吸血蝙蝠與牛群間狂犬病毒的傳播研究

張菊平，李 丹

(1.山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所， 太原 030006；2.疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 太原 030006)

狂犬病是由狂犬病毒引起的人和其他所有哺乳動(dòng)物的急性致死性中樞神經(jīng)系統(tǒng)的自然疫源性疾病，病死率高，呈全球性分布，是世界上最致命的傳染病之一[1-2]。該病只通過唾液、血液傳播，潛伏期內(nèi)不傳播,也不母嬰傳播。吸血蝙蝠[3-5]是狂犬病病毒的自然宿主,其體型小，一次生產(chǎn)一胎，平均壽命為12年。吸血蝙蝠傳播狂犬病毒的方式為以下4種[5]：① 吸食動(dòng)物血液；② 抓傷動(dòng)物；③ 吸血蝙蝠呼出的大量氣溶膠傳播；④ 口腔感染(常見于蝙蝠種內(nèi)傳播)。吸血蝙蝠主要通過吸食動(dòng)物或人的血液來傳播狂犬病毒，是狂犬病在動(dòng)物和人之間傳播的重要媒介之一。牛狂犬病的發(fā)病牛以犢牛和母牛較多見，該病常在一個(gè)地區(qū)內(nèi)散發(fā)，潛伏期平均30～90 d，病程3～7 d。

近年來吸血蝙蝠傳播致命的狂犬病毒越來越引起人類重視。比如在1996年,WARNER等[6]從秘魯?shù)膬衫旅±X組織樣本中測試證實(shí)樣本中存在的狂犬病毒與吸血蝙蝠所攜帶的最為接近。ARELLANO-SOTA等[7]對秘魯?shù)陌⑵绽锺R克省調(diào)查發(fā)現(xiàn)，2014年有505～724 頭牛被蝙蝠噬咬而感染狂犬病致死，造成巨大經(jīng)濟(jì)損失。為有效控制吸血蝙蝠狂犬病毒的傳播，在阿根廷和墨西哥進(jìn)行的試驗(yàn)中證明接種疫苗可以有效保護(hù)牲畜免受狂犬病毒的侵害[8]。Streicker等[9]對秘魯?shù)?個(gè)地區(qū)的20個(gè)吸血蝙蝠種群進(jìn)行縱向捕獲-重新捕獲研究， 發(fā)現(xiàn)幼年和次成年吸血蝙蝠體內(nèi)所含血清陽轉(zhuǎn)率最高，所以重點(diǎn)捕殺成年蝙蝠可以減緩狂犬病毒的傳播。

本文以吸血蝙蝠與牛間的相互關(guān)系為基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)模型，求得系統(tǒng)的閾值并分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，針對系統(tǒng)中牛群免疫率參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析，最后給出控制狂犬病毒傳播的預(yù)防措施。

1 建立模型

根據(jù)吸血蝙蝠與牛群間狂犬病毒傳播機(jī)制做如下假設(shè)：① 忽略牛群間狂犬病毒的傳播；② 蝙蝠潛伏期和發(fā)病期的病毒累積量不同，假設(shè)血清陽轉(zhuǎn)率不同；③ 養(yǎng)牛場每年均會引入一批牛犢來保持?jǐn)?shù)量的恒定，假設(shè)牛群有常數(shù)輸入，指數(shù)輸出。 狂犬病毒在吸血蝙蝠與牛群間的傳播流程如圖1所示。

圖1 吸血蝙蝠與牛狂犬病毒傳播流程

流程圖中參數(shù)說明：記吸血蝙蝠群體總量為Nr=Sr+Er+Ir+Rr,其中Sr、Er、Ir、Rr分別表示易感者、潛伏期、染病者和恢復(fù)者吸血蝙蝠，吸血蝙蝠的出生率和死亡率分別為br和dr,且br=dr,發(fā)病蝙蝠感染易感蝙蝠的傳染率為βr,潛伏期到發(fā)病期的轉(zhuǎn)化率和血清陽轉(zhuǎn)率為εr和γ1，發(fā)病期的陽轉(zhuǎn)率為γ2。Sc、Ec、Ic、Vc分別表示易感者、潛伏期、染病者和接種者牛。記牛群總數(shù)為Nc=Sc+Ec+Ic+Vc；牛的輸入為Λ；死亡率和因病死亡率為dc和μc；牛從潛伏期到發(fā)病期的轉(zhuǎn)化率為εc；發(fā)病蝙蝠感染易感牛的傳染率為βc；接種免疫率和免疫失效率分別為p和α。

根據(jù)傳播流程建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型如下：

(1)

2 模型分析

2.1 吸血蝙蝠模型穩(wěn)定性分析

由于模型(1)的前4個(gè)方程和后4個(gè)方程獨(dú)立，且滿足Nr=Sr+Er+Ir+Rr，因此將前4個(gè)方程降維歸一化得：

(2)

系統(tǒng)(2)的正向不變集為

Γr={(sr,er,ir)∈R3∣0≤sr,

er,ir≤1,sr+er+ir≤1}

系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)為P0(1,0,0)，根據(jù)下一代矩陣?yán)碚揫10]得

故系統(tǒng)(2)的閾值為

定理1 當(dāng)Rr0<1時(shí)，無病平衡點(diǎn)P0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明由于sr≤1，可得系統(tǒng)(2)的輔助系統(tǒng)為

定理2 當(dāng)Rr0>1時(shí)，系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，存在唯一的正平衡點(diǎn)P*且全局漸近穩(wěn)定的。

(3)

從而，當(dāng)Rr0>1時(shí)，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)為：

系統(tǒng)(2)在P*點(diǎn)處的Jacobian矩陣為

其特征方程為λ3+a1λ2+a2λ+a3=0,其中:

a1=brRr0+(γ1+εr+dr)+(γ2+dr)>0

a2=brRr0(γ1+εr+2dr)+

2(γ1+εr+dr)(γ2+dr)>0

a3=brRr0(γ1+εr+dr)(γ2+dr)+

且a1a2-a3>0。根據(jù)Hurwitz判據(jù)得矩陣的特征根均具有負(fù)實(shí)部，故正平衡點(diǎn)P*局部漸近穩(wěn)定。

給出系統(tǒng)(2)的Jacobian矩陣對應(yīng)的第二加性復(fù)合矩陣：

令B=PfP-1+PJ[2]P-1并寫成如下分塊矩陣

其中：

B11=-βrir-2dr-γ1-εr

設(shè)(u,v,w)∈R3，定義R3中的向量范數(shù)P.P如下：

||(u,v,w)||=max{|u|,|v|,|w|}

記μ(B)是范數(shù)P.P的Lozinskl測度,用估值方法得μ(B)≤sup{g1,g2},其中:

g1=μ1(B11)+∣B12∣

g2=μ1(B22)+∣B21∣

μ1(B11)=-βrir-2dr-γ1-εr,

(γ2+2dr+γ1+εr)}

從而得

將式(2)中的第2和第3方程代入上式可得

因此系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。

2.2 牛群模型穩(wěn)定性分析

關(guān)于牛群的模型如下：

α(Nc-Sc-Ec-Ic)

Λ-dcNc-μcIc

上述系統(tǒng)的正向不變集為

Γc={(Sc,Ec,Ic,Vc)∈

由定理2知：當(dāng)Rr0>1時(shí)，蝙蝠系統(tǒng)中存在唯一穩(wěn)定的正平衡點(diǎn)，所以僅考慮系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)。

a=μc(p+dc+α)(dc+μc)(dc+εc)>0

(dc+μc)(dc+εc)<0

根據(jù)牛群中正平衡點(diǎn)存在性可得如下閾值

當(dāng)Rc0=1時(shí)，系統(tǒng)僅有1個(gè)正平衡點(diǎn)為：

當(dāng)Rc0>1時(shí)，系統(tǒng)有兩個(gè)正平衡點(diǎn)：

2.3 系統(tǒng)(1)整體分析

根據(jù)下一代矩陣?yán)碚摚到y(tǒng)(1)在無病平衡點(diǎn)處的基本再生數(shù)為

因此，吸血蝙蝠對牛群間狂犬病毒的傳播起決定性作用。當(dāng)吸血蝙蝠中的基本再生數(shù)Rr0<1時(shí)，狂犬病不會在牛群中傳播；當(dāng)Rr0>1且Rc0≥1時(shí)，狂犬病會在牛群間傳播，且形成地方病。

3 數(shù)值模擬

現(xiàn)階段控制狂犬病在牛群間傳播的最有效措施是給牛群接種疫苗，模擬中取參數(shù)γ1=0.05,br=dr=0.01,γ2=0.08,α=0.35,βrc=0.34,βr=0.89,εr=0.9,εc=1,μc=1,Λ=1 000時(shí)，對牛接種覆蓋率進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果見圖2。

圖2 不同接種率對牛群狂犬病傳播的影響

從圖2中可以看出：當(dāng)p=0時(shí)，狂犬病會在牛群中迅速流行；當(dāng)采取接種疫苗措施后，染病牛的數(shù)量明顯減少。另外，考慮疫苗在牛體內(nèi)1～1.5年后會失效以及接種疫苗所需成本問題，從圖2可以看出當(dāng)免疫覆蓋率≥70%時(shí)，染病牛的數(shù)量變化趨勢幾乎一致。

4 結(jié)論

本文以吸血蝙蝠和牛群間狂犬病毒的傳播機(jī)理建立數(shù)學(xué)模型，獲得了模型的閾值并分析了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。根據(jù)對模型的整體分析知，牛群中狂犬病毒的傳播中吸血蝙蝠起決定性作用。當(dāng)Rr0>1,Rc0≥1時(shí)，狂犬病毒會在牛群中傳播并形成地方病。為降低牛群中狂犬病毒傳播的危害及經(jīng)濟(jì)方面損失，通過對參數(shù)敏感性分析可知，當(dāng)疫苗覆蓋率達(dá)到70%以上，可有效預(yù)防牛群中狂犬病毒的傳播。