參數方程解決圓錐曲線問題的應用

摘 要：本文應用參數方程解決高中數學中的定值、定量、最值等問題。圓錐曲線問題是高中數學的難點，也是高考的熱點。圓錐曲線方程的解析方法，代數方法在平面曲線中發揮著強大的作用，解決這一類問題充分體現了數形結合思想。在本文中對圓錐曲線參數方程在高中數學解題中遇到的定值、定量、最值等問題的應用進行研究分析。

關鍵詞：圓錐曲線；定值；定量；最值

一、 定值問題

【例1】 （2016·北京卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A（2，0），B（0，1）兩點。

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值。

解：（1）解由題意知a=2，b=1，c=a2-b2=3。橢圓離心率e=ca=32。

（2）證明：設P點坐標為（2cosθ，sinθ）θ∈π，3π2，由B點坐標（0，1）得直線PB方程為：y-1=sinθ-12cosθ（x-0），令y=0，得xN=2cosθ1-sinθ，從而|AN|=2-xN=2-2cosθ1-sinθ，

由A點坐標（2，0）得直線PA方程為y-0=sinθ2cosθ-2（x-2），令x=0，得yM=sinθ1-cosθ，

從而|BM|=1-yM=1-sinθ1-cosθ，所以S四邊形ABNM=12|AN|·|BM|=122-2cosθ1-sinθ·1-sinθ1-cosθ=1-sinθ1-cosθ-cosθ1-sinθ+sinθcosθ（1-cosθ）（1-sinθ）=2-2sinθ-2cosθ+2sinθcosθ1-sinθ-cosθ+sinθcosθ=2。

即四邊形ABNM的面積為定值2。

評注：本題考查橢圓方程的求解和橢圓與直線相交的面積等值問題，應用直線與曲線相交的代數方法可以解決，也可以應用橢圓的參數方程解決。

二、 定量相等

【例2】 如圖所示，已知AB、CD是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩條相交于點P的弦，AB、CD與x軸的夾角互補，求證：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|。

證明：設點P（x0，y0），則直線AB的參數方程為

x=x0+tcosα，y=y0+tsinα，（t為參數）

代入x2a2+y2b2=1（a>b>0）并整理，得到

（b2cos2α+a2sin2α）t2+（2b2x0cosα+2a2y0sinα）t+b2x20+a2y20-a2b2=0（1）

已知直線AB與橢圓有兩個交點，方程（1）有兩個根。設這兩個根分別為t1，t2，則

|PA|·|PB|=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α（2）

直線CD與AB的傾斜角互補，則直線的傾斜角為π-a，則

|PC|·|PD|=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2（π-α）+a2sin2（π-α）=b2x20+a2y20-a2b2b2cos2α+a2sin2α=|PA|·|PB|

|PA|·|PB|=|PC|·|PD|

評注：本題考查圓錐曲線與直線相交問題，應用直線與曲線相交的代數方法可以解決，但是計算量比較大，而我們應用直線參數方程中參數t的幾何意義，解決了本題中的等值問題，充分體現了參數方程解決等值問題的優點和好處。

三、 最值問題

【例3】 （2016·四川卷）在平面內，定點A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動點P，M滿足|AP|=1，PM=MC，求|BM|2的最大值。

解：已知∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.以D為原點，直線DA為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，

|AP|=1，得（x-2）2+y2=1，圓的參數方程為x=2+cosθy=sinθ（θ為參數）。則P（2+cosθ，sinθ）。又PM=MC，∴Mcosθ+12，sinθ+32，∴BM=cosθ+32，sinθ+332，

∴|BM|2=（cosθ+3）2+（sinθ+33）24=37+12sinθ+π64，當sinθ+π6=1時，（|BM|2）max=494。

評注：本題考查平面向量的數量積運算，要求解向量模的平方的最大值，用圓的參數方程表示圓上的點，根據三角函數的最值得出向量模的平方的最大值。因此本題用參數方程簡化了計算，并且充分體現了參數思想在圓錐曲線中的應用及數形結合的數學思想。由上可知，應用參數方程可以快速地解決有些圓錐曲線問題，這讓我們在面對有些束手無策的圓錐曲線題目能從容應對。

作者簡介：

郭慧玲，甘肅省武威市，武威市第六中學。