別后發(fā)現(xiàn)，RobustICA算法兼有較高的特征提取精度。

2 RobustICA算法

2.1 信號模型

考慮有n個未知的源信號，經過線性混合之后可以得出如下信號模型：

其中，向量 x（t）=[x1（t），x2（t），…，xm（t）]T表示 m 個觀測信號組成的觀測向量；s（t）=[s1（t），s2（t），…， sn（t）]T是由n個未知的源信號所組成的向量；矩陣H表示未知的混合矩陣（m×n），若假設矩陣H行滿秩，那么其中每一個元素hij（hij=[H]ij）表示第 j個源信號在第i個觀測信號上的混合系數(shù)。符號（?）T表示轉置運算符。在下文中，為了方便表示，省略時間t，將式（1）記為

盲源分離所要解決的問題就是從已知的觀測信號x中估計出源信號s。但是，由于混合矩陣H未知，所以需要引入一個分離矩陣W（n×m），使得式（2）轉換為

通過估計分離矩陣W ，使得輸出的y=Wx包含對源信號的估計。則矩陣W中的每一行都相當于用來提取單個源的一個空間濾波器。

2.2 算法理論

在求解分離矩陣W時，需要選擇一個合適的目標函數(shù)作為非高斯性的度量，使得W作用于觀測信號x后能將分量的非高斯性最大化。在ICA算法中，通常使用到的一類目標函數(shù)為峭度表達式。零均值隨機變量y的峭度一般定義式為

在基于峭度的FastICA算法中，通常采用式（4）的簡化形式：

相對于一般定義式（4），簡化定義式（5）雖然計算簡便，但會引入計算誤差；不僅如此，F(xiàn)astICA算法在尋求最優(yōu)解時采用的是基于固定點的迭代法，容易陷入局部收斂，導致求得的解非全局最優(yōu)解。

而Zarzoso等提出的RobustICA算法［14］則是將峭度的一般定義式（4）的絕對值形式作為目標函數(shù)，使用精確線性搜索方法來獲得最優(yōu)步長μ。假設含噪觀測矩陣為x，由于RobustICA算法不需要對其進行白化處理，僅要求其均值為零，則分離后的一個輸出 y=wi?x（i=1，2，…，m）的峭度表達式為

式（6）同樣為峭度函數(shù)的一般定義式，是將y=wi?x（i=1，2，…，m）代入式（4）后的結果，不影響其一般性。如果對源信號非高斯性的假設不變，那么則可以將式（6）的絕對值形式作為目標函數(shù)，得到最優(yōu)步長的精確線性搜索方法：

其中g為搜索方向，通常取梯度。至此，峭度準則便可以表示成如下關于步長μ的四次多項式

再對 wi?（k）進行歸一化處理：

最后求得對源信號的估計：

如上步驟為提取第 i個（i=1，2，…，m）分離矢量wi?。反復上述步驟即可獲得完整的分離矩陣W。

本文所做的主要工作如圖1所示。

3 特征分離方法

為了評價算法性能，將平均相似度rˉ作為相關性的評價指標，先計算各分量頻域之間的相關系數(shù)：對于隨機向量bi，bj，其相關系數(shù)可以表示為ri，j：

其中cov（?X，Y）表示變量 X和變量Y的協(xié)方差。ri，j評價相關性可分為以下三種相關等級：

圖1 本文所做的主要工作

1）當 ri，j∈［0.8，1.0］時，表明分量 i與 j具有強相關性；

2）當 ri，j∈［0.4，0.8］時，表明分量 i與 j具有一般相關性；

3）當 ri，j∈［0，0.4］時，表明分量 i與 j具有弱相關性或無相關性。

計算出ri，j后，再利用平均相似度 rˉ對分量的整體相關性予以衡量：

rˉ越小，說明各分量總體呈現(xiàn)較好的獨立性；反之，則說明各分量之間相關性較大，沒有實現(xiàn)完全分離。

3.1 數(shù)值實驗

實驗采用ASCE的SHM Benchmark模型，如圖2（b）所示共設置16個節(jié)點，對應設置16個傳感器分別安裝在每一層的2，6，8，4的柱子上，模擬6種損傷模式［15］。

該模型具有模擬對稱性，且激勵模擬為作用于每層y方向上的環(huán)境風載，因此，在x，y方向上各選取4個作為檢測節(jié)點，分別為11、13、20、22、29、31、38、40。選取12自由度對稱模型下第一層所有斜支撐斷裂工況的數(shù)據進行分析，數(shù)據長度為16384，采樣頻率為1000Hz。

由于源信號與混合矩陣均未知，且僅有傳感器接收到的信號。所以，該實際問題便可以看作是盲源分離模型 x（t）=Hs（t）。8個傳感器接采集到的信號 便 可 看 作 8 路 觀 測 信 號 x（t）=[x1（t），x2（t），…，x8（t）]T，記為（m為觀測信號個數(shù)）。

圖2 結構模型的部件標注與檢測節(jié)點分布

圖3和圖4分別是利用FastICA算法和Robust-ICA算法對8路觀測信號的盲源分離結果的頻譜。

圖3 FastICA分離后的各分量頻譜

圖4 RobustICA分離后的各分量頻譜

由圖3、圖4可以看出，觀測信號經FastICA算法和RobustICA算法分離后均得到四階固有頻率f1、f2、f3、f4。表1為兩種算法分離出的12自由度對稱模型下第一層所有斜支撐斷裂工況下的模態(tài)固有頻率與文獻［15］計算出的該工況下模態(tài)固有頻率的對比。

表1 FastICA與RobustICA分離出的模態(tài)固有頻率與理論值的對比

表1顯示，F(xiàn)astICA與RobustICA提取出的特征頻率與理論值的均方根誤差分別為0.2230和0.0415，可見RobustICA算法在提取精度上優(yōu)于FastICA算法；并且，對比圖3與圖4可以看出，F(xiàn)astICA算法分離出的特征頻率出現(xiàn)混疊現(xiàn)象，而RobustICA分離出的各分量具有更高的獨立性。為了更有效地對這些分量進行分析，現(xiàn)利用式（12）對分量兩兩之間的相關系數(shù)進行計算，結果如表2。

表2 FastICA和RobustICA分離出的各分量之間相關系數(shù)

表2顯示，混合信號經FastICA算法分離后各分量之間相關系數(shù) ri，j全部集中在［0.5，0.97］范圍內，且通過式（13）可以計算出分量的平均相似度rˉ1=0.776∈［0.4，0.8］，說明FastICA算法分離出的各分量總體上具有較強的相關性，出現(xiàn)了嚴重的頻率混疊，沒有實現(xiàn)對源信號的通縮分離。相反，混合信號經RobustICA算法分離后，各分量相關系數(shù)的最大值為0.96＞0.8，認為分量b2和b3具有強相關性，屬于同一分量；次大值為0.50∈［0.4，0.8］，則分量b4和b6具有一般相關性，近似為同一分量；其余各分量之間的相關系數(shù)均小于0.3，可以認為不具有相關性，b5、b7、b8為噪聲信號；且平均相似度 rˉ2=0.125＜ rˉ1=0.776。由此可以看出 RobustICA算法可以大大降低各分量的相關性，將主要的特征頻率單獨分離出來，近似實現(xiàn)通縮分離，分離精度顯著提高。

3.2 工程實驗

利用RobustICA算法對Phase II IASC-ASCE實測結構數(shù)據進行損傷特征頻率提取。Phase II實測結構共有16個數(shù)據采集通道，通道16為損傷結構的激勵（隨機環(huán)境、力錘、振蕩器等）信號，通道1～15為加速度傳感器采集的損傷結構響應信號。傳感器布置及檢測節(jié)點如圖5所示。

圖5 Phase II鋼結構實物模型及檢測節(jié)點分布

將環(huán)境噪聲作為激勵源，選取無損傷和去掉東側所有斜支撐兩種工況。采集每層中心節(jié)點2、5、8、11、14和激勵源節(jié)點16的響應信號，數(shù)據長度為4096，采樣頻率為200Hz，利用RobustICA算法對這6個通道的信號進行盲源分離。

1）工況一：無損傷

圖6為環(huán)境噪聲激勵下工況一的頻譜。

圖6 環(huán)境噪聲激勵下工況一的頻譜

將環(huán)境激勵下的工況一記為config1.ambient。表3為環(huán)境激勵下RobustICA分離出工況一的模態(tài)固有頻率與文獻［16］計算出的模態(tài)固有頻率的對比。

表3 環(huán)境激勵下工況一的模態(tài)固有頻率

表3顯示，無損傷工況下，RobustICA算法分離出四階模態(tài)頻率，與文獻［16］采用的貝葉斯兩步計算法計算出的四階模態(tài)頻率一致，具有較好的分離效果。

2）工況二：去掉東側所有斜支撐

圖7為環(huán)境噪聲激勵下工況二的頻譜。

圖7 環(huán)境噪聲激勵下工況二的頻譜

將環(huán)境激勵下的工況二記為config2.ambient。表4為環(huán)境激勵下RobustICA分離出工況二的模態(tài)固有頻率與文獻［16］計算出的模態(tài)固有頻率的對比。

表4 環(huán)境激勵下工況二的模態(tài)固有頻率

表4顯示，去掉東側所有斜支撐工況下，RobustICA算法分離出三階模態(tài)頻率，與文獻［16］采用的貝葉斯兩步計算法計算出的三階模態(tài)頻率一致，具有較好的分離效果。

4 結語

為了精確提取土木工程中結構損傷特征頻率，將一種穩(wěn)健的盲源分離算法RobustICA應用于實際工程中，對采集到的ASCE實測結構的混合信號進行分離，提取損傷模態(tài)的固有頻率，具有較好的分離精度，并能實現(xiàn)對模態(tài)頻率的通縮分離，解決了頻率混疊的問題。