高階振型振動實驗裝置研制與教學應用

龐新宇, 江旺旺, 任智軍

(1. 太原理工大學 機械工程學院, 山西 太原 030024； 2. 煤礦綜采裝備山西省重點實驗室,山西 太原 030024； 3. 西安交通大學 機械工程學院, 陜西 西安 710049)

振動學涉及機械類的多門專業課程,高階振動系統又是振動學中的一類研究對象。為了使學生對振動現象有更深刻的認識,加深對理論知識的理解,各種振動實驗裝置及教學系統相繼開發。江蘇大學的李建康等[1]建立了多自由度系統模態振型實驗臺,用于研究在頻率可變的水平激勵下各個質量塊的振型狀態；中國礦業大學的張曉光等[2]搭建了含有故障的齒輪減速器振動實驗裝置；華中科技大學的何嶺松[3]設計了用于描述多自由度振動模型的仿真系統；蔣志峰[4]等、張予等[5]利用Matlab對單自由度系統受不同激振頻率的受迫振動響應進行了仿真分析；付志一等[6]設計了三自由度扭振實驗裝置,研究系統本身的振型及附加質量和剛度對于系統振型的影響；梁慶等[7]基于LabVIEW開發了多自由度懸臂梁振動實驗教學系統,可實現單自由度、兩自由度和三自由度等多種實驗方案,并利用有限元軟件對模型進行模態分析與比較；張蔚波等[8]研制了簡支梁形式的振動實驗教學裝置,分析了不同性質激勵下的響應；李兆軍等[9]研制了包含離散質量、連續梁、軸和組合結構的綜合振動實驗裝置。上述的振動實驗裝置及教學系統,有的局限于單自由度的振動研究,有的則專門針對某一實體部件而進行研究,有關高階振動的振型可視化及固有頻率的計算則涉及非常少,能夠在理論和實驗兩方面都能激發學生的學習興趣、增強學生的理解能力的裝置更少。

為此本文研制了一套適用于高階振型振動系統教學的實驗裝置。該裝置可實現對固有頻率的理論計算和實驗測試,可直接觀察不同階次的振型。該實驗裝置可根據需要設計為不同的階數,本文以三階系統為例進行介紹。

1 實驗裝置結構設計

本實驗裝置主要由主體框架、振動傳感器、千分表、磁性表座、立柱、定滑輪、激振器、信號發生器、數據采集儀和頻閃儀等組成,如圖1所示。主體框架為3層鋼架結構,由空心鋼管和側板固接；振動傳感器為加速度傳感器,固定在主體框架的頂層側板上；千分表主要用來測量框架受到靜力作用時各層的位移變化量；立柱用于固定測算振動體柔度矩陣的定滑輪；激振器為主體框架提供受迫振動的激勵,通過信號發生器改變其振動頻率,經實驗驗證,激振器與主體框架的連接位置對系統的固有頻率沒有影響,為了方便安裝,本文將激振器與底層側板相連；數據采集儀主要將測得的振動信號傳遞給安裝有動態分析軟件的上位機,以此來實時顯示振動信號的時域及頻域波形圖,便于學生更為直觀地了解振動信號的固有頻率及振幅。

圖1 實驗裝置結構圖

2 實驗方案

該裝置的實驗方案如圖2所示,主要包括理論計算、自由振動實驗、受迫振動實驗3部分。理論計算通過重物在主體框架的某個節點上作用一定的載荷,使得各層鋼管產生一定的變形,由千分表測得位移變化量并輸入基于柔度法編寫的Matlab程序中,從而在理論上計算出各階振動的固有頻率及振型。實驗方法分別通過錘擊法模擬自由振動，和由激振器模擬的強迫振動,使得主體框架產生振動,由加速度傳感器將振動信號傳遞給數據采集儀和安裝有DHDAS動態信號采集分析軟件的上位機,以此來直觀地觀察高階振動的各階固有頻率及振幅變化。利用頻閃儀可觀察到受迫振動時各階頻率的振型,并與理論計算結果進行比較,檢驗模型和算法的準確性。

圖2 實驗方案

該實驗裝置的主要目的在于給學生提供一個能夠對高階振動的振型及固有頻率產生一種直觀印象的實驗平臺。通過理論計算方法和實驗方法,學生不僅可以從理論上掌握求解相關高階振動的固有頻率及其振型的方法,而且還可以運用所學的理論知識,通過實驗測得和觀察高階振動的固有頻率及振型,加深對高階振動的理解。

3 理論計算方法

本文基于柔度法計算固有頻率及振型。根據柔度影響系數aij的定義,在j點上作用的單位載荷所引起的i點的位移,可以通過施加在主體框架上力的大小以及各層框架的位移變化量來計算出該系統的柔度矩陣,進而求出固有頻率及振型。

3.1 柔度法

由動力學理論[10-11]可知,多自由度系統的無阻尼自由振動的微分方程為

K-ω2MX=0

(1)

式中，K為系統剛度矩陣,M為系統質量矩陣,ω為系統固有角頻率，X為位移列矩陣。

(λ2I-D)X=0

(2)

式中I為單位矩陣。

方程(2)有非零解的充分、必要條件是其系數行列式為零,即：

|λ2I-D|=0

(3)

由于柔度矩陣H與剛度矩陣K之間的關系為H=K-1,所以可通過對系統的柔度矩陣進行測算來計算固有頻率。

3.2 編程思路

基于上述的柔度法編寫Matlab程序,實現軟件計算固有頻率和振型。

測量原理如圖3所示,在實驗裝置的節點1處施加15 N的載荷F,由千分表測量各層的位移變化量,得到x11、x21、x31,同理分別在節點2、3處作用相同的載荷,可以測得各層相應的變化量。根據柔度影響系數的定義,并結合載荷大小,即可求出柔度矩陣。

圖3 柔度矩陣測量原理圖

程序編制步驟如下：

(1) 綜合考慮各層空心鋼管、側板以及振動傳感器的質量,并輸入各層框架的質量：m1、m2、m3,單位為g；

(2) 輸入各層的位移量：x11、x12、x13、x21、x22、x23、x31、x32、x33,單位為mm；

(3) 構造質量矩陣M和柔度矩陣H如下：(其中F=15 N)

(6) 輸出f1、f2、f3(由小到大排列),Y(1)、Y(2)、Y(3)(與fi順序對應)。

4 實驗方法

4.1 自由振動實驗

自由振動實驗：即在實驗開始時使主體框架受到某一沖擊載荷,在振動的過程中不再承受其他外部激勵,通過對采集到的振動信號進行頻譜分析[12],找到對應于各個峰值的頻率即為各階振動的固有頻率。

本文的自由振動實驗基于錘擊法,振動傳感器將采集到的振動信號傳遞給數據采集儀和上位機,經頻譜分析得到振動信號的幅頻特性曲線,幅頻特性曲線圖中的峰值所對應的頻率表示振動體的固有頻率,峰值的個數則代表高階振動體固有頻率的階數。圖4為3層框架自由振動實驗的幅頻特性曲線。

圖4 自由振動實驗幅頻特性曲線

由圖4可知，自由振動的幅頻特性曲線圖共有3個峰值,即三層框架結構振動體的固有頻率為3階,且第一階、第二階第三階固有頻率分別為22.21、61.11、95.11 Hz。

4.2 受迫振動實驗

受迫振動實驗：通過某一頻率可變的外部激勵持續作用在主體框架上,使得框架結構作受迫振動,對采集到的振動信號進行頻譜分析,找出幅值峰值處(即發生共振時)所對應的頻率,即為該振動體的固有頻率。

本文的外部激勵由框架底部的激振器提供,調節與激振器相連的信號發生器的頻率,使其由小到大逐漸變化,上位機實時分析振動信號,通過觀察幅頻曲線,找到發生共振時頻譜圖的峰值所對應的頻率,即為3層框架結構的固有頻率。圖5為受迫振動實驗下3層框架結構的幅頻特性曲線,由圖5可知受迫振動下3層框架結構的一階、二階和三階固有頻率分別為：22.22、61.11、95.11 Hz。

4.3 振型法

振動體共振時其振型可通過頻閃儀進行觀察。當3層框架結構發生共振時,調節頻閃儀的頻率,使其與結構體共振頻率接近或相等,即可清楚地觀察到框架結構的振型狀態。圖6為3層框架結構共振時各階固有頻率所對應的振型。

圖5 受迫振動實驗幅頻特性曲線

圖6 各階固有頻率對應的振型圖

在高階振動振型中,振幅為零的點即為振型節點,振幅最大處即為反節點。由圖6可以看出,3層框架結構一階振型只有底座1個節點,二階振型和三階振型分別有2個、3個節點,且節點的位置在振動的過程中始終保持不變。

5 實驗結果分析

按照理論計算方法的步驟,將各層質量及位移變化量輸入到程序中,計算結果如圖7所示。

圖7 理論計算運行結果圖

由圖7可以看出,一階振型均為正值,表明各層之間沒有從負向正的節點變化；二階振型底層和中層為負值,頂層為正值,表明中層與頂層之間存在節點；三階振型的中間層為負值,其余兩層為正值,表明底層與中層、中層與頂層之間分別存在一個節點。各層節點的圖形化與圖6完全相符。

理論計算、自由振動實驗和受迫振動實驗得到的3層框架結構振動體的固有頻率見表1。

表1 理論計算、自由振動、受迫振動固有頻率

由表1可知,實驗與理論計算之間存在誤差,其中一階固有頻率的相對誤差最大,三階固有頻率的相對誤差最小。產生誤差的原因主要是由于千分表的測量誤差、主體框架材料的剛度較大以及加速度傳感器質量的影響。

6 結語

機械類專業課程都會涉及到振動學,高階振型振動實驗裝置可用于機械振動學、機械故障診斷、理論力學、機械動力學以及機械工程控制基礎等課程的實驗教學。利用高階振型振動實驗裝置,學生從理論和實驗兩個方面獲取高階振動體的固有頻率,并觀測其振型的變化,從而加深了對高階振動系統的認識。該實驗裝置完善了振動學的教學實驗內容,在教學應用中收到了良好的教學效果,提高了學科教學質量。