解壓軸題：抽絲剝繭 逐步到位

許銀伙 楊蒼洲

(1.福建省泉州外國語中學 362000；2.福建省泉州第五中學 362000)

壓軸題形式多樣，沒有固定模式，條件與結論的關系通常不容易理清，解題思路經常模糊乃至茫然．本篇介紹一種應對方法：認真分析，對條件逐層展現與轉化，對小問題逐個解決，抽絲剝繭，正難則反，分析反推，逐步到位．

分析與證明【數學歸納法】

因為1

(1)求數列{an}的通項公式；

分析與解(1)an=n．

方法一(數學歸納法)

∴n=1時，不等式成立．

問題得證．

反思與評注問題(2)不容易連貫證明，就分為兩個不等式，逐個解決．依據各式特點，采用數學歸納法和分析法，正面推導與反向探索綜合運用，逐步達到目的．

例題3 已知函數f(x)=lnx．

分析與解(1)a=-2．

(3)由已知得：g(x)=ex，則A(a,ea)，B(b,eb)，

可得一個關于a和b的不等式：

反思與評注作為壓軸題，問題(2)不等式關于a∈[-1,0)和x∈(0,1]恒成立，先求出含參數a的一邊關于a∈[-1,0)的最值，消除a后再考慮關于x∈(0,1]恒成立如何解決，這是關于變量抽絲剝繭，逐步到位．問題(3)貌似抽象，實則簡單，只需理解題意，把相關面積求出，就可見問題解決的曙光．理解題意，逐個展現，逐步深入，摸索前進，是解決問題的通法．

例題4 已知函數f(x)=ekx-2x(k為非零常數).

(1)當k=1時，求函數f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥1恒成立，求k的值；

(3)對于函數f(x)增區間內的三個實數x1,x2,x3(其中x1

分析與解(1)f(x)最小值為f(ln2)=2-2ln2．

(2)所求k=2．

方法一令t1=k(x2-x1)，t2=k(x3-x2)，則t1>0，t2>0.

令φ(x)=x+e-x-1 (x>0)，則φ′(x)=1-e-x>0對x>0恒成立，所以φ(x)對x>0遞增，因為φ(0)=0，所以φ(x)>0對x>0恒成立，則h′(x)>0，h(x)關于x>0遞增.由t2>0得：h(t2)>h(0)=0，問題得證．

令φ(x)=ex-(x+1)， 因為k>0且x10,φ[k(x1-x2)]>0，φ[k(x3-x2)]>0.

反思與評注問題(3)較為抽象，難度大，解決時運用分析法，抽絲剝繭，去粗取精，得到簡潔待證式．方法一運用換元法，簡化問題，然后把兩個未知數中的其中一個當成自變量，構造函數，這是遇到無法分離參數時的常用解法．方法二是由式子的幾何意義和圖象特征，引入中間量，然后變形，構造函數解決，它需要扎實的數學功底、圖形意識和開拓創新能力．