基于非線性MPC方法的車輛穩定性控制

郝西祥，陳亞偉，邵毅明

(重慶交通大學 a.交通運輸學院; b.機電與車輛工程學院, 重慶 400074)

車輛的極限性能很大程度上是由輪胎的非線性力學特征決定的，因此基于模型預測控制(MPC)的車輛穩定性控制的實現取決于預測模型中的非線性系統動力學分析結果。同時由此產生的非線性優化問題給控制器的實時運行帶來了很大的挑戰。

針對上述問題，許多文獻中提出了各種替代NMPC的方法，如線性時變MPC、混合和切換MPC或近似NMPC[1-3]。本文采用顯式NMPC方法離線解決優化問題，獲得的顯式解是一個次優的多變量反饋定律，可以方便地進行實時評估。

本文在設計控制系統的非線性車輛模型時，考慮了縱向和橫向輪胎力的相互作用以及車輛轉彎時軸荷轉移的影響，這對車輛的穩定性控制具有極為重要的作用。此外，本文提出的NMPC代價函數公式具有一定的靈活性，可以較為便捷地在實際車輛上應用。

1 車輛預測模型

1.1 車輛動力學建模

圖1 車輛動力學模型

根據牛頓第二定律及力矩平衡公式，得到如下的方程：

(FsFL+FsFR)cos(δ-β)-

(FlRL+FlRR)sinβ+

(1)

(2)

其中：m為車輛質量；Iz為車輛繞z軸的轉動慣量；lF和lR分別是車輛的前后軸距；d為車輛輪距；δ為前輪轉角；Flij和Fsij分別是輪胎的縱向力和橫向力；下標i=F,R，表示前后軸；j=L,R，表示左右輪。

1.2 輪胎垂直力

垂直輪胎力Fzij的估計考慮了與側向加速度相關的載荷傳遞，計算基于式(3)和 (4)中定義的常數。

(3)

(4)

其中：hF和hR分別是前后懸架的側傾中心高度，h′是滾動軸與車輛重心之間的距離；KF和KR是前后懸架的側傾剛度值。由式(3)和(4)可得，垂直載荷估計如下：

(5)

(6)

其中FzRj,stat是單個輪胎的靜態垂直載荷。式(5)和(6)中忽略了質心側偏角速度的影響。

1.3 輪胎受力模型

采用簡化的魔術輪胎公式對輪胎側向力的非線性動力學進行建模，純側移工況下的側向力Fs0ij定義為輪胎側偏角αij的非線性函數[4]。

Fs0ij=Dsijsin(Csijtan-1(Bsijαij))

(7)

其中：Dsij為峰值因子；Csij是側向形狀因子；Bsij是剛度因子。當Csij和Bsij為常數時，Dsij取決于Fs0ij。根據滑移工況下輪胎橫向力和縱向力之間的相互作用，得到輪胎力的線性近似為

(8)

由式(8)可知，組合滑移中的每個橫向輪胎力Fsij會減小一個系數，該系數取決于當前估計的縱向輪胎力Flij(制動時Flij≤0)除以其在純縱向滑動條件下的最大值Dlij。Dlij的值可由縱向輪胎-路面摩擦系數μlpij和垂直輪胎負荷計算得到：

Dlij=μlpijFzij

(9)

假設輪胎側偏角較小，忽略車輛的輪距，得到如下的側偏角計算式：

(10)

(11)

1.4 模型參數

表1是根據某一輛運動型多功能車(SUV)選擇的預測模型參數。

表1 預測模型主要參數

符號含義數值m車輛質量/kg1 962IZ橫擺轉動慣量/(kg·m2)3 382lF質心到前軸的距離/m1.10lR質心到后軸的距離/m1.57d輪距/ m1.62KF前懸架側傾剛度/(kN·m·rad-1)60KR后懸架側傾剛度/(kN·m·rad-1)50

2 車輛穩定性控制器

NMPC車輛穩定性控制器的設計是根據第2節中的車輛動力學模型，由代價函數和約束條件構成的最優控制問題。

2.1 代價函數

代價函數V被定義為預測范圍內的最優性標準的積分。具體來說，由穩定性控制器施加的縱向輪胎力分布應使得與以下參考目標的加權偏差最小：

1) 車輛的牽引力或者制動力Fx,ref；

2) 車輛的直接橫擺力矩Mz,ref，即車輛左側和右側之間的縱向輪胎力差產生的參考橫擺力矩；

3) 制動比bref，即車輛的前縱向輪胎力和總縱向輪胎力之間的比值；

預測范圍是當前時間tk和末端時間tf=tk+tsNp之間的間隔，由預測步長Np和離散采樣時間ts定義。縱向輪胎力是預測模型的控制輸入，可以在預測范圍內變化Nc次，其中Nc是控制步長，上述變量從tk+ts(Nc-1)保持不變直到tf，有如下公式：

(12)

2.2 參考目標生成

Fx,ref可由車輛的期望減速度αx,ref獲得，αx,ref根據油門和制動踏板上的駕駛員輸入以及車輛的運動狀況計算得到，則有如下公式：

Fx,ref=mαx,ref

(13)

參考橫擺力矩的計算式如下：

(14)

對于受控車輛的期望操縱，假設車輛速度和轉向角在預測范圍內是恒定的，考慮具有與重力相關梯度Kus的線性不足轉向特性，可得式(15)。

(15)

(16)

為了在線性和最大橫擺角速度之間實現平滑過渡，使用具有調節參數Cm和Ck的S形函數來產生參考橫擺角速度，如式(17)所示。

(17)

2.3 約束條件

(18)

-αR,max-NαR(t)≤αR≤αR,max+NαR(t)

(19)

(20)

NαR(t)≥0

(21)

2.4 最優控制設置

表2為本文最優控制問題的參數設置。

表2 最優控制的參數設置

符號含義數值ts采樣時間/ms20Np預測步長 3Nc控制步長 1eφ·,max橫擺角速度誤差限值/ ((°)·s-1)6αR,max后軸側偏角誤差限值/m1.62

2.5 多參數非線性問題

通過對連續代價函數和約束條件進行有限參數化和離散化，得到如下的優化問題：

(22)

約束條件為

G(z,xp(tk))≤0

(23)

其中:參數矢量xp(tk)包含預測模型的初始狀態x(tk)和緩慢變化的參數p(tk)，即xp(tk)=[β(tk),φ(tk),v(tk),δ(tk)]；優化變量Z包括輸入軌跡參數U、松弛變量N和狀態參數X,即有Z=[U,N,X]。

假設在tk時刻，MPC控制策略的最優解存在，記為Z*，表示預測范圍內的最優開環軌跡。在電液制動系統中，縱向輪胎力Flij(tk)轉化為參考液壓壓力。在下一時刻，利用更新后的參數向量解決優化問題，使MPC策略成為一種閉環方法。

3 顯式NMPC

由于式(22)～(23)的在線解具有非線性特征，計算負載較大，很難保證實時性，因此本文提出了多參數問題的顯式解。對于多參數非線性規劃(mp-NLP)問題，通常不可能得到精確形式的顯式解。因此，采用多參數二次規劃(mp-QP)逼近mp-NLP的顯式NMPC算法，得到保證次最優水平的次最優解。

3.1 MP-QP算法逼近求解

本文提出的算法是將近似mp-NLP算法與全局優化工具以及多參數二次逼近(mp-QA)算法相結合來進行求解[5-7]。

將多參數非線性規劃與多參數二次規劃局部逼近，得到了基于正交分區的局部mp-QP子問題的近似解。通過參數空間的迭代遞歸劃分來控制近似精度。為了提高局部mp-QP近似的精度，并在代價、解決方法和超過最大約束的次優界方面滿足誤差和精度要求，采用基于參數空間部分的啟發式分割規則對分區進行了細化。

對于具有mp-QP問題的mp-NLP的局部逼近是由式(22)中的代價函數V的2階泰勒級數展開和式(23)中約束函數G的1階泰勒級數展開得到的。

由此可以得到mp-NLP(22)-(23)的顯式近似解，包括每個正交分區上mp-QP子問題的解。mp-QP子問題的解由分段仿射函數和相應的多面體臨界區域組成。因此，主要的計算工作是離線進行的。在線計算簡化了對給定參數向量xp的多面體區域的識別和相關的多變量仿射反饋律的計算[8]。

3.2 在線評估

實際評估過程主要分為3個階段：

1) 對于給定的參數xp(tk)，第1層通過遍歷內存優化的二叉搜索樹來標識相應的正交分區和相關的局部mp-QP子問題。

2) 在確定正交分區后，第2層通過遍歷二叉搜索樹或順序搜索數據結構，確定仿射狀態反饋律的相應多面體臨界區域。該層評估反饋律，并返回值。

3) 在最后一層中，進行可行性檢查，在不可行的情況下，提供前一個時間步驟中的控制措施。

4 仿真結果

4.1 受控和非受控車輛比較

采用顯式的基于NMPC的穩定性控制器，對車輛的性能進行了仿真，測試運行根據UN/ECE-R13H規則完成[9]。通過對某款運動型多功能車的仿真試驗來驗證控制器的有效性。

圖2顯示了基于NMPC的顯式穩定性控制器(用實線表示)與被動車輛的響應，即無穩定控制器的車輛(用虛線表示)。被動車輛后軸側偏角在仿真結束時增長到大約30°(在圖的標尺之外)，表明被動車輛可控性受到損害。

與被動車輛相比，受控車輛的后軸側偏角和橫擺角速度具有合適的數值，后軸側偏角處于約束范圍內，避免了車輛因后軸側滑而發生甩尾，并且車速的最終值高于被動車輛，表明所提出的控制器可以改善車輛穩定性。

4.2 代價函數中權重的影響

代價函數中權重的選擇會對橫擺角速度誤差和后軸側偏角誤差產生較大的影響，為了進行深入分析，本文設定了3種不同的權重方案。

方案1 優先考慮后軸側偏角的影響，對橫擺角速度權值選取一定的數值。

方案2 將后軸側偏角設為0，橫擺角速度的數值與方案1保持一致。

圖2 顯式NMPC和被動車輛的響應

方案3 后軸滑移率設為0，橫擺角速度的權值相對于 1)增加3倍。

引入性能指標式(24)～(27)，通過控制器來量化權值對車輛穩定性的影響。

(24)

(25)

(26)

(27)

指標I1和I2分別為在仿真區間[0,T]上的直接橫擺力矩MZ絕對值的最大值和平均值。指標I3和I4是由各自的松弛變量所描述的后軸側偏角和橫擺角速度誤差的絕對值的平均值。

圖3表示的是根據文獻[11]定義的19次試運行的性能指標結果，以最大方向盤角度δsw,max=38.7°開始，增加到最終測試運行的δsw,max=270.9°。

盡管具有相同的橫擺角速度誤差，但是與方案1相比，方案2產生的橫擺角速度誤差的平均值更大，并且由于后軸側偏角權值為零，I3的數值也變得更高。

由此可以看出，在最優控制問題公式中加入相對較大權值的后軸側偏角約束，會導致直接橫擺力矩的最大值較小，同時，橫擺角速度跟蹤性能不受影響。

圖3 不同權重對性能指標的影響

5 結束語

本文針對車輛的穩定性控制問題，提出了一種用于電動液壓制動系統車輛橫擺和橫向穩定控制的顯式NMPC算法，并進行了仿真試驗和權重影響分析。仿真結果表明，顯式NMPC方法可以顯著改善車輛的穩定性。通過對不同權重設置的分析，說明了后軸側偏角約束的引入對控制器性能的影響及重要性。