不可約內部算子和不可約閉包算子

徐款款，盧 濤

(淮北師范大學數學科學學院，安徽淮北 235000)

偏序集上的內部算子和閉包算子[1]是對點集拓撲學中的內部和閉包的抽象和完善.很多學者對它進行了研究，路玲霞[2]、姚衛[3]分別給出內部算子和閉包算子與伴隨的關系及其性質.本文在格上給出不可約閉包算子和不可約內部算子的定義，并研究了相關性質及其等價刻畫，進一步豐富了偏序集上的算子理論.

1 預備知識

定義1.1[4]設L是格，a∈L，(1)設a≠1，若?x,y∈L，當x∧y=a時，有x=a或y=a，則稱a是L的交既約元；(2)設a≠0，若?x,y∈L，當x∨y=a時，有x=a或y=a，則稱a是L的并既約元.

定義1.2[5]設S和T是偏序集，f:S→T,g:T→S是映射，若(1)f和g都是保序映射；(2)?s∈S,t∈T，f(s)≥t?s≥g(t)，則稱偶對(f,g)是S和T上的Galois伴隨(簡稱伴隨).其中，f稱為上伴隨，g稱為下伴隨.

定義1.3[6]設L是半格，F:L→L是映射，對任意的a∈L，設a≠1，如果對一切的x,y∈L，當F(x∧y)≤a時，有F(x)≤a或F(y)≤a，則稱F為L上的素內部算子.

定義1.4[6]設L是并半格，F:L→L是映射，對任意的a∈L，設a≠0，如果對一切的x,y∈L，當F(x∨y)≥a時，有F(x)≥a或F(y)≥a，則稱F為L上的素閉包算子.

2 不可約內部算子與不可約閉包算子

定義2.1 設L是半格，F:L→L是保序映射，對任意的a∈L，設a≠1，如果對任意的x,y∈L，當F(x∧y)=a時，有F(x)=a或F(y)=a，則稱F為L上的不可約內部算子.

定義2.2 設L是并半格，F:L→L是保序映射，對任意的a∈L，設a≠0，如果對任意的x,y∈L，當F(x∨y)=a時，有F(x)=a或F(y)=a，則稱F為L上的不可約閉包算子.

顯然，根據不可約內部算子和不可約閉包算子定義,有以下結論：(1)設L是格，若L上的恒等映射F:L→L是保序映射，a∈L,a≠1，且a是L的交既約元，則F為L上的不可約內部算子；(2)設L是格，若L上的恒等映射F:L→L是保序映射，a∈L,a≠0，且a是L的并既約元，則F為L上的不可約閉包算子.

命題2.1 設L是半格，F:L→L是半格同構映射，對?a∈L，若F為不可約內部算子，則a是L上的交既約元.

證明 設a≠1，對?x,y∈L，當x∧y=a時，由F保序知，F(x∧y)=F(a).因為F為不可約內部算子，則F(x)=F(a)或F(y)=F(a).由F逆保序知，x=a或y=a，故a是L上的交既約元.

相應地，有以下命題：

命題2.2 設L是并半格，F:L→L是并半格同構映射，對?a∈L，若F為不可約閉包算子，則a是L上的并既約元.

定理2.1 設(f,g)是格S和T上的伴隨且f保并，g保交，(1)若任意的a∈T是并既約元，則gf是不可約閉包算子；(2)若任意的a∈S是交既約元，則fg是不可約內部算子.

證明 (1)?x,y∈T，若fg(x∨y)=a，則fg(x)∨fg(y)=a.因為a是并既約元，則fg(x)=a或fg(y)=a，故fg是不可約閉包算子.

(2)?x,y∈S，若fg(x∧y)=a，則fg(x)∧fg(y)=a.因為a是交既約元，則fg(x)=a或fg(y)=a，故fg是不可約內部算子.

接下來給出不可約閉包算子和不可約內部算子與素閉包算子和素內部算子的關系：

定理2.2 設L是分配格，F:L→L是保序映射，則(1)F是素內部算子當且僅當F是不可約內部算子；(2)F是素閉包算子當且僅當F是不可約閉包算子.

證明 (1)設F是不可約內部算子，若?x,y∈L,?a∈L,F(x∧y)≤a，則由分配律可知，a=F(x∧y)∨a=a∨(F(x)∧F(y))=(a∨F(x))∧(a∨F(y))，則a=a∨F(x)或a=a∨F(y)，從而F(x)≤a或F(y)≤a，故F是素內部算子.

反過來，設F是素內部算子，若?x,y∈L,?a∈L,F(x∧y)=a，則F(x∧y)≤a且F(x∧y)≥a，當F(x∧y)≤a時，F(x)≤a或F(y)≤a；當F(x∧y)≥a時，a≤F(x)或a≤F(y)，故F(x)=a或F(y)=a，F是不可約內部算子.

類似可證結論(2).

定理2.3[4]設L是格，F是L上的閉包算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的素內部算子當且僅當主理想↓(F(a))是素理想.

定理2.4[4]設L是格，F是L上的內部算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的素閉包算子當且僅當主濾子↑(F(a))是素濾子.

根據定理2.2、定理2.3和定理2.4有以下結論：

定理2.5 設L是分配格，F是L上的閉包算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的不可約內部算子當且僅當主理想↓(F(a))是素理想.

定理2.6 設L是分配格，F是L上的內部算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的不可約閉包算子當且僅當主濾子↑(F(a))是素濾子.

定理2.7 設L是完備格，映射{gi}i∈I:L→L保序，(1)對任意的a∈L，若a是交既約元，則L上的所有不可約內部算子構成的集合是完備格；(2)對任意的a∈L，若a是并既約元，則所有不可約閉包算子構成的集合是完備格.

證明 設任意的映射{gi}i∈I是不可約內部算子，設g=∧i∈Igi，則g保序.任意的a∈L,a≠1，?x,y∈L，當∧i∈Igi(x∧y)=a時，即(∧i∈Igi(x))∧(∧i∈Igi(y))=a，又因為a是交既約元，故∧i∈Igi(x)=a或∧i∈Igi(y)=a，從而∧i∈Igi是不可約內部算子，即所有不可約內部算子構成的集合對任意交封閉，故L上的所有不可約內部算子構成的集合是完備格.

同理可證，L上的所有不可約閉包算子構成的集合是完備格.

設f是不可約內部算子，g是不可約閉包算子，令Lf={a∈L:f(a)=a},Lg={a∈L:g(a)=a}，若f,g冪等，則Lf，Lg非空.若L是完備格，則Lf是交完備子格(即對任意交封閉)，Lg是并完備子格(即對任意并封閉).

定理2.8 設L是完備格，映射f:L→L是冪等的，若存在L的并完備格子格L1，使?a∈L，都有f(a)=∨↓L1a成立，其中↓L1a={x∈L:x≤a}，則f是素內部算子.

證明 ?a,b∈L，使a≤b，則↓L1a?↓L1b，從而∨↓L1a?∨↓L1b，即f(a)≤f(b)，從而f保序.因為f(a∧b)=f(b)=↓L1b={x∈L:x≤b}≤b，又因為f冪等，則a=f(a)≤f(b)=b≤b，從而f(a)≤b或f(b)≤b，故f是素內部算子.

定理2.9 設L是完備格，映射f:L→L是冪等的，若存在L的交完備格子格L1，使?a∈L，都有f(a)=∧↑L1a成立，其中↑L1a={x∈L:x≥a}，則f是素閉包算子.

最后給出關于布爾代數上的不可約閉包算子與不可約內部算子的等價刻畫.

設L是布爾代數，:L→L是相應的補運算(即滿足?a∈L,a∧a=0,a∨a=1).易知，:L→L為逆合對應，即?x,y∈L,x≤y?x≥y.證明過程可見參考文獻[7].

定理2.10 設L是布爾代數，:L→L是補運算，對?a∈L，若f是不可約內部算子，g是不可約閉包算子，則f是不可約閉包算子，g是不可約內部算子.