基于Morlet小波的遼河徑流量變化及其成因分析

馮禹昊, 朱江玲

(北京大學(xué) 城市與環(huán)境科學(xué)學(xué)院, 北京 100871)

在全球人口增長和氣候變化背景下，水資源的短缺和時空分布不均已經(jīng)成為人類經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展的重要挑戰(zhàn)。因此，通過氣候因子對河川徑流量進(jìn)行合理預(yù)測可以幫助實現(xiàn)對水資源的統(tǒng)籌規(guī)劃和集約利用，具有十分重要的現(xiàn)實意義[1]。然而很多研究表明，河川徑流量和各種氣候因子受到眾多自然和人為干擾過程影響，變化規(guī)律極端復(fù)雜且因素間存在著多時間尺度的非線性響應(yīng)。因此必須引入新的適用于復(fù)雜時間序列數(shù)據(jù)的研究方法。小波分析作為多時間尺度分析的理想工具，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于河川徑流量和氣候因子相關(guān)關(guān)系的研究中：陳效逑等[2]基于小波互相關(guān)分析方法分區(qū)域地討論了各氣候因子對黃河徑流量變化的驅(qū)動機(jī)制，揭示了不同時間尺度上年均溫和蒸發(fā)量對徑流量的負(fù)向影響以及年降水量對徑流量的正向影響；凌紅波等[3]通過小波交叉譜識別了天山山區(qū)年均溫、年降水量與區(qū)域徑流量的相關(guān)關(guān)系。不同于黃河流域的是，干旱、半干旱區(qū)內(nèi)陸河徑流量與年均溫、年降水量均存在著顯著的正相關(guān)關(guān)系；此外，類似的研究還在瑪納斯河[4]、開都河[5]、渭河[6]、嘉陵江[7]、雅魯藏布江[8]等流域開展。

然而，盡管這種以小波分析及小波互相關(guān)為主體的研究范式已經(jīng)形成，并被應(yīng)用于很多流域，其過程仍然有以下兩項亟待改善之處：其一，小波尺度與真實時間尺度的混淆。兩者之間的轉(zhuǎn)換與所用小波的中心頻率以及數(shù)據(jù)的采樣頻率密切相關(guān)。但很多研究[9-11]都沒有闡明兩者間的變換關(guān)系，從而導(dǎo)致了錯用；其二，各氣候因子間通常存在顯著的相關(guān)關(guān)系，很多研究[2,12]在討論單一因子的影響時并未排除其他因子的作用。

基于此，本研究將在規(guī)范使用小波分析方法的基礎(chǔ)上，引入偏相關(guān)系數(shù)對小波互相關(guān)結(jié)果進(jìn)行校正，以識別年均溫、年降水量、蒸發(fā)量3個氣候因子對徑流量的獨立影響，以期揭示引發(fā)徑流量年際變化的主要因素。此外，本文還將研究區(qū)域設(shè)置在遼河流域，以期探究半濕潤季風(fēng)區(qū)河川徑流量間對各氣候因子的響應(yīng)。

1 流域概況

遼河發(fā)源于河北省平泉縣，全長1 345 km，干流長516 km，系中國七大河流之一。遼河流域位于40.5°—45.2°N，116.8°—125.5°E，覆蓋河北、內(nèi)蒙古、吉林以及遼寧部分地區(qū)，流域面積21.9萬km2。遼河水系分布及流域內(nèi)58個氣象觀測站的位置如圖1所示。流域大部分地區(qū)屬半濕潤半干旱氣候，年均溫為5～9℃，年降水量為400～750 mm，徑流量數(shù)據(jù)及各氣候因子(取各站平均值)的年際變化情況如圖2所示。

圖1研究區(qū)域及氣象站分布

圖21956-2009年徑流量及氣候因子年際變化

流域多年平均徑流量為27.8億m3，1956—2009年總體上呈現(xiàn)出減少的趨勢。從5年滑動平均值來看，流域徑流量存在明顯的波動特征，1956—1966年、1984—1996年為徑流量較大的兩個時段，平均年徑流量達(dá)41.1億m3；1967—1983年、1997—2009年徑流量較少，平均值為16.6億m3。流域多年平均氣溫為6.8℃。在全球氣候變化背景下，年均溫在研究時段內(nèi)出現(xiàn)了顯著的增長，增速約為0.03℃/a。年降水量也表現(xiàn)出周期性變化特征，且與徑流量變化有較強(qiáng)的一致性：1956—1964年、1983—1995年降水量較多；1965—1982年、1996—2009年降水量較少。年蒸發(fā)量僅在1956年、2002—2009年出現(xiàn)了較小值，在其他時段并無顯著的單調(diào)或周期性變化特征。

2 研究方法

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

小波系數(shù)是小波函數(shù)在特定尺度和相位下與時間序列數(shù)據(jù)間的相關(guān)性度量。從統(tǒng)計學(xué)的角度來看，樣本量是進(jìn)行兩個相關(guān)系數(shù)大小比較的關(guān)鍵因素[13]。因此，為了確保小波系數(shù)間的可比性，研究中首先應(yīng)將原始的時間序列數(shù)據(jù)向兩端進(jìn)行充分地拓展，以消除序列兩端積分范圍跨度不同造成的影響。本研究使用對稱變換的方法向外增加資料，并在完成系數(shù)計算后，從中提取原始資料對應(yīng)時段的小波系數(shù)值[14-15],詳細(xì)方法如公式(1)—(3)所示：

f(1),f(2),…，f(n)

(1)

f(-i)=f(i+1) (i=0,1,…,n-1)

(2)

f(i+n)=f(n+1-i) (i=0,1,…,n-1)

(3)

式中：公式(1)為原始資料的抽象表示；n為樣本量，公式(2)，(3)分別為向前和向后延伸n點的計算方法。

2.2 小波分析

小波變換通過伸縮和平移小波函數(shù)實現(xiàn)對時間序列數(shù)據(jù)的多時間尺度分解，從而得到原始信號在不同尺度上的周期性變化特征。具體地，連續(xù)小波變換可以定義為[16]：

(4)

式中：x(t)原始信號；ψ(t)為小波母函數(shù)；a為尺度因子；τ為位移因子；*表示共軛；積分結(jié)果W(a,τ)即為小波系數(shù)，反映了尺度為a，位移τ為時的小波函數(shù)與原始信號間相關(guān)性的強(qiáng)弱。

在眾多的小波母函數(shù)中，由于復(fù)Morlet小波能夠消除用實小波變換系數(shù)作為判據(jù)產(chǎn)生的虛假振蕩且不具有正交性，所以它被很多地球物理過程的分析所采用[17]。復(fù)Morlet小波的母小波可以由公式(5)表示[18]：

(5)

式中：fb為小波帶寬；fc為小波中心頻率；i為虛數(shù)符號。在本研究中，為便于進(jìn)行小波尺度與真實尺度的變換取fc為1，同時根據(jù)小波變換效果確定較優(yōu)的帶寬取值為1.5。

小波尺度a不等同于真實的時間尺度，兩者的對應(yīng)關(guān)系可以由公式(6)確定[19]：

fa=(fc/a)·Ta

(6)

式中：fc為小波中心頻率；Ta為采樣的時間間隔；fa為真實尺度的對應(yīng)的頻率，即真實尺度的倒數(shù)。在本研究中，由于采用的是年度數(shù)據(jù)，所以Ta值為1；又有fc被定為1，因此小波尺度在數(shù)值上等于真實時間尺度。

小波方差反映了特定時間尺度下信號的平均能量[20]，小波方差越大，信號在對應(yīng)尺度上的周期性特征就越顯著。其值可由公式(7)計算：

(7)

式中：|W(a,τ)|是尺度為a，位移因子為τ時的小波系數(shù)絕對值，對于復(fù)系數(shù)來說則是其模長；N為a尺度下求得的小波系數(shù)總數(shù)。

2.3 小波互相關(guān)分析

小波互相關(guān)分析能定量描述兩個非平穩(wěn)時間序列之間在某特定尺度上的相關(guān)關(guān)系，是基于小波變換系數(shù)進(jìn)行多時間尺度驅(qū)動因子判定和評估的理想工具。由于小波系數(shù)實部值就能夠反映信號在不同時間尺度的周期變化及其在時間域中的分布，因此為了簡化計算，本研究只提取了實部值進(jìn)行序列互相關(guān)分析。桑燕芳等[21]提出了基于連續(xù)小波變換的互相關(guān)系數(shù)求解方法，根據(jù)本研究所用數(shù)據(jù)的特點可將該方法提煉為公式(8)—(9)：

Wcovxy(a,k)=Eb[Wx(a,b)Wy(a,b+k)]

(8)

(9)

式中：Wx(a,b)表示序列x在時間尺度為a，時刻為b時的小波系數(shù)；Eb[ ]表示對括弧中的算式求關(guān)于b的期望；k為序列y對于x的時滯；公式(9)中互相關(guān)系數(shù)的計算在形式上與傳統(tǒng)相關(guān)系數(shù)的計算相同。基于公式(9)：還可以對相同時滯k下的互相關(guān)系數(shù)求解加權(quán)平均值，計算小波互相關(guān)度[21]：

(10)

(11)

(12)

式中：Wccdxy(k)即為時滯k下序列x與y的互相關(guān)度；權(quán)重weight(a,k)實際上是固定時滯下的互相關(guān)系數(shù)平方占比。

與傳統(tǒng)的二元相關(guān)系數(shù)類似，當(dāng)序列數(shù)據(jù)受多個因素同時影響時，小波互相關(guān)系數(shù)無法表示單一因素對序列數(shù)據(jù)的獨立作用。因此，本研究仿照偏相關(guān)分析方法[13]，在公式(9)的基礎(chǔ)上定義小波偏相關(guān)系數(shù)如下：

(13)

近年來，紅楓家政公司貫徹落實《商務(wù)部關(guān)于加快居民生活服務(wù)業(yè)線上線下融合創(chuàng)新發(fā)展的實施意見》，創(chuàng)新轉(zhuǎn)變家政服務(wù)供給方式，積極向“互聯(lián)網(wǎng)+”方向快速發(fā)展。2012年在綿陽成功建成“紅楓家政信息化辦公OA系統(tǒng)”，2015年底在成都市順利開建“云尚家美好生活家政服務(wù)智能平臺”。目前，紅楓家政公司已基本實現(xiàn)了家政服務(wù)手段信息化，信息發(fā)布、自助下單、服務(wù)評價、糾紛處理等服務(wù)實現(xiàn)“一站式”在線提供，有效對接了家政服務(wù)的供需雙方，促進(jìn)了家政服務(wù)線上線下融合發(fā)展，提升了服務(wù)效率和水平。

(14)

式中：Wrxy_z(a)為a時間尺度下，固定序列z時，序列x與y之間的相關(guān)系數(shù)；基于公式(13)可以容易表達(dá)出涉及4個變量的偏相關(guān)系數(shù)，Wrxy_zw(a)表示固定序列z和w時，序列x與y之間的相關(guān)系數(shù)。值得注意的是，由于偏相關(guān)系數(shù)在計算過程中涉及全部二元相關(guān)系數(shù)，因此無法定義序列間的時滯關(guān)系，公式(13)與(14)的計算默認(rèn)在k=0的條件下進(jìn)行。

3 結(jié)果與分析

3.1 徑流量與氣候因子的多時間尺度特征

由圖3可知，遼河流域徑流量表現(xiàn)為以10 a和36 a為主周期的年代際變化，其中36 a尺度上小波系數(shù)等值線閉合值較高，具有全域性特征。根據(jù)公式(4)—(5)，Morlet小波函數(shù)關(guān)于t=τ呈軸對稱，且在該處取得最大正值。因此，小波系數(shù)為正說明原始信號與小波函數(shù)的形態(tài)相似，在相同尺度，t=τ處取得較大值，在本例中即為徑流量較多的時刻。小波系數(shù)過程線(圖3C)是小波系數(shù)矩陣(圖3A)在主周期處的橫向剖面，因而可以反映流域徑流量的豐枯變化情況。從10 a尺度上看，1959—1962年、1968—1973年、1979—1983年、1989—1993年、1999—2003年、2008—2009年為負(fù)位相，徑流量較少為枯水期，其余年份是正位相為豐水期；從36 a尺度上看，1956—1965年、1984—2000年為徑流量較多的年份。綜合上述結(jié)果可知，盡管存在小幅度的短周期波動，遼河目前還處在徑流量較少的年份且這種狀態(tài)將持續(xù)到2020年前后。

圖4展示了遼河流域年均溫的多時間尺度特征。小波方差的計算結(jié)果(圖4B)表明年均溫存在長達(dá)47 a的周期性變化，考慮到研究涉及的時間跨度只有54 a，這一較長的周期實際上反映了年均溫在全時間域的遞增趨勢。此外，在4～14 a尺度間，小波方差出現(xiàn)了很多局部最大值，提取其中最大的14 a尺度繪制小波系數(shù)過程線(圖4C)可以發(fā)現(xiàn)小波系數(shù)的絕對值逐漸減小，這表明14 a周期隨著時間的推移逐漸消失。轉(zhuǎn)而觀察小波系數(shù)矩陣(圖4A)可知，取代14 a周期的是7～8 a周期性變化，但這種變化也在2000年前后消失，取代其的最新周期長度為4～5 a。周期長度的逐漸縮短表明極端氣候出現(xiàn)的頻率增加，這與近年來的實際觀測相符[22]。

圖3遼河流域徑流量小波分析結(jié)果

流域年降水量與徑流量有相似的多時間尺度特征，均存在以10 a和36 a為主周期的年代際變化(圖5B,5C)。不僅如此，兩者的小波系數(shù)矩陣也有相似的分布模式(圖3A,5A)，因此可以認(rèn)為流域降水量是徑流量年際變化的重要影響因子。降水量的長周期變化體現(xiàn)了小波分析方法對時間序列數(shù)據(jù)總體趨勢的響應(yīng)，而短周期變化則與由某些周期性的自然干擾過程調(diào)控。很多研究結(jié)果表明降水量以10 a為周期的變化與太陽活動密切相關(guān)[23-24]。

圖4遼河流域年均溫小波分析結(jié)果

與其他氣候因子相比，蒸發(fā)量的周期性特征較為模糊，在15～40 a范圍內(nèi)其小波方差值均處于較高水平(圖6B)。取18 a，29 a兩個極大值點繪制小波過程線(圖6C)可以發(fā)現(xiàn)，兩個尺度上小波系數(shù)的絕對值大小近似相同且波形間不存在明顯的同步或包含關(guān)系，因此可以認(rèn)為蒸發(fā)量的年際變化是一種隨機(jī)波動，無顯著的周期變化規(guī)律。

圖5遼河流域年降水量小波分析結(jié)果

3.2 徑流量年際變化驅(qū)動因子分析

不同時間尺度下，遼河流域徑流量與氣候因子及各氣候因子間的小波互相關(guān)分析結(jié)果如圖7所示。其中，年徑流量與年均溫在1～35 a尺度上以負(fù)相關(guān)為主，最小值出現(xiàn)在7 a處為-0.84，然而在較大尺度上兩者卻表現(xiàn)為正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)值在50 a尺度處達(dá)到了最大值0.81。根據(jù)公式(10)—(12)計算得到的小波互相關(guān)度為0.202 1，可以認(rèn)為兩序列總體上呈正相關(guān)關(guān)系；年徑流量與年降水量在幾乎全部時間尺度(1～51 a)上呈正相關(guān)，但相關(guān)系數(shù)在48 a之后出現(xiàn)了迅速下降并最終轉(zhuǎn)為負(fù)值。高達(dá)0.874 3的小波互相關(guān)度表明兩序列在總體上呈顯著的正相關(guān)關(guān)系，即徑流量的減少系年降水量的減少所致(圖2A,2C)；年徑流量與年蒸發(fā)量間的小波互相關(guān)系數(shù)隨時間尺度的增大出現(xiàn)了明顯的正負(fù)交替：1～11 a，14～26 a，49～54 a為負(fù)相關(guān)區(qū)間；12～13 a，27～48 a為正相關(guān)區(qū)間。這樣的交替變化使得小波互相關(guān)度的計算結(jié)果接近于0(-0.158 8)，兩序列呈微弱的負(fù)相關(guān)關(guān)系。

圖6遼河流域年蒸發(fā)量小波分析結(jié)果

一般認(rèn)為，在以自然降水為主要河流水源的地區(qū)，年均溫與蒸發(fā)量對徑流量有負(fù)向影響，降水量對徑流量有正向影響[25-26]。然而，小波互相關(guān)的分析結(jié)果卻得到了與之相矛盾的結(jié)論：其一，徑流量與年均溫的小波互相關(guān)系數(shù)在較大時間尺度上出現(xiàn)正值，導(dǎo)致互相關(guān)系數(shù)的加權(quán)平均值為正，即兩者在總體上呈正相關(guān)關(guān)系；其二，徑流量與年降水量在較大尺度上呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。上述矛盾在陳效逑等[2]對黃河流域徑流量與氣候因子的互相關(guān)分析中也有出現(xiàn)。究其原因，我們認(rèn)為各氣候因子間的相關(guān)關(guān)系影響了互相關(guān)分析結(jié)果。如圖7所示，年均溫與年降水量、年蒸發(fā)量均存在較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系(相關(guān)系數(shù)分別為0.489 9，0.668 6)。因此，在分析單一氣候因子對流域徑流量的作用時，必須對這些相關(guān)關(guān)系進(jìn)行處理和排除。為此，本研究引入了偏相關(guān)系數(shù)對小波互相關(guān)系數(shù)進(jìn)行校正。

校正后的小波互相關(guān)分析結(jié)果如圖8所示。圖中的不顯著域由參與互(偏)相關(guān)系數(shù)計算的樣本量(54)、置信度水平(95%)決定，通過查詢統(tǒng)計用表[13]可知，本例中互相關(guān)系數(shù)的不顯著域為[-0.273,0.273]；偏相關(guān)系數(shù)的不顯著域為[-0.379,0.379]。

在排除年降水量和蒸發(fā)量的影響后，年徑流量與年均溫在幾乎全部時間尺度(除54 a)呈負(fù)相關(guān)或不顯著相關(guān)關(guān)系(圖8A)，系數(shù)加權(quán)平均值由校正前的0.202 1變?yōu)?0.650 3，兩序列從總體上的正相關(guān)轉(zhuǎn)變?yōu)樨?fù)相關(guān)。此外，盡管偏相關(guān)系數(shù)的不顯著域范圍大于互相關(guān)系數(shù)，前者落入不顯著域中的值個數(shù)卻少于后者，這表明經(jīng)偏相關(guān)處理后，時間序列數(shù)據(jù)在不同時間尺度上的特征得到增強(qiáng)，更能夠反映氣候因子對因變量真實且獨立的影響。

經(jīng)校正，年降水量在全部時間尺度上表現(xiàn)出對徑流量的正向影響(圖8B)。互相關(guān)系數(shù)在48 a尺度后的迅速轉(zhuǎn)負(fù)得到了控制并表現(xiàn)為顯著的正相關(guān)，雖然在固定年均溫和年蒸發(fā)量后，系數(shù)加權(quán)平均值出現(xiàn)了微弱的下降(由0.874 3降至0.860 9)，但依舊可以認(rèn)為遼河流域徑流量的波動變化與年降水量密切相關(guān)，且兩者間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系。

雖然經(jīng)過校正后年蒸發(fā)量與徑流量間的負(fù)相關(guān)關(guān)系得到加強(qiáng)(系數(shù)加權(quán)平均值由-0.158 8變?yōu)?0.450 5)，但由于系數(shù)值落入不顯著域內(nèi)的個數(shù)過多，因此不能認(rèn)為蒸發(fā)量對徑流量存在顯著的負(fù)向影響(圖8C)。同時，由于大尺度上兩者偏相關(guān)系數(shù)為負(fù)，可以歸因于年蒸發(fā)量在研究時段兩端出現(xiàn)的較低值對大尺度小波系數(shù)的控制(圖2)，因此應(yīng)優(yōu)先考慮較小時間尺度上的系數(shù)值。以徑流量的較大主周期36 a為界，考察小尺度上偏相關(guān)系數(shù)值的分布，可以發(fā)現(xiàn)：正值與負(fù)值數(shù)量基本持平(分別為17個和19個)，在不顯著域外的負(fù)值對正值在數(shù)量上也沒有絕對的優(yōu)勢(分別為10個和5個)。綜上，我們認(rèn)為年蒸發(fā)量與徑流量的波動周期不存在顯著的相關(guān)關(guān)系。

圖7遼河流域徑流量與氣候因子及各氣候因子間小波互相關(guān)分析結(jié)果

4 結(jié) 論

本研究綜合利用小波分析、小波互相關(guān)與偏相關(guān)分析方法探究了遼河流域徑流量、年均溫、年降水量以及年蒸發(fā)量的多時間尺度特征及其相關(guān)關(guān)系。結(jié)論如下：(1) 1956—2009年，遼河流域徑流量存在以10 a為主的短波動周期和以36 a為主的長波動周期；(2) 受極端氣候出現(xiàn)頻率增加的影響，流域年均溫波動變化周期逐年縮短。此外，年降水量的周期性特征與徑流量相似，存在以10 a和36 a為主周期的波動。年蒸發(fā)量不存在明顯的周期變化規(guī)律；(3) 流域年均溫的增加以及年降水量的減少是徑流量減少的直接誘因。排除年均溫影響時，年蒸發(fā)量與徑流量之間不存在顯著的相關(guān)關(guān)系，可以判定其為間接因素。

本研究通過引入偏相關(guān)系數(shù)更新了基于小波分析與小波互相關(guān)進(jìn)行時間序列數(shù)據(jù)相關(guān)性研究的范式，得到了較已有方法更符合先驗知識的結(jié)論，更好地解釋了流域徑流量年際變化的成因。研究所得的關(guān)于遼河流域徑流量的周期性變化規(guī)律及其驅(qū)動因子的分析結(jié)果對流域水資源的管理和調(diào)度也有重要的參考意義。但同時需要指出的是，本研究還存在以下不足之處：(1) 研究僅考慮了氣候因子對徑流量的影響，沒有考察人為因素對徑流量的調(diào)控；(2) 研究僅給出了定性關(guān)系，沒有深入分析各氣候因子對徑流量的貢獻(xiàn)率；(3) 年蒸發(fā)量在研究時段兩端的較低值對結(jié)論有較大的影響，因而需要使用時間跨度更大，更加精細(xì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行補充分析。上述不足之處需要在之后的研究工作中加以改善。

圖8遼河流域徑流量與各氣候因子間小波互相關(guān)與偏相關(guān)系數(shù)比較