基于改進GM(1, 1)與WOA-LSSVM組合預測模型的軌道不平順預測

馮 超,余朝剛,孫 雷,秦 鑫

(上海工程技術大學城市軌道交通學院,上海 201620)

1 概述

軌道不平順是軌道質量狀態的體現，是影響列車運行安全與乘客舒適性的重要因素。列車運行產生的巨大作用力會直接作用在軌道上，當軌道形變達到一定程度，列車的行車安全必然會受到威脅[1]。

軌道不平順的形成與發展受到軌道因素、荷載因素、路基因素、自然因素等諸多因素影響，且無法量化這些因素，造成軌道不平順發展的隨機性與復雜性[2]。利用軌檢車歷史檢測數據分析并預測軌道不平順趨勢，有利于合理安排線路實施“狀態修”。國內外學者都對軌道不平順預測做了大量的研究，日本學者提出了非線性預測公式和S預測公式等。加拿大PWMIS系統建立了線性預測模型。由于我國主要采用軌道質量指數(TQI)來評判軌道狀態，針對TQI預測，張念等[1]提出了一種基于數據選擇向量的非等時距灰色模型與神經網絡結合的組合預測模型。許玉德等[3]利用線性預測模型對TQI發展趨勢進行預測。陳憲麥等[4]提出軌道不平順檢測數據的綜合因子法。曲建軍等[5]提出了軌道不平順TITCGM(1，1)-PC灰色非線性預測模型，分別對TQI短期和中、長期發展進行預測。韓晉等[6]提出了一種基于非等時距加權灰色模型與神經網絡的組合預測模型。目前建立的軌道不平順預測模型大多使用較老軌檢數據，不符合現今高速鐵路軌道不平順發展趨勢，預測精度不高，缺少普適性。

本文提出一種改進GM(1，1)與LSSVM的軌道不平順組合預測模型。首先改進傳統的非等時距灰色模型的灰色作用量，使其適用于近似非齊次非等時距的TQI序列，并引入加權矩陣，提高灰色模型擬合預測精度。在殘差序列處理中，采用對非線性預測效果好、泛化能力強的LSSVM模型對殘差進行修正，提高軌道不平順的預測精度。

2 TQI組合預測模型原理

灰色模型適合貧信息、小樣本的灰色系統，且數據需滿足一定的線性規律，具有一定局限性。最小二乘支持向量機是支持向量機的一種改進形式，所需優化參數更少，且提高了學習速度。依據軌檢車檢測數據，TQI時間序列數值呈現為遞增、隨機波動的趨勢，且數據近似符合非齊次指數規律。因此通過改進的GM(1，1)模型預測TQI序列中趨勢項，并通過WOA-LSSVM模型預測其殘差序列，建立改進的GM(1，1)與WOA-LSSVM的軌道不平順組合預測模型。

2.1 改進非等時距GM(1，1)模型的建立

2.1.1 級比檢驗及1-AGO序列生成

灰色模型建模前，需進行級比檢驗，滿足灰色建模的必要條件，設TQI非等時距歷史檢測序列為：X(0)(ti)={x(0)(t1)，x(0)(t2)，x(0)(t3)，…，x(0)(tn)}，計算歷史檢測序列的級比

(1)

當級比k(ti)∈(e-2/(n+1)，e2/(n+1))時，數據可直接建模，否則需對原始數據x(0)(ti)選取適當的平移常數C進行平移變化，使新序列級比均落在區間內。

由于軌檢車不是定期作業，軌檢TQI數據也會因雨天等不可抗因素產生測量失真，所以采用非等時距GM(1，1)模型。設TQI序列的時間間距為Δti=ti-ti-1≠const，i=2，3，…，n，令Δt1=1。對TQI序列進行一次累加生成新序列為

X(1)(ti)={x(1)(t1)，x(1)(t2)，…，x(1)(tn)}

(2)

2.1.2 建立常參數微分方程

通過分析非等間距建模原理與TQI實測數據序列，發現實際檢測的歷史序列滿足近似非齊次特點，基于傳統非等間距模型提出近似非齊次非等間距GM(1，1)的改進模型。通過改進灰色作用量，使得改進的GM(1，1)模型的白化微分方程為

(3)

在區間[ti-1，ti]上，對其等式兩邊積分得

(4)

其中，a為發展系數，是系統發展態勢；b+ct為優化的灰色作用量，反映的數據變化的不確定關系，z(1)(ti)為x(1)(t)在[ti-1，ti]上的背景值。

2.1.3 背景值優化

模型的擬合和預測精度取決于參數a、b、c的求解，而參數a、b、c的求解又依賴于背景值z(1)(ti)的構造形式，傳統背景值求解形式采用梯形公式近似求解在區間[ti-1，ti]上一次累加序列x(1)(ti)與x軸構成的面積

(5)

但當x(1)(ti)在[ti-1，ti]上急劇變化時，近似滿足指數形式，本文采用x(1)(ti)=kemt形式擬合一次累加序列，式中k、m均為常系數，構造出的背景值為

(6)

2.1.4 加權矩陣設置

對于距離預測時間點越近的數據，采用權矩陣賦予更高的權重[6]，以提高擬合精度，定義加權矩陣為

P=diag(wn-1)

(7)

式中，w為權遞增因子，一般取w=1～2。本文計算中取w=1.3。

2.1.5 構建時間響應序列

同傳統非等時距GM(1，1)模型求解方法一樣，利用式最小二乘法求解a、b、c的估計值為

(8)

其中：

則時間序列響應函數為

(9)

還原到原始序列為

(10)

如果之前未通過級比檢驗，進行了平移變換，需對預測序列值進行反平移變換。

2.2 基于LSSVM的殘差修正模型

上述灰色模型對原始TQI時間序列進行擬合預測時，擬合出的曲線為近似光滑曲線，沒有體現原始序列隨機波動的特性，部分數據誤差仍較大。在去除灰色預測的趨勢性成分后，殘差序列呈現正負隨機波動特征，采用對非線性預測效果好、泛化能力強的最小二乘支持向量機，并結合一種新的群體智能優化算法—WOA算法，對LSSVM參數尋優，建立組合預測模型。

2.2.1 LSSVM模型

采用LSSVM模型對殘差進行修正，設訓練時間序列{(xi，yi)，i=1，2，…，n}，其中xi∈Rn為n維輸入樣本，yi∈R為1維輸出樣本。LSSVM對經典SVM的優化問題進行了改進，用映射函數φ(·)把輸入樣本從輸入空間映射到特征空間，把輸入空間非線性擬合問題轉化為在高維特征空間的線性擬合問題，LSSVM優化的目標函數為

(11)

s.t.yi=wiφ(xi)+b+ξi

(12)

式中，wi為權值系數；ξi為松弛變量；c為懲罰因子；b為偏置。

為求解上述約束的最優解，引入Lagrange函數，由KKT條件求解，最終得到LSSVM的決策函數為

(13)

其中，αi為拉格朗日乘子；k(x，xi)為核函數。核函數滿足Mercer條件，常用的核函數有徑向基核函數、線性核函數和多項式核函數。本文選用徑向基核函數，其表達式為

(14)

LSSVM的主要優化參數包括核函數參數和懲罰參數c，本文采用一種較為新穎的WOA群體智能優化算法對LSSVM的兩個參數尋優。

2.2.2 WOA優化算法

鯨魚算法(whale optimization algorithm， WOA)是Mirjalili[14]受到座頭鯨氣泡網狩獵行為啟發而提出的一種新的群體智能優化算法，每頭座頭鯨都是一個可行解，模仿了座頭鯨特殊的螺旋氣泡網喂養的狩獵方法，包括3種行為：隨機搜索、包圍捕食、氣泡網狩獵行為，其狩獵行動如圖1所示。

圖1 座頭鯨的Bubble-net捕食行為

(1)隨機搜索

采用隨機個體搜索獵物，具體數學模型如下

D=|CXrand-X|

(15)

X(t+1)=Xrand-AD

(16)

其中，t為當前的迭代次數，表示隨機選擇的一個位置，隨迭代次數變化；A和C為系數，由如下公式計算

A=2ar-a

(17)

C=2r

(18)

其中，a的值從2到0線性下降；r為[0，1]的隨機值。

(2)包圍獵物

座頭鯨在捕獵時要包圍獵物，該狩獵行為由如下數學模型表示

D=|CX*(t)-X(t)|

(19)

X(t+1)=X*(t)-AD

(20)

其中，X*(t)為當前最佳位置，并會隨迭代更新。

(3)氣泡網狩獵行為

根據座頭鯨的狩獵行為，以如下數學模型模擬座頭鯨螺旋游動的氣泡網狩獵行為

X(t+1)=D′eblcos(2πl)+X*(t)

(21)

其中，D′=|X*(t)-X(t)|表示第i條鯨魚與獵物(目前的最佳解)之間的距離；b是一個定義螺旋線形狀的常數；l是[-1,1]中的隨機數。

在座頭鯨狩獵時，是以對數螺旋形狀游動并同時收縮包圍獵物，假定有50%的概率在收縮的環繞機制或螺旋模型之間選擇，以此確定優化過程中鯨魚更新的位置，其數學模型如下

(22)

其中，A隨a的值線性下降而變小，A∈[-2，2]，當|A|<1時，鯨魚的下一位置出現在當前位置與獵物之間并發起攻擊，當|A|≥1時，鯨魚隨機選擇搜索代理，迫使遠離獵物重新搜索更合適的獵物，這樣能加強算法勘探能力使WOA提高搜索全局能力。

本文使用WOA算法對LSSVM的核函數參數σ和懲罰參數c進行尋優，因此維數取D=2，本文種群規模取S=30，最大迭代次數Tmax=200。構建學習樣本均方差為LSSVM的適應度函數和WOA算法的目標函數

(23)

步驟1 初始化鯨魚種群規模S和最大迭代次數Tmax，設置鯨魚空間位置維度D及鯨魚種群位置的上下界；

步驟2 在鯨魚種群活動的空間范圍內隨機初始化鯨魚種群的個體位置，并評價當前種群每個個體的適應度，以適應度最優個體位置作為當前最優位置X*；

步驟3 當t

步驟4 當p<0.5時，若|A|<1時，用式(20)更新個體位置，若|A|≥1時，用式(16)更新個體位置，當p≥0.5時，用式(21)更新個體位置；

步驟5 根據適應度函數計算每個個體適應度，找出最佳位置X*，每次迭代后比較最佳位置并更新，如果滿足終止條件，則跳到步驟6，否則返回步驟3繼續執行；

步驟6 輸出最優個體位置，即尋出最優解X*，其坐標對應優化的參數[σ，c]。

2.3 模型精度檢驗

(24)

表1 模型精度參照

3 TQI組合預測模型預測方法

TQI組合預測模型首先根據上述改進的GM(1，1)模型對原始TQI檢測序列進行級比檢驗，確定是否需要平移變換，然后利用非等時距GM(1，1)模型對TQI序列進行初步預測，對模型進行灰色作用量優化、背景值優化和加權矩陣處理。將初步得出的TQI預測值與實測值相減，得到非等時距殘差序列。

利用LSSVM對時間序列進行預測需要等時距的訓練樣本，而軌檢車作業時間間隔往往是不等時距的，因此相應的殘差時間序列也是不等時距，這就需要使訓練樣本等時距化。本文采用三次Hermite多項式插值，插值步長為u=1，對初步預測TQI序列與實測TQI序列進行插值，并求出插值后的等時距殘差序列。

對殘差時間序列預測，需利用相空間重構理論把殘差序列進行預處理，將殘差時間序列擴展到高維空間，設殘差序列ε(1)，ε(2)，…，ε(n)，n為等時距處理后的樣本個數，通過相空間重構理論得到新的數據空間：E=ε(t)，ε(t+τ)，…，ε[t+(m-1)τ]，其中t=1，2，…，N，m為嵌入維數，τ為時間延遲，N=n-mτ。

通過LSSVM建立輸入數據E與輸出數據ε(t+mτ)之間的映射關系，即ε(t+mτ)=f(ε(t)，ε(t+τ)，…，ε[t+(m-1)τ])。在殘差序列預測過程中，充分使用最新信息，采用滾動預測的方法，利用LSSVM進行進一步的殘差修正，對上述實測TQI序列和初步預測TQI序列進行三次Hermite多項式插值，令插值步長u=1，并求出等時距的殘差值序列。對等時距的殘差時間序列進行相空間重構，以軌檢車檢測平均時間間隔為時間延遲，令τ=15，通過試驗數據特性確定以6個數據為嵌入維數，在其之后等時距的第7個數據作為輸出，利用ε(t+mτ)的預測值替代未知的輸入數據，去掉第一個輸入數據ε(t)，組成新的輸入樣本，依次循環遞補直到完成預測目標。

綜上所述，預測模型流程如圖2所示。

圖2 組合預測模型流程

4 TQI預測實例分析

利用上述模型對某鐵路提速干線2016年兩個區間段K164.8～K165.0與K278.8～K279.0的TQI1、TQI2序列進行實例分析，數據如表2所示。本模型所選數據均為該線路從軌道養護維修后開始服役的歷史數據，服役初期TQI值快速變大，服役一段時間后，TQI值呈現非齊次且隨機波動的特性。

選取該線2016-01-29～2016-10-17的17個非等時距TQI數據作為歷史數據進行建模預測，選取2016-10-29～2016-12-28的5個實測值與預測值進行分析比較，即預測軌道大修后，軌道服役一年中最后2個月(5次軌檢)的TQI值，分別用文獻[6]的模型與本文的改進GM(1，1)與LSSVM組合預測模型進行預測。

表2 TQI實測數據

4.1 K164.8～K165.0區間段分析

以區間段K164.8～K165.0的檢測數據為例，采用改進的非等時距GM(1，1)模型對TQI檢測序列后5個值進行初步預測比較，見圖3。

由圖3可見，擬合曲線雖符合TQI數值發展趨勢，但未能體現數據隨機波動特性，部分時間誤差仍較大。利用LSSVM進行進一步的殘差修正，得到殘差修正后最終的TQI預測值，見圖4。

圖3 K164.8～K165.0區間實測值與初步預測值比較

圖4 K164.8～K165.0區間實測值與最終預測值比較

圖4相比圖3的擬合與預測部分都有顯著提升，殘差有明顯減小，對本文模型與文獻[6]的非等時距加權GM(1，1)與神經網絡的組合預測模型進行對比分析，預測結果比較見表3。

表3 K164.8～K165.0區間內兩種算法的TQI預測值比較

4.2 K278.8～K279.0區間段分析

以區間段K278.8～K279.0的檢測數據為例，采用改進GM(1，1)模型對TQI檢測序列后5個值進行初步預測比較，見圖5。

圖5 K278.8～K279.0區間實測值與初步預測值比較

由圖5可見，擬合曲線雖符合TQI數值發展趨勢，但未能體現數據隨機波動特性，部分時間誤差仍較大。利用LSSVM進行進一步的殘差修正，得到殘差修正后最終的TQI預測值，見圖6。

圖6 K278.8～K279.0區間實測值與最終預測值比較

圖6相比圖5的擬合與預測部分都有顯著提升，殘差有明顯減小，對本文模型與文獻[6]的非等時距加權GM(1，1)與神經網絡的組合預測模型進行對比分析，預測結果比較見表4。

4.3 模型精度檢驗

對兩段區間的預測結果進行精度檢驗，結果見表5，算法精度等級達到1級。

表4 K278.8～K279.0區間內兩種算法的TQI預測值比較

表5 檢驗結果對比

5 結論

(1)根據高速鐵路最新軌檢TQI數據分析，構建符合現行高速鐵路軌道不平順發展預測模型，利用灰色模型預測TQI時間序列中的趨勢項，通過 WOA-LSSVM對殘差進行修正，充分考慮了軌道不平順發展趨勢中的趨勢性和隨機性，較大提高了預測精度。

(2)在傳統非等時距灰色模型的基礎上，對灰色作用量表達形式進行改進，充分結合了現行高速鐵路TQI數據近似非齊次的特點，結合加權矩陣使改進的GM(1，1)更符合TQI發展趨勢，提高了預測精度。

(3)WOA算法擁有較好的全局搜索能力、優化參數少、收斂迅速等優點，通過WOA對LSSVM參數尋優，通過WOA-LSSVM模型對TQI灰色預測殘差進行修正，彌補了單一灰色模型的不足，充分體現TQI發展趨勢中的隨機性，提高了預測精度。

(4)采用滾動預測的方法，利用預測的新值替代歷史數據作為模型輸入，并通過對處理后的等時距殘差序列進行相空間重構，克服了單步預測與隨著預測步數增加誤差累積增大的問題，使模型預測精度進一步提高。