混凝土梁柱極限撓度和裂縫寬度計算

涂好祖 （安徽天成建設有限公司，安徽 六安 237000）

0 前言

典型的受彎構件正截面試驗梁一般為單筋矩形截面簡支梁，該梁應具有足夠的抗剪能力，以保證在受彎實驗中不發生剪切破壞。其加載方式為集中荷載跨中加載，荷載逐級加載，由零開始直至梁正截面受彎破壞，此時跨中變形最大，即為最大撓度，同時也是最大裂縫寬度出現的位置。在實際工程中，由于荷載作用位置的不準確性，混凝土的非均勻性和施工偏差等原因，都可能使結構構件的偏心距加大，鋼筋混凝土柱采用柱頂水平力與豎向力加載方式，模擬工程實踐中可能出現的柱偏心受壓以及受到剪力的受力狀態，計算柱的最大撓度和最大裂縫寬度。圖1為梁在集中荷載下的加載圖，圖2為柱在水平荷載和豎向荷載作用下的加載圖。

圖1 集中荷載加載圖

圖2 柱加載圖

1 構件基本參數

混凝土使用C30,梁截面尺寸為250mm×250mm,凈跨為5m,保護層厚度c=20mm，縱筋和箍筋都為HRB400 混凝土材料參數：fc=14.3N/mm2，fck=20.1N/mm2，ft=1.43N/mm2，ftk=2.01N/mm2，EC=3.00 ×104N/mm2，ho=460mm。鋼筋材料參數：fy=360N/mm2，ES=2.00×105N/mm2。

2 單筋矩形截面梁最大撓度和最大裂縫計算

2.1 正截面承載力基本計算公式

式中:α1混凝土強度等級小于獲等于C50時,取α1=1.0?？v筋面積 As=1256mm2。由公式（1）可計算出構件能承受的最大彎矩和最大剪力。代入求得最大彎矩為 179.507kN·m,最大剪力為 71.8kN。

2.2 斜承載力基本計算公式

式中：λ為計算截面的剪跨比，λ=a/h0,a為集中荷載作用點距支座截面或節點邊緣的距離；當λ<1.5時取1.5；當λ>3時取3。由公式（2）可計算箍筋。截面配筋見圖3。

圖3

2.3 剛度計算公式

式中:Bs為鋼筋混凝土梁開裂后的短期剛度，由于不考慮荷載的長期作用，即不考慮受壓區混凝土發生的徐變，所以采用短期剛度；Ψ為裂縫間縱向受拉鋼筋應變不均勻系數，當Ψ<0.2時取0.2，當Ψ>1.0時取1.0，對直接承受重復荷載的構件取Ψ=1.0；γf'為受壓翼緣加強系數，對矩形截面，γf'=0。

由公式（3）可以計算出鋼筋混凝土梁開裂后的短期剛度BS=3.15×1013N·mm2

2.4 變形和裂縫寬度計算公式

式中：αcr為構件受力特征系數，對受彎、偏心受壓構件，取αcr=1.9；對偏心受拉構件，取αcr=2.4；對軸心受拉構件，取αcr=2.7；CS為最外層縱向受拉鋼筋外邊緣至受拉區底邊的距離，當CS<20mm時，取CS=20mm;當 CS>65mm 時，取 CS=65mm。由公式（4）計算得跨中最大撓度變形為11.872mm;由公式（5）計算得最大裂縫寬度為0.414mm。

3 對稱配筋柱受壓計算

同時承受軸力和彎矩的構件為偏心受壓構件，軸力N和彎矩M的共同作用等效于一個偏心距e0=M/N的偏心壓力的作用，因此偏心受壓構件不僅是最基本、應用最廣泛的構件之一。如圖2所示的鋼筋混凝土柱受到水平力P和豎向軸壓力N的作用，相當于偏心受壓。柱在給定軸壓比、縱筋、箍筋的條件下驗算其承載力，計算其最大變形、最大裂縫寬度。柱截面配筋見圖4，縱筋單側配筋率為0.6%，即As=942mm2；全部縱筋配筋率為1.2%,在要求范圍內（0.5%～5.0%)。

圖4

3.1 N和e的計算

給定的軸壓比為λ=0.4，由此計算出軸力N、e,基本公式如下。

求得N=915200N,e=399mm

3.2 對稱配筋時大小偏心的判別

將（7）式求得的結果代入可判斷柱為大偏心受壓。

3.3 水平力P的計算

由（7）式求得的e可以求出柱承受的彎矩M，依據M可求出所能承受的等效水平力P.基本公式如下。

由上式求得：M=200.429kN·m，P=67kN。

3.4 箍筋的驗算

在給定箍筋配筋的情況下須驗證柱子能承受的最大剪力，柱子兩端在壓力的作用下對其抗剪能力有一定的提高，量化后具體為0.07N（Nmax為0.3fcA）

由上式求得柱子能承受的最大剪力為204kN,大于水平力P，故柱子抗剪能力滿足要求。

3.5 最大變形和最大裂縫寬度計算

由圖5（a）所示，柱最大變形發生在柱頂,根據結構力學圖乘法可求得變形量大小,如圖5（b）所示。

圖5

3.5.1 短期剛度Bs計算

不考慮荷載的長期作用，即不考慮受壓區混凝土的徐變，故構件剛度采用短期剛度。

式中：Bs為鋼筋混凝土梁開裂后的短期剛度，由于不考慮荷載的長期作用，即不考慮受壓區混凝土發生的徐變，所以采用短期剛度；Ψ為裂縫間縱向受拉鋼筋應變不均勻系數，當Ψ<0.2時取0.2，當Ψ>1.0時取1.0，對直接承受重復荷載的構件取Ψ=1.0；γf'為受壓翼緣加強系數，對矩形截面，γf'=0。

由公式（3）可以計算出鋼筋混凝土梁開裂后的短期剛度BS=1.76×1013N·mm2

3.5.2 撓度公式

式中：A為任一彎矩圖面積，y0取自另一圖形形心處對應于直線圖形處的高度，EI構件抗彎剛度，即本構件的短期剛度Bs.求得最大撓度為34.26mm,最大撓度出現柱頂。

3.5.3 最大裂縫寬度公式

式中：αcr為構件受力特征系數，對受彎、偏心受壓構件，取αcr=1.9；對偏心受拉構件，取αcr=2.4；對軸心受拉構件，取αcr=2.7；CS為最外層縱向受拉鋼筋外邊緣至受拉區底邊的距離，當CS<20mm時，取CS=20mm;當 CS>65mm 時，取 CS=65mm。由公式（14）計算得最大裂縫寬度為0.54mm。

4 結語

利用混凝土基本原理中的構件的正截面設計和斜截面設計等原理和結構力學基本方法的結合，可以驗算構件配筋的合理性，計算最大撓度、最大裂縫出現的位置及大小，通過具體的實驗得出的結論為工程實踐提供一定的參考。