例談含參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

摘 要：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高考?？嫉膬?nèi)容之一，更是學(xué)生的難點(diǎn)。函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題就是對(duì)應(yīng)方程的根的問(wèn)題，若求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，一般要將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再由方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)圖像的交點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)的零點(diǎn)；方程的解；圖像交點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)

關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題就是對(duì)應(yīng)方程的根的問(wèn)題，若求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，一般要將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，再由方程的解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，掌握函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的解決方法，對(duì)于解決這類題目有一定的幫助，本文將從一道題（臨夏中學(xué)高三年級(jí)2018～2019學(xué)年度第一學(xué)期期中考試?yán)砜凭?1題）出發(fā)，給出兩種解法，通過(guò)分析比較得出最容易掌握的方法。

題目：已知函數(shù)f（x）=2a2lnx-x2（a>0）。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)；（3）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e2）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（e≈2.718…）。

解法一：（1）略 （2）∵f（x）=2a2lnx-x2（a>0），f′（x）=（2a2-2x2）/x?！選>0，a>0，∴當(dāng)00，當(dāng)x>a時(shí)，f′（x）<0，∴f（x）在（0，a）上是增函數(shù)，在（a，+∞）上是減函數(shù)。

（3）由（2）得f（x）max=f（a）=a2（2lna-1）

①當(dāng)a2（2lna-1）<0，即0

②當(dāng)a2（2lna-1）=0，即a=e時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，而1

③當(dāng)a2（2lna-1）>0，即a>e時(shí)，由于f（1）<0，f（a）>0，f（e2）=（2a-e2）（2a+e2）；當(dāng)2a-e2<0，即ee時(shí)，f（e）>0，f（1）=-1<0，由函數(shù)的單調(diào)性知，f（x）在（1，e）內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，在（e，e2）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，從而f（x）在（1，e2）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)o

解法二：（1）（2）略 （3）求函數(shù)f（x）在（1，e2）上零點(diǎn)個(gè)數(shù)求方程f（x）=0（2a2lnx-x2=0）在（1，e2）上根的個(gè)數(shù)求函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx圖像交點(diǎn)的問(wèn)題。

令g（x）=x2/lnx，則g′（x）=x（2lnx-1）/（lnx）2，令g′（x）=0，得x=e。

當(dāng)x→1時(shí)，lnx→0，g（x）=x2/lnx→+∞；當(dāng)x=e2時(shí)，g（e2）=e4/2；當(dāng)x=e時(shí)，g（e）=2e，

x（1，e）e（e，e2）

g′（x）-0+

g（x）極小值

當(dāng)2a2=2e或2a2≥e4/2時(shí)，函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx圖像有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)2a2∈（2e，e4/2）時(shí)，函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx的圖像有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)2a2∈（0，2e）時(shí)，函數(shù)y=2a2（a>0）與y=x2/lnx的圖像有0個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)a=e或a∈[e2/2，+∞）時(shí)，函數(shù)y=2a2lnx-x2有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a∈（e，e2/2）時(shí)，函數(shù)y=2a2lnx-x2有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a∈（0，e）時(shí)，函數(shù)y=2a2lnx-x2無(wú)零點(diǎn)。

解法二的解題回顧

1. 轉(zhuǎn)化的思想。解法二將求函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程根的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一個(gè)常函數(shù)與一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，接下來(lái)的解題過(guò)程就變成畫(huà)函數(shù)圖像的問(wèn)題。

2. 在畫(huà)函數(shù)g（x）圖像時(shí)，在考慮開(kāi)區(qū)間的端點(diǎn)處時(shí)用了逼近的思想。

3. 數(shù)形結(jié)合，直觀判斷。根據(jù)參數(shù)范圍確定兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

比較分析

本文中的題目，解法一和解法二都用了導(dǎo)數(shù)來(lái)研究圖像，都用了數(shù)形結(jié)合的思想，不同在于，解法一研究的是原函數(shù)圖像，而原函數(shù)解析式含有參數(shù)，故需對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，再次對(duì)極大值進(jìn)行分類討論，分類過(guò)程中還要對(duì)端點(diǎn)進(jìn)行分類，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，難度是超高難度。本文給出的解法二，將求函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的根的問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一個(gè)常函數(shù)與一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，接下來(lái)的解題過(guò)程就變成畫(huà)函數(shù)圖像的問(wèn)題了，是一道中等難度的題，所以易看到解法二在很大程度上降低了這道題的難度。

解法二中，在畫(huà)函數(shù)g（x）圖像時(shí)，用了逼近的思想，雖然極限是高中的超綱內(nèi)容，但是羅增儒教授在《高考數(shù)學(xué)萬(wàn)能解題法》一書(shū)中，提到對(duì)于學(xué)有余力的同學(xué)，應(yīng)把課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱作為學(xué)習(xí)的最低要求，而超越課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱是一個(gè)理性的選擇。著名教育家B.A.蘇霍姆林斯基曾經(jīng)指出：“如果教師引導(dǎo)最有才能的學(xué)生超出教學(xué)大綱的范圍，那么集體的智力生活就會(huì)變得豐富多彩，從而影響最差的學(xué)生也不敢落后。”

高考解題需要我們迅速解決“從何處下手，向何方前進(jìn)”這兩個(gè)基本問(wèn)題，臨場(chǎng)上的思維策略因時(shí)間的限制主要靠模式識(shí)別，而解法二恰是解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常規(guī)的思維模式。

結(jié)束語(yǔ)

本文給出的解法二是在常規(guī)的思維模式下，結(jié)合逼近的極限思想畫(huà)圖，數(shù)形結(jié)合，對(duì)題目展開(kāi)，通過(guò)解法一和解法二的比較分析，易得解法二在很大程度上降低了這道題的難度，不但解決了這個(gè)問(wèn)題，而且更有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

侯斐斐，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅臨夏中學(xué)。